1、培优-3-数学 圆锥曲线专题
参数方程 请写出椭圆（双曲线，抛物线）的参数方程.并指出椭圆参数方程中的参数的实际意义.参数化有什么应用，可以解决哪些问题？
1. 已知，，
①若点在单位圆上以为起点按顺时针方向转一圈，求点的轨迹；
②若点 在直线上运动，而点在过点的直线上运动，求，的值。（2000 交大 16）
2. 由参数方程所表示的曲线是（ ）（复旦 2001 15）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
思考：有哪些常见的消参方法？
3. 已知抛物线族，其中参数.
(1)求抛物线顶点的轨迹方程；
(2)求在直线上截得的最大弦长的抛物线方程
2、及最大弦长. （2001上交 22）
极坐标方程
请翻阅教材，确定以原点为顶点的射线（直线），垂直或平行极轴的直线，、以原点为圆心的圆，过原点且圆心在极轴上的圆的方程.并思考，该如何得到任意直线和圆在极坐标下的方程.
以椭圆的左焦点为原点，长轴正方向为极轴，试利用椭圆的第二定义，推导椭圆的极坐标方程.
如果以椭圆的右焦点为原点，方程为何？如果以椭圆中心为原点，方程为何？
椭圆的焦距是_______________。（复旦 2001 5）
已知椭圆的左右焦点为，过分别过作两条相互垂直的直线，交椭圆于四点，求四边形面积的取值范围.
3、
光学性质
求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？（请叙述但不必证明．）（2000 复旦 解答题2）
双曲线，抛物线的类似结论
图像变换
抛物线的准线方程为（ ）（复旦 2001 14）
A． B． C． D．
极点与极线
准备：《乐学七中》蓝书P20，备选例1
结论：已知椭圆方程为，任一点，直线，称为点P对应的极线，点P称为直线的极点.
特别的，焦点和相应准线是一对特殊的极点和极线.（验证）
极点极线有如下性
4、质：
若P在椭圆上，则P的极线是椭圆的切线
若P在椭圆内，则P的极线与以P为中点弦平行（它们的斜率是_______.）
若P在椭圆外，则P的极线是过P做椭圆的两条切线的切点的连线。（切点弦）
极点与极线的对偶性：P点极线上的点的极线过P点，反之过P的任意直线对应的极点必在P的极线上
过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上
点P是曲线C的极点，他对应的极线为L，则有
Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则即
Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P
5、作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR
请以此为背景，阅读蓝书P25 左上例2,完成以下两题.
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
(1)当时，求椭圆的方程.
(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值.(2011 四川高考)
已知椭圆 与圆，过椭圆上一点P作圆的两条切线，切点弦所在的直线与x轴，y轴分别交于点E，F，求面积的最小值.（2014 华约 5）
典型问题
面积相关
1.在直角坐标系中，是
6、原点，是第一象限内的点，并且在直线上（其中），，是双曲线上使的面积最小的点，求：当取中什么值时，的面积最大，最大值是多少? （复旦 2001 26）
2.设A,B,C,D在上，A，D关于抛物线的对称轴对称，过点D作抛物线的切线，与切线平行的直线l交抛物线于B，C.点D到AB、AC的距离分别为且.
(1)试问 是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形.并说明理由.
(2)若的面积为240，求点A的坐标和直线BC的方程.
（2010 华约 12）
3.已知L1，L2为点O出发的两条射线，为一常数，直线L分别交L1，L2于A，B两
7、点，且，AB中点为D，D随着A，B运动构成轨迹，求证：轨迹关于L1,L2夹角的角平分线反射对称，且轨迹为双曲线。 （2012 北约 4）
轨迹问题
4.C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.（2011 华约 6）
杂题
5.设双曲线 ，椭圆 .若C2的短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为 （2010清华）
6.用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面？（一条抛物线讲平面分成两部分区域，其中包
8、含焦点的区域称作抛物线的内部） （清华09 5）
7.点P为双曲线上任一点，PQ为双曲线在P处的切线，F1，F2为双曲线的焦点.证明：PQ平分.（北大 2011）
8.已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与平行的直线与椭圆交于P.
求证： 成等比数列.
（2009 清华）
9.为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（北大 2010 3）
已知，是正三角形，且在双曲线一支上.
(1)求证：B、C关于直线对称；(2)求的周长.（2009 清华 5）
10.设M是直线上的点，与是椭圆的焦点，过点M以、作椭圆C，问：M在何处时，所作椭圆C长轴最短，并求椭圆C方程.（南大 2008）
已知线段AB长度为L，两端都在抛物线，试讨论AB中点M到y轴距离的最小值.（2007交大 5）
拓展阅读，椭圆几种生成方式的统一
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
