线性代数总复习--很全!(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要求：会用其性质与展开定理,，,计算低阶及特殊的行列式。,一、行列式,两个重要概念,：,余子式,代数余子式,1,上（下）三角行列式的值,=,对角线上元素之积,性质,是计算行列式的中心环节，,利用性质将行列式,化为三角形行列式,，,然后计算是计算行列式的重要方法。,2,展开定理及其应用,利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低,一阶行列式的计算。,3,特殊关系式,4,例题,解,计算下列行列式,5,6,解方程,此为范德蒙行列式,例题,7,二、矩阵,不能推出,(1),(3),(2),或,不能推出,交换律不成立,消去律不成立,转置矩阵的运算律,一、矩阵运算中注意的几点,8,特殊矩阵,：,若,若,阶梯阵,A,与行最简阶梯阵,B,若,A,为,n,阶对称矩阵,A,为,n,阶反对称矩阵,9,n,阶方阵,A,可逆的充要条件,n,阶方阵,A,可逆,可逆矩阵,10,可逆矩阵的性质,设,A,B,都是,n,阶可逆矩阵，,k,是非零数，则,5,、求方阵,A,的逆矩阵的方法,11,特别：,12,矩阵的初等变换,初等方阵,用初等方阵左（右）乘,A,，,相当于对,A,作初等行,（列）变换得到的矩阵，,矩阵,A,的标准型,13,1,、,R,（,A,）：,A,的不等于,0,的子式的最大阶数。,2,、秩的基本关系式：,3,、关于秩的重要结论：,矩阵的秩,14,重要结论,定理,15,秩的求法：,1),R,（,A,）：,A,的不等于,0,的子式的最大阶数。,2,）,初等变换法：,R,（,A,）,=,T,的阶梯数,3,）若,P,可逆，则,常需先验证,P,可逆,16,选择题,1,设,A,、,B,都是,n,阶方阵，则,e,17,选择题,2,（,4,）,18,（,2,）,19,选择题,4,（,3,）,20,解,例,21,例,：设方阵,A,满足,2A,2,-5A-8E=0,，证明,A,-,2E,可逆，,关键：寻求方阵,B,，使（,A-2E,）,B=E,分析,原式可写为,（重点）,22,例,：设矩阵,X,满足：,AXB=XB+C,，求,X其中,由已知，得,AXB,-,XB,=,C,，,则得,显然,A-E,、,B,均可逆，并且,解,（重点）,23,例,24,R(A),=2,初等变换,例,（重点）,25,例,解,26,三向量组的线性关系,定义,定义,极大无关组、等价,等价定义,（重点）,27,结论,:,2,、,。,3,、,1,、,矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系,注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法,；,秩（,A,）,=,列向量组的秩,=,行向量组的秩,28,定理,29,定理,30,判别法,1,判别法,2,等价的向量组的,秩相等,；,部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关,31,判别法,3,32,例题,DF,33,例题,BC,34,设,解,例,重点,35,(,续,),其余向量由此极大无关组表示为：,所以,36,向量,4-,例题,4,解,1),因为行列式,所以当,b=3,或,b=1,时，,D=0,，线性相关；,否则线性无关。,37,证明,证明,38,证明,分析：只要证明：,B,的列秩,=m;,证明,39,40,例,设向量组,问,k,为何值时,表示法唯一，,不唯一，,不可表示。,解,设,即,用克莱姆法则,41,k=,-3,时,表示法唯一，,时,同解方程组,有无穷多解。,时,方程组有唯一解,表示法不唯一，,42,线性方程组,解的存在性定理,各种解法,解的结构,四、线性方程组的解法与解的结构,定理,1,设有非齐次线性方程组,43,定理,1,设有齐次线性方程组（,2,）,方程组,-2-,通解、基础解系,44,方程组,-2-,通解、基础解系,定理,2,设有非齐次线性方程组（,1,）,45,讨论,a,满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、,解,系数行列式,所以,1):,2):,有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。,（重点）,例,46,例题,3,（续）,由于同解方程组中出现了矛盾方程,:0=3,故无解,.,2):,则通解为,47,当,时，,称,与,正交,。,定理,中两两正交、非零向量组,线性无关。,若,满足,称,为,规范正交基,。,定义,3,五、内积、施密特正交化。,48,定义,4,是,n,阶方阵,若,是,正交矩阵,称,性质,2,的列,(,行,),向量组为正交单位向量组,是正交矩阵,性质,1,是,正交矩阵,则,A,可逆且,设,性质,3,设,A,、,B,都是正交矩阵，,则,AB,也是正交矩阵。,即,A,的,n,个列向量是单位正交向量组。,性质,4,设,A,是正交矩阵，则,也是正交矩阵。,性质,5,设,A,是正交矩阵，则,49,3,、施密特正交化方法,设在,中,为线性无关向量组,令,正交化过程：,则,是正交向量组，,单位化,50,六、特征值与特征向量、矩阵的对角化,内容：,矩阵的特征值与特征向量的定义,求法,性质；,相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法,定义,1,使方程,设方阵,成立数,和,n,元非零列向量,51,1-,特征值、特征向量,-,求法,1,、,特征值,的求法,2,、特征向量的求法,52,2-,特征值、相似矩阵,-,的性质,性质,全不为零。,53,3-,特征值、相似矩阵,-,的性质,性质,2,54,例,2,、,3-,特征值、相似矩阵,例,3,设,A,是一个方阵,-1,0,0,55,例,4-,相似矩阵,设矩阵,A,、,B,相似，求参数,a,b,c.,解,1,）因为矩阵,A,、,B,相似，所以,56,例,4-,相似矩阵,设矩阵,A,、,B,相似，求参数,a,b,c.,2,）因为矩阵,A,、,B,相似，所以,1,也是,A,的特征值，所以,并且,1,是,B,的一个特征值,57,3-,特征向量的性质,1,）,方阵,A,的不同特征值所对应的特征向量必线性无关,。,2,）,实对称矩阵,A,的不同特征值所对应的特征向量必相,3,）正交向量组必是线性无关组。,互正交,。,58,4-n,阶方阵,A,可对角化的条件、方法,1,、一个充分必要条件：,n,阶方阵,A,可对角化,A,有,n,个线性无关的特征向量,2,、两个充分条件,：,1,）如果,A,有,n,个互不相同的特征值，则,A,必可对角化,2,）如果,A,是实对称矩阵，则,A,必可用正交矩阵对角化。,3,、,对角化方法,：,4,、正交对角化,（重点）,（重点）,59,例,1,（,1,）求,设,相似于,（,1,）由性质2,）,（,2,）,解,60,例,5,61,三阶实对称矩阵 的特征值分别为,秩,例,8,相应的特征向量分别为,已知,求 的值及矩阵,解,秩,有三个不同,特征值,则 可取,的特征向量为,则,62,七、二次型化标准型,-1-,基本定义、基本内容,1,、二次型,二次齐次多项式；,标准型的矩阵,对角阵,二次型的矩阵表示,2,、二次型的矩阵,前提,：实对称矩阵；注意元素特点,标准型,仅含有平方项的二次型,则二次型的矩阵,63,二次型及其标准型,-2-,最重要内容,注,1,：对线性变换,X=PY,来说，当,P,可逆矩阵时，称之为,可逆变换；当,P,是正交矩阵时，称之为正交变换,用正交变换 将二次型 化为标准型；,64,二次型,-3-,例,2,求正交变换,X=QY,，将二次型 化为标准型,解,二次型的矩阵为,65,3,）对每个基础解系进行,Schmidt,正交化、再单位化：,66,67,68,