初中数学知识网络结构总复习.docx

中考总复习-数学知识网络--1
第一单元 数与式
一、 实数的有关概念
1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0.
2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a的倒数为.注意:0没有倒数.
3、 绝对值:a的绝对值为|a|,|a|=
4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小
6、 无理数：无限不循环小数
7、 实数分类：实数
8、 科学记数法：把一个数写成a×的形式（其中1≤ a<10，n是整数）
9、 近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
10、 非负数：指 a≥0，非负数有|a|，，.注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数为0.
二、 实数的有关计算
1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方
2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号；同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。
3、 运算律：
（1） 加法交换律：a+b=b+a
（2） 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
3） 乘法交换律：ab=ba
（4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
（5） 乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc
三、 代数式有关概念
1、 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数或字母也是代数式
2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。
3、 代数式分类：代数式
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四、 整式
1、 整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。
2、 整式运算：
（1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项
①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项
②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。注意：不是同类项不能合并。
③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c
④添括号法则：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
(2)整式的乘、除法：
①幂的运算法则：
（a≠0）
（ b ≠0） （a ≠0） （a≠0）
②乘法公式：平方差公式
完全平方公式
③单项式乘以（或除以）单项式
④单项式乘以多项式：
⑤多项式乘以多项式：
⑥多项式除以单项式：

五、 因式分解
1、概念：把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解
2、因式分解方法与步骤：
一提（公因式）：
二用（公式）：平方差公式
完全平方公式
三试（十字相乘）
四查：检查每一个因式都不能分解为止

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六、 分式
1、 分式；除式中含有分母的有理式叫分式
2、 分式基本性质： （m≠0）
3、 约分和通分：约分，通分→
4、 分式运算
①分式的加减法：同分母 异分母
②分式的乘除、乘方：
注意：分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后进行约分和通分。
七、 根式

1、 方根的有关概念
（1） 平方根： a的平方根（a≥0），注意：负数没有平方根
（2） 算术平方根： a的算术平方根（a≥0）
（3） 立方根： a 的立方根（a为全体实数）
2、 二次根式
（1）式子（a≥0）叫二次根式
（2）二次根式的性质： ① （a≥0） ②|a|=
③ ④（a≥0，b＞0）
（3）最简二次根式：被开方数中每一个因式的指数都小于2，并且被开方数不含分母的二次根式叫最简二次根式
（4） 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式
3、 二次根式的运算：
（1） 加减法：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式
（2） 乘除法：（a≥0，b＞0）
（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：
，

第二单元 方程与不等式
一、 一元一次方程
1、 标准形式：（a、b为常数，且a≠0）
2、 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

二、 二元一次方程组
1、 概念：由几个一次方程组组成并含有两个未知数的方程组
2、 解法：代入（消元）法；加减（消元）法

三、一元二次方程
1、 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是：
2、 解法和步骤：
一看（直接开平方法）：（k≥0）
二试（因式分解法）：提公因式（）；用公式（如）；十字相乘
三用（求根公式）：，注意：＜0，方程没有实数根
四配（配方法）：二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方
3、简单的二元二次方程组的解法：代入（消元）法

四、一元二次方程的根的判别式和根与系数关系
1、根的判别式：
一元二次方程的根的判别式△=
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根
（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根
（3）当△＜0时，方程没有实数根
反之也成立！注意：△≥0时，方程有实数根
2根与系数关系（韦达定理）
一元二次方程的两个根为，则
利用它求含根代数式的值的方法有：（1）通分：如倒数和
（2） 配方：如平方和
（3） 去括号：如
（4） 提公因式：如

五、分式方程
1、概念：分母含有未知数的有理方程叫分式方程
2、解法步骤：（1）去分母：方程两边同时乘以各分母的最简公分母，化为整式方程
（2）解所得整式方程
（3）检验：把解得的整式方程根代入最简公分母，不为0是原方程根，为0不是原方程根（是增根）

六、方程（组）应用题
1、列方程（组）解应用题的一般步骤是：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）（找等量关系）；（4）解方程（组）；（5）检验作答
2、几个重要关系式
（1）路程=速度×时间
（2）工作量=工作时间×工作效率
（3）增长（降低）量=原量×增长（降低）率
连续增长（降低）两次后的量=原量（1增长（降低）率）
（4）利润=售价-进价
总利润=单个利润×销售量

八、 一元一次不等式（组）
1、 不等式基本性质：
（1） 若a＞b,则ac＞bc
（2） a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞
（3） a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜
2、 一元一次不等式解法；去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（特别注意：两边除以一个负数，不等号的方向一定要改变）
3、 一元一次不等式组的解法：
（1） 求每个不等式的解集
（2） 在数轴上找这些解集的公共部分，并写出不等式组的解集。

第三单元 函数
一、 平面直角坐标系
1、 坐标平面内的点与有序实数对是一、一对应的
2、 坐标平面内的点的特点：
（1）原点（0，0） 在x轴上点（x，0） 在y轴上点（0，y）
（2）第一象限的点（+，+） 第二象限的点（-，+） 第三象限的点（-，-） 第四象限的点（+，-）

二、 函数有关概念
1、 概念：在某一变化过程中有两个变量 x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一值和它对应，那么y是x的函数，x叫自变量。
2、 函数自变量的取值范围：
（1） 使函数关系式有意义：
整式：全体实数 分式（）：分母a≠0 二次根式（）：被开方数a≥0
（2） 使实际问题有意义，如时间不能为负等
3、 函数值：对于自变量取的每一个值，函数有唯一确定的值和它对应，这个值是函数值。
4、 待定系数法：先根据条件设函数关系式，然后根据条件求出待定的系数，从而求出函数关系式的方法

三、四种特殊函数图象和性质
函数名称
解析式
象
性质
正比例函数
y=kx(k≠0)
一条直线
（过原点）
①k＞0，图象在第一、三象限，y随x增大而增大

②k＜0，图象在第二、四象限，y随x增大而减小
一次函数
y=kx+b(k≠0)
一条直线
①k＞0，y随x增大而增大，图象在第一、三象限外，还要经过一个象限，通过b＞0上移或b＜0下移得到

②k＜0，y随x增大而减小，图象在第二、四象限外，还要经过一个象限，通过b＞0上移或b＜0下移得到

反比例函数
y=(k≠0)
双曲线
①k＞0，图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x增大而减小

②k＜0，图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x增大而增大
二次函数
一般式
( a≠0)
抛物线
①开口方向a＞0，向上，a＜0，向下
②对称轴
③顶点坐标
④最值，若a＞0，当时，若a＜0，当时
顶点式
(a≠0)
①开口方向a＞0，向上，a＜0向下
②对称轴
③顶点坐标
④最值，若a＞0，当时k，
若a＜0，当时k

第四单元 图形认识
一、 角
1、 角度进制：1°=60′，1′=60″
2、 对顶角：相等。如图∠1=∠2
3、 余角、补角及其性质
（1） 余角：∠1+∠2=90°。同角（或等角）的余角相等
（2） 补角：∠1+∠2=180°。同角（或等角）的补角相等

二、 线
1、 直线：两点确定一条直线
2、 线段：两点之间线段最短
3、 垂线：
（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
（2）垂线段最短
（3点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度
4、线段的垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。反之也成立
∵MN是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB
5、角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。反之也成立。
∵OC是∠AOB的平分线上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE
6、平行线：
（1）经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
（2）平行线间距离：相等。如图，a∥b，OP⊥b，OP为平行线间距离
（3）平行线的性质和判定：
图形
平行线的判定

平行线的性质

①同位角相等（∠1=∠2）
②内错角相等（∠2=∠3）
③同旁内角互补（∠2+∠4=180°）

两直线平行

三、 三角形的有关概念
1、 三角形的边、角关系：
图形
角与角
边与边

（1）∠A+ ∠B+∠ ACB=180°
（2）∠1=∠A+∠B
（3）∠1＞∠A，∠1＞∠B
a-b＜c＜a+b
2、 三角形的“五线”、“四心”
线
图形
心
性质
角平分线

内心
到三边距离相等
IA=IB=IC
中线
D

重心
到对边中点距离是到顶点距离的一半
GD=AG
垂线

垂心
四点共圆（不要求掌握）
线段的垂直平分线

外心
到三个顶点的距离相等
OA=OB=OC
中位线

平行于第三边，并且等于第三边的一半
DE∥BC，DE=BC
3、 三角形分类：
（1） 按角分：
（2） 按边分：

四、 全等三角形
全等三角形
判定
一般三角形
直角三角形
边角边SAS
二直角边对应相等
角边角ASA
一边一锐角对应相等
角角边AAS
边边边SSS
斜边、直角边(HL)对应相等
性质
（1）对应角相等
（2）对应线段（边、中线、高、角平分线）相等

五、 等腰三角形和等边三角形
类型
图形
性质
判定
等腰三角形

（1）等边对等角
∵AB=AC
∴∠B＝∠C
（2）三线合一

（3）轴对称图形
等角对等边
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
等边三角形

（1）具有等腰三角形一切性质
（2）∠A＝∠B＝∠C=60°
（3）轴对称图形
（1）∠A＝∠B＝∠C
（2）有一个角是60°的等腰三角形
备注：
三线：顶角平分线、底边上的高、中线

六、 直角三角形
图形
性质
判定
其它
（∠C=90°）
（1）∠A+∠B=90°（2）勾股定理
（1）∠A+∠B=90°
（2）勾股定理的逆定理

（1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半

七、 解直角三角形

1、 锐角三角函数
锐角三角函数
（∠C＝90°）
正弦
sinA==
余弦
cosA= =
正切
tanA= =
2、 特殊角的三角函数值：
角度α
30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

3、 解直角三角形：利用直角三角形已知2个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程，叫解直角三角形
（1）三边关系：勾股定理
（2）锐角关系：∠A+∠B=90°
（3）边角关系（锐角三角函数）：sinA= cosA=
tanA= cotA=
4、坡度：i=

八、 四边形
1、 四边形内角和360°，外角和360°
2、 n边形内角和(n-2)180°，外角和360°
3、 梯形中位线：MN是梯形ABCD的中位线，
则MN∥AD∥BC，MN=（AD+BC）

4、 特殊四边形的性质：
名称
图形
边
角
对角线
对称性
平行四边形

对边平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
中心对称
矩形

对边平行且相等
四个角是直角
互相平分且相等
中心对称、轴对称
菱形

对边平行四条边相等
对角相等，邻角互补
互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角
中心对称、轴对称
正方形

对边平行四条边相等，邻边垂直
四个角是直角
互相平分、相等、垂直，每条对角线平分一组对角
中心对称、轴对称
等腰梯形

两底平行，两腰相等
同一个底上两个角相等
对角线相等
轴对称
5、 特殊四边形的判定：
平行四边形
1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、一组对边平行且相等4、两组对角分别相等 5、两条对角线互相平分
矩形
1．有三个角是直角 2、有一个角是直角的平行四边形 3、两条对角线平分且相等
菱形
1、四条边相等 2、一组邻边相等的平行四边形 3、两条对角线平分且垂直
正方形
1、有组邻边相等的矩形2、有一个角是直角的菱形 3、两条对角线平分、相等且垂直
等腰梯形
1、同一个底上两个角相等的梯形 2、对角线相等的梯形

九、 圆
1、 圆的有关性质：
（1）经过不在同一直线上三个点确定一个圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
∵MN是⊙O的直径，MN⊥AB，∴AC=BC，AM=BM，AN=BN
（3）圆心角：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
（4）圆周角：
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠ BAC=∠BOC
②同弧（或等弧）所对的圆周角相等
③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2、与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
图形
点与圆的位置关系
d与r关系

点在圆内
d＜r
_
P
_
O

点在圆上
d＝r

点在圆外
d＞r

（2）直线与圆的位置关系
图形
直线与圆的位置关系
d与r关系

相交
d＜r

相切
d＝r

相离
d＞r

（3）切线（长）性质与切线判定：
图形
切线（长）性质
切线判定

a为⊙O的切线，则OP⊥a
经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线

PA=PB，∠APO=∠BPO

（4）圆与圆的位置关系
图形
圆与圆的位置关系
d与 R、r关系(Rr)

外离
d＞R+r

外切
d＝R+r

相交
R-r＜d＜R+r

内切
d＝R-r

内含
0＜d＜R-r

2、 与圆有关的计算
(1) 弧长公式：
(2) 扇形面积公式：
(3) 圆柱的侧面积： +
(4) 圆锥的侧面积： +

第五单元 图形与变换
一、 对称、平移、旋转
1、 轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正n 边形
2、 中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正n 边形（n 为偶数）

二、 相似
1、 比例线段：
（1） 基本性质：
（2） 合比：
（3） 等比：

2、平行线分线段成比例： a∥b∥c
DE∥BC
3、黄金分割
4、相似三角形：
判定
两角对应相等
两边对应成比例，夹角相等
三边对应成比例
性质
(1)对应角相等
(2)对应边成比例
(3)对应线段（中线、高、角平分线）比等于相似比
(4)周长比等于相似比
(5)面积比等于相似比的平方
5位似图形：如果两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心

三、 尺规作图
1、 五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段（2）作线段垂直平分线（3）作角平分线（4）作一个角等于已知角（5）过一点作已知直线的垂线
2、 会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线

四、 视图与投影、镶嵌
1、 三视图：主视图、俯视图、左视图
2、 任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面

第六单元 统计与概率
十、 总体、样本、平均数
1、 总体与样本：
总体：所要考察对象的全体
个体：总体中每一个考察对象
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量：样本中个体的数目
2、 平均数：
（1） 如果有n 个数，则它们的平均数为
（2） 加权平均数：如果在n个数中，，那么他们的平均数为
（3） 通常用样本平均数估计总体平均数
3、 众数、中位数
（1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数
（2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数），叫做这组数据的中位数

十一、 统计图表
1、 条形图：如图1
2、 折线图：如图2
3、 扇形图：如图3

70
45
20
95
120
亿元
年份
2001
2002
2003
2004
2005
图2
我市2001-2005财政收入统计图

3
9
12
52
55
58
60
62
65
8
4
车速
车辆数
0

乙：
甲：

丙：
（得票率）

图3

图1

十二、 频率与方差
1、极差：极差=最大值-最小值
2、方差：
3、标准差：
注：极差、方差、标准差都是用来衡量样本波动大小的量，极差（方差、标准差）越大，波动性越大
4、频数、频率：
频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数
频率=， 注意：一个事件中频率的和=1
5、频数分布表、频数分布直方图及频数折线图：
（1）频数分布表：如图1
（2）频数分布直方图（如图2）：
一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③列频数分布表；④画频数分布直方图
（3） 频数折线图：如图3
分组
频数
频率

合计

图3
图2
图1

三、 概率
1、 概率 ， 0 ≤≤1
必然事迹： =1 不可能事件： =0
不确定事件（可能事件）：0＜＜1
2、 求概率的方法：
（1）列举法（包括列表）
（2）画树状图
（3）大量重复实验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

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