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函数的单调性与奇偶性知识点回顾
山东省 王光天 林敬霞
函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，函数的单调性、奇偶性揭示了函数的基本特征，是研究函数的重要方面，几乎是每年必考的内容，例如判定或证明函数的单调性（或奇偶性），求解单调区间，利用单调性求最值，求参数的取值范围，利用单调性奇偶性解不等式等，高考试题中既有选择题、填空题，又有解答题。
考点一、单调性的判定与讨论
例1、⑴（2005年上海）若函数，则该函数在上是
A 单调递减无最小值 B 单调递增有最小值
C 单调递增无
2、最大值 D 单调递增有最大值
解析：利用基本初等函数的单调性作出判断，再由单调性研究最值，
∵ 在R上递增且大于1 ∴ 在R上递减，
且 故在R上既无最大值，也无最小值，故选 A
解题回顾：本题主要考查函数的性质等基础知识，注意结合基本初等函数的单调性。
⑵（2006年海淀区）函数的图象如图，则函数
的单调减区间是
A B C D
解析：，在上是减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当，即时
所以，为减函数，其单调区间为。
解题回顾：本题考查了复合函数的单调性的判定，利用基本初等函数的单调性，借助复合函数结构形式，从而判定复合函数的单
3、调性。
⑶、已知，求的单调递增区间。
解析：
由，可得：或
所以，的单调递增区间是，。
解题回顾：当函数可导时，可利用导函数的符号来确定单调性，注意先求函数的定义域，若列表便可使这一解题过程简洁明了，同时也可以反映出该函数的一些极值。
考点二、函数奇偶性的判定与证明
例1、⑴判定下列函数的奇偶性，并说明理由
① ② ③
解析：①函数的定义域为R，它关于坐标原点对称
又 即
所以函数是奇函数。
②的定义域为，关于原点对称
又∵
即 故函数是奇函数。
③的定义域为，关于原点对称
又∵，即且
所以，既是奇函数，又是偶函数。
解题回顾：判
4、断函数的奇偶性时，首先要检查定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，若成立时，则函数为奇函数，若时，函数为偶函数。
⑵、（06年上海题）
①函数若对于任意实数都有
求证：是奇函数
证明：因为函数的定义域为R，所以关于原点对称
设，则 ∴
又设，则 ∴
所以，是奇函数。
②函数若对于任意实数，都有
求证：是偶函数
证明：因为函数的定义域为R，所以关于原点对称
令得，
令得，
解方程组得：
所以，是偶函数
③设函数是定义在上
证明：是偶函数，是奇函数。
证明：对任意的，也必有，可见的定义域也是，
若设
则与的定义域
5、也是，显然是关于原点对称的区间
且
所以为偶函数，为奇函数。
解题回顾：若两函数都定义在同一关于原点对称的区间上，则
①两个奇函数的和为奇函数；②两个偶函数的和为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
考点三、函数的单调性、奇偶性的简单应用
例3、⑴（06年北京模拟）若在上是递减函数，则实数a的值的集合是 。
解析：有函数的解析式的递减区间为 ∵在上是递减函数
∴ ∴ 即
故的集合是。
解题回顾：解答此题，需要分清函数的递减区间是与是减函数是两个不同的概念，否则得到，即的
6、错误答案，显然，上面的解法应是函数在子区间单调性的性质。
⑵（06年山西模拟题）已知奇函数在定义域内递减，求满足的实数的取值范围。
分析：为了求得的取值范围，需将从函数符号下人力出来，依据单调性及奇偶性产生关于的不等式，最后结合定义域便可得的取值范围。
解析：因为函数在定义域
∴有 解得：
又为奇函数，在上递减，
∴ 即
综上所述，实数的取值范围是。
解题回顾：根据函数的单调性，函数值的大小的比较与自变量大小的比较可以互相转化运用，但必须注意函数的定义域。
⑶（06年山东模拟）函数对任意的都有，并且当时，
①求证：是R上的递增函数；
7、
②若，解不等式。
分析：①对于抽象函数的单调性的证明，要利用单调性的定义。
②将函数不等式中抽象函数符号“”运用单调性“去掉”，为此将右边的3看成是某个变量的函数值。
证明：①设，且，则 ∴
∴
即 是R上的递增函数；
② ∵ ∴
∴原不等式可化为
∵是R上的递增函数，∴
解得： ，故解集为
解题回顾：对于函数不等式的求解，总是设法去掉抽象函数的符号，转化为一般的不等式（组）求解，但必须注意所有的解答函数的定义域内进行。
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