高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示知能训.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示1(2016北京一模)已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB(2，4)，AC(1，3)，则AD()A(2，4)B(3，7)C(1，1)D(1，1)解析：选D.如图，BCACAB(1，1)，所以ADBC(1，1)，故选 D.2已知向量a 8，12x，b(x，1)，其中x0，若(a 2b)(2ab)，则x的值为()A4 B 8 C0 D 2 解析：选A.a2b 8 2x，12x2，2ab(16 x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然 2ab0，故有 82x，12x2 (16 x，x1)，R，所以82x（16x），12x 2（x1）?x 4(x0)3(2016日照一模)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACa，BDb，则AF等于()A.14a12b B.23a13bC.12a14b D.13a23b解析：选B.如图，因为DEFBEA，所以DFBADEBE13，过点F作FGBD交AC于点G，所以FGDO23，CGCO23，所以GF13b，因为AGAOOG23AC23a，所以AFAGGF23a13b.故选 B.4(2016南昌十校联考)已知a(3，1)，若将向量2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，则b的坐标为()A(0，4)B(23，2)C(23，2)D(2，23)解析：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学选 B.因为a(3，1)，所以 2a(23，2)，易知向量2a与x轴正半轴的夹角150(如图)向量 2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角 30，所以b(23，2)，故选 B.5.如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：OA2OB；12OA13OB；34OA13OB；34OA15OB；34OA15OB，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()ABCD解析：选 B.在ON上取点C使OC2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则ODOA2OB，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊12OB，由于EF12OB，所以12OA13OB的终点在阴影区域内，排除选项D.故选 B.6(2016洛阳统考)如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是()A(0，1)B(1，)C(，1)D(1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设BDBA(1)，则ODOB BAOA(1)OB.又C，O，D三点共线，令OD OC(1)，则OCOA1OB(1，1)，所以m，n1，且mn11(1，0)7已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|2|AC|，则向量OB的坐标是 _解析：由点C是线段AB上一点，|BC|2|AC|，得BC 2AC.设点B为(x，y)，则(2 x，3y)2(1，2)，即2x 2，3y 4，解得x4，y7.所以向量OB的坐标是(4，7)答案：(4，7)8已知A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，APABtAC(tR)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是 _解析：设点P(x，y)，则由APABtAC(tR)，得(x2，y1)(1，4)t(1，1)(1 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学t，4t)，所以x 21t，y 14t，解得x3t，y5t，由点P在第二象限，得x3t0，y5t0，所以 5t 3.答案：(5，3)9(2016合肥质检)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a(cos C，3bc)，向量b(cos A，a)且ab，则 tan A_解析：ab?(3bc)cos Aacos C0，即3bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得3sin Bcos A sin Ccos Acos Csin A?3sin Bcos Asin(CA)sin B，即 cos A33，所以 sin A63，tan Asin Acos A2.答案：2 10已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且BCa，CAb，给出下列命题：AD12ab；BEa12b；CF12a12b；ADBECF 0.其中正确命题的个数为_解析：BCa，CAb，AD12CBAC12ab，故错；BEBC12CAa12b，故正确；CF12(CBCA)12(ab)12a12b，故正确；所以ADBECFb12aa12b12b12a0.故正确所以正确命题为.答案：3 11如图，以向量OAa，OBb为邻边作?OADB，BM13BC，CN13CD，用a，b表示OM，ON，MN.解：因为BAOAOBab，BM16BA16a16b，所以OMOBBM16a56b.因为ODab，所以ONOC13CD12OD16OD23OD23a23b，所以MNONOM23a23b16a56b12a16b.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学综上，OM16a56b，ON23a23b，MN12a16b.12(2016宿州模拟)已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若AB2a3b，BCam b且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k 2)(1)5 0，即 2k450，得k12.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以ABBC，即 2a3b(am b)，所以23m，解得m32.法二：AB2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，BCam b(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以ABBC.所以 8m3(2m1)0，即 2m30，所以m32.1若 ，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量 在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0)B(0，2)C(2，0)D(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(2，2)，即a 2p2q(2，4)，令axmyn(xy，x2y)，所以xy2，x2y4，即x0，y2.所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)2(经典考题)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1)，B(6，2)，C(5，1)，所以aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)因为cab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，即 6 1，2 3，解得 2，12，所以4.答案：4 3(2016太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OMt1OAt2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11 时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线解：(1)OMt1OAt2ABt1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有4t2 0，2t1 4t20，故所求的充要条件为t20 且t12t20.(2)证明：当t11 时，由(1)知OM(4t2，4t22)因为ABOBOA(4，4)，AMOMOA(4t2，4t2)t2(4，4)t2AB，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线4.如图，设Ox，Oy为平面内相交成60角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OPxe1ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标若OP的坐标为(1，1)(1)求|OP|；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的面积最小，并求出最小值解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|ON|1，|OM|NP|1，ONP120，所以|OP|ON|2|PN|22|ON|PN|cos 120 3.(2)设|OA|x，|OB|y.OPmOAnOB(mn1)，则OPmOAnOBmx e1nye2.得mx1，ny1?1x1y 1.SAOB12|OA|OB|sin 6012xysin 60 34xy.因为1x1y12xy，所以xy2，SAOB34xy3，当且仅当xy 2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为3.