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精算知识讲座 精算通讯第四期
索赔次数分布的拟合与应用

韩天雄

华东师范大学统计系

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§1 索赔次数分布

风险有两个主要因素：其一是在一定期内危险事故可能发生的次数，即索赔次数；其二是每次事故可能损失的大小，即索赔金额。这两个量都是不确定的，它们各自反映了风险的可能性的严重性。风险的数量特征是在这两个量的乘积中得到体现的，因此它也具有不确定性。我们将通过实例来介绍如何确定索赔次数分布。
表1的资料取自Johnson与Hey的论文（1971），它记述了1968年英国的421240张机动车综合保险单中的0,1,2,3,4,5次索赔频率数。

表1：索赔频率数

索赔次数x
观察到的保单数m
0
370412
1
46545
2
3935
3
317
4
28
5
3

计算可得，索赔次数平均值 ，方差。
当索赔事件满足下列三个假定：

1°每一时间区间中索赔次数是相互独立的。
2°一次事故仅有一次索赔。
3°事故发生的确切时间是不确定的。

我们有把握的说，索赔次数服从泊松分布。此时，索赔次数k的概率：

其中n为参数。按照泊松分布的性质，它的均值与方差都为n。利用这个性质与表1的资料，我们将索赔次数拟合成以参数n=0.13174的泊松分布。利用概率公式以及递推公式 ,可计算出索赔次数k=0,1,2,3,4,5的概率值：

将这些概率值乘上保单数目421240，则得到了泊松分布条件下索赔频数（见表2）。从表中可见，拟合得并不理想。显而易见的事实是，表1资料中得到的索赔次数均值0.13174与方差0.13852不等，所以它只能是近似地服从泊松分布。而深层次的原因是索赔事件未能完全满足三个假定。例如，在恶劣的气候条件下，路况变坏，那么很难保证索赔次数独立性假定。另外，汽车相撞事件也使条件2°不能成立。在索赔次数均值为0.13174的421240张保单中，最可能的事实是风险的不同质，即某些保单持有人风险状况很糟，而另一些持有人风险状况很好。它与汽车类型、用途、使用时间、行驶里程和驾驶技术有关。用负二项分布来描述非同质的索赔次数分布是常见的。负二项分布索赔次数k的概率：
，（k=0,1,2,…）其中a，P为参数。按照负二项分布的性质，其均值和方差分别为和。利用这个性质和表1的资料，我们将索赔次数拟合成负二项分布。具体操作方法为：
令
将第一式除以第二式可计算出参数P=0.9510539，再代入原式求出参数a=2.5597912。
利用概率公式：

以及由它而导出的递推公式：

可计算出在负二项分布条件下，索赔次数k=0,1,2,3,4,5的概率值：

将这些概率值乘上保单数421240，得到了负二项分布条件下索赔频数（表2），很明显，它提供了比泊松分布更好的拟合。

表2：机动车综合保险索赔次数分布

索赔次数
观察到的保单数目
拟合的频数
泊 松
负二项
混合
泊松
0
370412
369246
370460
370460
1
46545
48644
46411
46418
2
3935
3204
4045
4036
3
317
141
301
306
4
28

5
21
20
5
3
0
1
1

描述风险不同质的另一常用技术是混合泊松分布方法，以本文所提到的英国机动车辆综合保险为例，虽然平均索赔次数为0.13174，但是天气状况明显影响索赔次数的均值。譬如，下雪天平均索赔次数将为平常的q1倍（如q1=3），而全年中下雪天概率为h1（如h1=0.03）；下雨天平均索赔次数为平常的q2倍（如q2=1.2），而全年下雨的概率为h2（如h2=0.2）；晴天平均索赔次数仅为平常的q3倍（如q3=0.87），而全年晴天的概率为h3（如h3=0.77）。上述情况可记为：

我们称q为混合变量。按照概率论，我们要求，并且即有：

引入混合变量q后的分布称为混合泊松分布。全年索赔次数分布可看作雪天服从参数为nq1的泊松分布，雨天服从参数为nq2的泊松分布和晴天服从参数为nq3的泊松分布的组合。在混合泊松分布中，可以证明均值为n，方差为索赔次数k的概率公式：
。
有人曾经用表1的资料，利用，，均值n方差及概率公式求出参数（此处混合变量q仅取二个值）：
q1=0.65341 h1=0.76519
q2=2.1293 h2=0.23481
则

k=0,1,2,3,4,5
同样，将所得概率值乘保单数421240得到混合泊松分布条件下索赔数（表2），从表中比较可见，拟合情况略好于负二项分布。一般而言，当混合变量q取值越多时，拟合的结果将更令人满意。当然，计算量也将随之增加。
研究索赔次数的分布，它的优越性在于分布仅由少量参数所概括，而不必再与冗长的观察数据打交道。即使在观察值数据很少和或难以得到的情况下，我们也能通过假定对索赔次数进行数量分析。当得到分布后，那么概率论中许多定理、性质可以利用，它将有助于许多问题的分析，解决保险业中所遇到的问题。

§2 应用举例

有了索赔次数的数量描述，可以使保险人据此推断某些保险责任的规律，也有助于问题的理论分析。
同质风险的索赔次数服从泊松分布。只要计算出过去的每张保单平均索赔次数n，那么用n近似代替泊松分布的平均值，就可预测未来每张保单索赔次数k的概率

上述公式在实际计算中有一定的困难。如果某一险种共有K份保单，那么该险种的总索赔次数X为一随机变量，平均总索赔次数为nK。按照中心极限定理，只要nK³5，那么就近似服从标准正态分布，而该分布可通过查标准正态分布函数表轻而易举地得到计算结果。

一、 保险公司是否应该调整费率

问题一、某保险公司某险种的纯费率是以每张保单平均索赔次数n=0.01，平均赔款额1万元为计算基础的。但是1995年该公司承保的K=900份保单共发生了12次索赔，假定平均索赔估计正确，现在的12次索赔比预期的9次（nK=9）高出33%，问1996年是否应该提高费率？
假定平均索赔次数n=0.01是正确的，那么我们利用索赔次数分布来计算总索赔次数X为12或更多次概率是多少。
该险种总索赔次数X将服从以均值为9(0.01×900)的泊松分布，因而

计算上式太难，由中心极限定理，服从标准正态分布，所以

其中为标准正态分布函数，的数值可查表获得。计算表明，该公司每6年会有一年发生12次或更多次的索赔事件。一般来说，这是正常的。要提高费率必须用更强的统计数据来证明。

问题二、如果该公司在1996年承保的900份保单中又发生了13次索赔，这样95年与96年共赔付了25次，比预期18次（2×0.01×900）多了7次，问该公司97年是否应该提高费率？同上道理，如果平均索赔次数n=0.01正确，那么这两年的总索赔次数应该服从均值为18泊松分布，再简化计算得到发生25次或更多次索赔的概率

计算表明，1995年－96年发生25次索赔的可能性仅20年一遇，这是很少见的，因此我们不得不怀疑原来的平均索赔次数0.01的正确性（它是计算费率基础之一），所以公司可以考虑新修正平均索赔次数n，而提高费率。

二、 索赔次数的预测

问题三、该公司对某险种以平均索赔次数0.01计算纯保费率，在1997年该公司可能承保900份保单，问：
（1） 最多索赔次数为15的可能性，即
（2） 以95%的把握推断，最多索赔次数k，即
根据前面所述的原理，
（1）

即该公司1997年索赔次数最多为15次的可能性仅5.4%。
（2）
因为，所经以。由于得到即次。
只要平均索赔次数0.01估计正确，那么该公司有95%的把握断言，1997年最多索赔14次。

三、 财务预测

问题四、某寿险公司承保了10000张同质风险的一年期死亡保险单。已知该类人在一年内死亡的概率为0.005，每个投保者年初缴保险费6元（不计管理费），死亡保险金额为1000元。问此项业务中

¬公司亏损的可能性如何？
­公司获利不少于10000元的可能性又如何？
®公司若有准备金5000元，该业务无法履行赔付责任的可能性又如何？

每个保单持有人服从死亡率为0.005的二项分布。对于具有相同分布的这10000名保单持有人，年内死亡总数X是一个随机变量，由中心极限定理，X服从均值为50(0.005×10000)，标准差为的正态分布，也就是服从标准正态分布。公司在该项保险业务中收入为60000元（6×10000），故仅当死亡人数多于60人时才会亏损(60×1000=60000)。当死亡人数不超过50人时，该项业务获利不少于10000元（10000+1000×50＝60000元）。仅当死亡人数多于65人时，该项业务才可能无力偿付（1000×65=5000+60000）。

根据以上分析，我们得到
¬

即该项业务亏损的可能性为8%，大约12年一遇。
­

即该项业务获利10000元的可能性为50%，大约2年一遇。
®

即该险种若有准备金5000元，那么该项业务无力偿付可能性为1.7%，大约60年一遇。
综上所述，该险种业务质量很好，财务稳定。

四、 责任准备金计算

问题五、财产险公司某项保险责任为1000份保单，保险金额为固定的10000元，每份保单平均索赔次数n=0.01，安全附加系数以0.1计算，问
¬公司若希望以99%把握保证偿付能力，它应该有多少责任准备金？
­公司同样希望以99%把握保证偿付能力，但是又不建立责任准备金，它必须扩展此项业务到多少份保单？
1000份保单的总索赔次数X服从均值为10(0.01×1000)的泊松分布，为简化计算，服从标准正态分布。该项业务保险费总收入（包括安全附加）为
(1+0.1)×0.01×1000×10000=110000元
该年度保险总赔付为10000$X，设责任准备金为U元

（1） 按题意，（保险收入＋责任准备金）大于总赔付的可能性要有99%，即

因为（查表得），所以

U=63681元
根据以上分析，公司大约保留64000元责任准备金就可能以99%的把握保证偿付能力。

（2） 按题意，如果公司不准备建立责任准备金，为了保证它的偿付能力，扩展业务也是途径之一。设此种情况下，它必须持有保单k份，则保费总收入为
(1+0.1)×0.01×k×10000元=110k元
该年总赔付为10000X元。题意要求，保险费总收入大于保险赔付的概率为99%，即P(100k³10000X)=99%
化简

所以
得到k=1579
即公司若不建立责任准备金，那么将业务扩展到大约1600份保单（增加60%业务量），也同样可以99%保证偿付能力。综上分析，建立责任准备金和拓展业务都是保证偿付能力的手断。

参考文献：

[1]I.B.霍萨克等，《非寿险精算基础》，中国金融出版社，1985年。

[2]C. D. Daykin, T. Pentikainen and M. Pesonen, Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman and Hall Press, 1994.