高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第7节第二课时最值范围证明专题训练理新人教版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题1,3,5 范围问题2 证明问题4,6,7 1.(2017 鹰潭市一模)设椭圆 C1:+=1(ab0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点 F重合,且椭圆 C1的离心率是.(1)求椭圆 C1的标准方程;(2)过 F 作直线 l 交抛物线C2于 A,B 两点,过 F 且与直线 l 垂直的直线交椭圆C1于另一点 C,求 ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l 的方程.解:(1)因为椭圆C1:+=1(ab0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x 的焦点 F(2,0)重合,所以 a=2.又因为椭圆C1的离心率是,所以 c=,所以 b=1,所以椭圆C1的标准方程为+y2=1.(2)过点 F(2,0)的直线 l 的方程设为x=my+2,设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立得 y2-8my-16=0,所以 y1+y2=8m,y1y2=-16,所以|AB|=8(1+m2).过 F 且与直线 l 垂直的直线设为y=-m(x-2),联立得(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0,所以 xC2=,所以 xC=,所以|CF|=|xC-xF|=,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学ABC面积 S=|AB|CF|=.令=t 1,则 S=f(t)=,f(t)=,令 f(t)=0,则 t2=0(舍去)或 t2=,即 1+m2=时,ABC面积最小.即当 m=时,ABC面积的最小值为9,此时直线l 的方程为x=y+2.2.(2017 赣州市、吉安市、抚州市七校联考)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,右顶点、上顶点分别为A,B,直线 AB被圆 O:x2+y2=1 截得的弦长为.(1)求椭圆 C的方程;(2)设过点 B且斜率为 k 的动直线l 与椭圆 C的另一个交点为M,=(+),若点 N在圆 O上,求正实数 的取值范围.解:(1)由 e=,得 e2=,所以 a=2b,所以直线AB的方程为+=1,即 x+2y-2b=0.由题意知圆心O(0,0)到直线 AB的距离为d=,得 b=1,椭圆 C的方程为+y2=1.(2)设点 M的坐标为(x0,y0)(x00),则点 N的坐标为(x0,(y0+1),所以 2+(y0+1)2=1,得2=.又+=1,所以 2=,y0(-1,1),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以-3+2y0+5=-3(y0-)2+(0,得2,所以正实数 的取值范围是,+).3.(2017 桂林市、崇左市联合调研)已知点 B(1,0),A是圆 C:(x+1)2+y2=20 上的动点,线段 AB的垂直平分线与线段AC交于点 P.(1)求动点 P的轨迹 C1的方程;(2)设 M(0,),N为抛物线 C2:y=x2上的一动点,过点 N作抛物线 C2的切线交曲线C1于 P,Q 两点,求 MPQ 面积的最大值.解:(1)由已知可得,点 P满足|PB|+|PC|=|AC|=22=|BC|,所以动点P的轨迹 C1是一个椭圆,其中 2a=2,2c=2,所以 a2=5,b2=4,动点 P的轨迹 C1的方程为+=1.(2)设 N(t,t2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则切线的斜率k=y=2t,所以 PQ的方程为y-t2=2t(x-t)?y=2tx-t2.联立方程组消去 y 整理得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0.有而|PQ|=|x1-x2|=,PQ边上的高就是点M到直线 PQ的距离h=,由 S MPQ=|PQ|h 代入化简得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学SMPQ=,当且仅当t2=10 时,SMPQ可取最大值.4.(2017 保定市一模)已知椭圆T:+=1(ab0)的一个顶点A(0,1),离心率e=,圆C:x2+y2=4,从圆 C上任意一点P向椭圆 T引两条切线PM,PN.(1)求椭圆 T 的方程;(2)求证:PMPN.(1)解:由题意可知b=1,=,得 a2=3,椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:法一当 P 点横坐标为时,纵坐标为 1,PM 斜率不存在,PN 斜率为0,PMPN.当 P点横坐标不为时,设 P(x0,y0),则+=4,设 kPM=k,PM的方程为y-y0=k(x-x0),联立方程组消去 y 得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3k2-6kx0y0+3-3=0,依题意=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)(3k2-6kx0y0+3-3)=0,化简得(3-)k2+2x0y0k+1-=0,又 kPM,kPN为方程的两根,所以 kPMkPN=-1.所以 PMPN.综上知 PM PN.法二当 P点横坐标为时,纵坐标为 1,PM 斜率不存在,PN 斜率为 0,PMPN.当 P点横坐标不为时,设 P(2cos,2sin),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学切线方程为y-2sin=k(x-2cos),联立得(1+3k2)x2+12k(sin-kcos)x+12(sin-kcos)2-3=0,令=0,即=144k2(sin-kcos)2-4(1+3k2)12(sin-kcos)2-3=0,化简得(3-4cos2)k2+4sin 2 k+1-4sin2=0,kPM kPN=-1.所以 PMPN.综上知 PM PN.5.(2017 遵义市联考)如图,已知椭圆C 的方程为+=1(ab0),双曲线-=1 的两条渐近线为 l1,l2.过椭圆 C的右焦点F作直线 l,使 l l1.设直线 l 与椭圆 C的两个交点由上至下依次为A,B,直线 l 与直线 l2交于 P点.(1)若 l1与 l2的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆 C的方程;(2)求的最大值.解:(1)因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线方程为y=x,因为两渐近线的夹角为60且 b0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆 E的方程;(2)设 P是椭圆 E上在第一象限内的点,如图,点 P关于原点 O的对称点为A,关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ与 x 轴交于点C,点 D为线段 CQ的中点,直线 AD与椭圆 E的另一个交点为B,证明:点 P在以 AB为直径的圆上.(1)解:由题意可知2c=2,所以 c=.又=,所以 a=2.b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1,(2)证明:设 P(x0,y0),B(x1,y1),则 A(-x0,-y0),C(x0,0),Q(x0,-y0),所以有 D(x0,-y0),kAD=,所以直线AD的方程为 y=(x+x0)-y0.由消去 y 并整理得(4+)x2-6x0 x+9-16=0,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以 x1+(-x0)=x1-x0=,即 x1=+x0.而 y1=(x1+x0)-y0,所以 y1=(+2x0)-y0=.所以 kPB=-.而 kPA=.所以 kPAkPB=-1,故 PA PB.所以点 P在以 AB为直径的圆上.