离散数学复习题.doc

2004年《复变函数与积分变换》试卷

一、 填空题（满分30分）
（1）方程的全部解为 。
（2）平面上的直线（为实常数）在映射下的原像为 。
（3）设在右半平面是解析函数，则常数
。
（4）设是从点到原点的有向直线段，则积分 。
（5）设，其中为的正向，则，则= 。
（6）设的泰勒级数为，则其收敛半径为 。
（7）函数在处的Taylor级数为 。
（8）设，则Res 。
（9）设为单位阶跃函数，则 。
（10）设，则= 。
二、（本题满分10分）已知调和函数，试求其共轭调和函数，使得为解析函数。

三、（本题满分12分）将函数分别在下列圆环域：（1）；
（2）内展开成罗朗级数。

四、（本题满分18分）计算下列积分
（1），其中为的正向；
（2），其中；

（3），其中为的正向。

五、（本题满分10分）求将上半平面映射成圆，且满足 的分式线性映射。

六、（本题满分10分）
（1）计算；
（2）若，为非零常数，证明：。

七、（本题满分10分）用积分变换求方程满足初始条件的解。

2005年《复变函数与积分变换》试卷

一、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。）
（1）的实部是 ，虚部是 。
（2）若，则Res= 。
（3）映射在处的伸缩率为 ；转动角为 。
（4）设，则= .
（5）设，则= 。
二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）
（1）复变函数在点解析与在点（ ）等价。
（A）可导 （B）某邻域内可展开成幂级数
（C）满足条件 （D）可微
（2）设在单连通域内解析，为内一条正向简单闭曲线，则必有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）是的（ ）。
（A）可去奇点 （B）本性奇点 （C）二级极点 （D）以上全不正确
（4）分式线性映射，将映射成（ ）。
（A） （B） （C） （D）
（5）如果函数的幂级数为，则此幂级数的收敛半径为（ ）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）
（6）设，则（ ）。
（A）1 （B） （C） （D）
三、（9分）设，求的值使为调和函数，并求出解析函数。

四、计算下列积分（本题共5小题，每小题5分，满分25分。）
1）沿从原点到的直线段，计算积分。

（2），其中为正向。

（3），其中为正向。

（4），其中，正向圆周。

（5）求

五、（5分）求级数的收敛半径，并讨论和2时级数的敛散性。

六、（10分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数。
（1）； （2）； （3）。

七、（9分）应用拉氏变换解满足初始条件的微分方程

八、（4分）设函数在区域内解析，且满足条件，其中是不全为零的常数，证明在内恒为常数。

2006年《复变函数与积分变换》试卷

一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）
（1）已知是解析函数，则= ，= ，= 。
（2）设的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为 。
（3）已知 ，则= 。
（4）在处的伸缩率为 ，转动角为 。
（5）设 则= 。
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）
（1）函数在点处可导是在该点解析的（ ）
（A）充分条件。 （B）必要条件。
（C）充要条件。 （D）既非充分也非必要条件。
（2）将平面上的直线映射成平面上的曲线（ ）
（A）。 （B）。 （C）。 （D）。
（3）设曲线为单位圆，取正向，则积分（ ）
（A）。 （B）。 （C）。 （D）0。
（4）级数（ ）
（A）条件收敛。 （B）绝对收敛。 （C）发散。 （D）敛散性不定。
（5）是函数的（ ）
（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。
三、（12分）已知调和函数 ，求调和函数，使成为解析函数，并满足。
四、（20分）计算下列积分：
（1），其中为抛物线上从点0到点的一段弧；

（2），：，正向；

（3），：，正向；

（4）。

五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：
（1）； （2）； （3）。

六、（10分）求将上半平面映射成单位圆且满足条件 的分式线性映射。

七、（12分）应用Laplace变换解微分方程：

八、（4分）设函数在区域内解析，且在区域内是一个常数，证明在内恒为常数。

2007年《复变函数与积分变换》试卷

一、 填空题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）已知函数是解析函数，则 ， ， .
（2）设的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为 .
（3）已知，则 .
（4）计算 .
（5）设则 .
二、选择题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）下列说法正确的是（ ）
（A）若在区域内可导，则在区域内解析。
（B）若在点解析，，则在区域内可导。
（C）若在点连续，则在点可导。

（D）若在点可导，则在点解析。
（2）将平面上的曲线映射成平面上的图形为（ ）
（A）。 （B）。 （C）。 （D）。
（3）设为正向圆周，则积分（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）级数（ ）
（A）敛散性不定。 （B）发散。 （C）条件收敛。 （D）绝对收敛。
（5）是函数的（ ）
（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。
三、（12分）验证在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数，且使.

四、计算下列各题（本小题共6小题，每小题5分，满分30分）
（1）；

（2），其中，取正向；

（3），其中，取正向；

（4），其中，取正向；

（5），其中，取正向；

（6）。

五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：
（1）； （2）； （3）

六、（12分）用积分变换解微分方程，.

七、（4分）设在上解析，且，证明 .