平行四边形、多边形.doc

第24课时 平行四边形、多边形

一、【教学目标】
1．了解多边形的有关概念；
2．了解多边形的内角和与外角和公式；
3．了解正多边形的概念；
4．掌握平行四边形的概念；
5．掌握平行四边形的性质及判定；
6．了解三角形的中位线的概念；
7．掌握三角形的中位线性质定理.
二、【重点难点】
重点：1．多边形的内角和公式与外角和定理；2．平行四边形的性质与判定；3．三角形的中位线定理.
难点：平行四边形的判定的运用.
三、【主要考点】
（一）、平行四边形的定义 
两组对边分别平行的四边形.
（二）、平行四边形的性质 
1．对边平行且相等；
2．对角相等；
3．对角线互相平分.
4．是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
（三）、平行四边形的判定 

（四）、三角形的中位线 
1．定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
2．性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
（五）、多边形的定义及性质
　　 1．多边形的定义：在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形；
2．多边形的性质：
（1）内角和：n边形的内角和为（n-2）×180°；
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°；
（3）对角线：n边形从一个顶点出发可以画(n-3)条对角线，一共可以画条对角线；

3．正多边形：
（1）定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形；
（2）性质：正n边形的每一个内角的度数为，每一个外角都是.
四、【经典题型】
【24-1A】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B.五边形 C．六边形 D．八边形
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n-2）×180°=2×360°，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：C．
温馨提示：　必须熟记多边形的内角和公式和外角和定理，求边数的问题通常设边数为n，利用方程思想，根据多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，建立等量关系，转化为解方程的问题来解决.
【24-2A】如图24-2，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=4cm，则DE=　　cm．

解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC．又∵BC=4cm，∴DE=2cm．
温馨提示：　三角形的中位线定理常用求线段的长度或证明线段的倍数关系或证明两条直线的位置关系（平行）.
【24-3A】如图24-3，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．求证：AE＝CF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF
在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF，∴AE＝CF．
温馨提示：　在平行四边形中，通过证明三角形全等而获得线段或角相等，是最常用的方法．
【24-4B】如图24-4，已知在□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.
求证：四边形MFNE是平行四边形 .

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=CB，∠A=∠C，
又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF（SAS）. ∴DE=BF.
又∵M、N是DE、BF的中点，∴EM=FN.
∵AB∥CD，∴∠AED=∠EDF.
又∵△ADE≌△CBF，∴∠AED=∠CFB，∴∠EDF=∠CFB.
∴DE∥FB.∴ 四边形MFNE为平行四边形.
温馨提示：　平行四边形的判定通常结合平行四边形的性质考查.无论是判定还是性质，都要从边、角、对角线这几个方面入手，如果已有对角线（或一条）要多考虑利用对角线解答，如果有一组对边平行，重点考虑用一组对边平行且相等证明平行四边形.
五、【点击教材】
【24-5B】（八下P77）如图24-5，□ABCD的对角线相交于点O，EF经过点O，分别与边AD，BC相交于点E，F，点M，N分别是线段OB，OD的中点.

求证：四边形EMFN是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，AD=BC且AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，
在△FOB与△EOD中，，∴△FOB≌△EOD（ASA），∴EO=FO，
∵BO=DO，又M、N分别为OB、OD的中点，∴OM=ON，
∴四边形EFGH为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
温馨提示：　本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
【24-6B】已知如图24-6，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．

解∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=BC，EF=GH=AD，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
温馨提示：　本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
六、【链接中考】
【24-7B】（2015•河南）如图24-7-1，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）

A．4　　　　　　 B．6 　　　　　　C．8 　　　　　　D．10
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图24-7-2，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，
又∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AB=EB，又由作法可知AB=AF，∴AF=BE，
又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，又AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形，∴AE=2AO，OB=BF =×6=3， AO⊥BF，
在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO= 8．故选C．
【24-8B】（2015•河北）如图24-8，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（　　）

A．②③　　　 B．②⑤　　　 C．①③④　　　 D．④⑤
解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；
∵PA、PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．
七、【课时检测】
（一）、选择题: （时量：9分钟，满分：27分，每小题3分）
【24-9A】一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
【24-10A】如图24-10，□ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC

【24-11A】如图24-11，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）
A．25cm B．50cm 　　　　C．75cm D．100cm
【24-12A】如图24-12，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【24-13A】（2015•孝感）已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（　B　）
A．正五边形 　　　B．正六边形 　　　C．正七边形 　　　D．正八边形
【24-14A】（2015•济宁）只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（　　）
A．正五边形 　　　B．正六边形 　　　C．正八边形　　　　　D．正十边形
【24-15A】（2015•绵阳）如图24-15，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6　　　　　B．12　　　　　 C．20　　 　　　D．24

【24-16A】（2014•宜昌）如图24-16，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（　　）
A．AB=24m　　B．MN∥AB　　　C．△CMN∽△CAB 　　D．CM∶MA=1∶2
【24-17A】如图24-17，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，且AB=CD　　　　 B．AB=CD，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO 　　　 　 D．AB∥CD，且AD=BC
（二）、填空题: （时量：16分钟，满分：24分，每小题3分）
【24-18A】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 .
【24-19A】（2015•北京）如图24-19是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=___________.

【24-20A】如图24-20，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是 .
【24-21A】如图24-21，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．
【24-22A】（2015•珠海）如图24-22，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为__________.

【24-23A】（2015•百色）如图24-23，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为____________.
【24-24A】．（2015•牡丹江）如图24-24，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件___________只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【24-25B】（2015•广州）如图24-25，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___________.

（三）、解答题：（时量：28分钟，满分：36分，每小题9分）
【24-26A】如图24-26，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．

【24-27A】如图24-27，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

【24-28C】（2013•永州）如图24-28，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．

【24-29B】（2015•扬州）如图24-29，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．

【课时参考答案】
（一）、选择题: （时量：9分钟，满分：27分，每小题3分）
【24-9】D；　　【24-10】C；　　【24-11】D；　【24-12】C；　【24-13】B；
【24-14】B；　　【24-15】D；　　【24-16】D；　【24-17】D；
（二）、填空题: （时量：16分钟，满分：24分，每小题3分）
【24-18】7；　　【24-19】360°；　【24-20】9；
【24-21】AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等
【24-22】1；　　　【24-23】20；　
【24-24】OB=OD或AD∥BC或AB∥CD；　　　【24-25】3；
【24-25】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．
（三）、解答题：（时量：28分钟，满分：36分，每小题9分）
【24-26】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°-∠ABD=180°﹣∠CDB，即∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．
【24-27】（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形.
【24-28】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
【24-29】证明：（1）由折叠可知∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴CE∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2．
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