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超市服务方案的随机模型
数学系 01数本 2001141120 刘晨凡 指导老师：周天明

摘要：为了提高超市服务效率，我们根据超市顾客到达及服务问题的基本规律，建立了超市服务系统的随机模型，并由此得出最佳服务方案，并对所建立的模型进行仿真模拟，验证了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服务方案的确定。

关键词：随机摸拟；随机数字；随机变量；仿真摸拟；Poisson分布；指数分布；随机模型

０、引言
超级市场门口排列着若干收款台，顾客携带着采购的商品在收款台前排队等候验货付款。若在顾客少时，就能只接付款离开；若在购物高峰期，顾客就得排队等待。作为顾客，我们所关心的是何时能付款后离开，作为超市又不可能为每一个顾客提供一个收款台，这样会花费大量的金钱，但是他会增开几个收款台使得排队的人数恢复到原来的水平。那么要增开几个这样的收款台才能即不多花钱又能使顾客不至于排队等太久呢？这就是本文所要探讨的。
1、随机模型
1.1基本假设：
随机服务过程满足三个性质:顾客到达平稳性、独立增量性和普通性.根据排队付款问题我们就这三个性质做如下假设,并由此得到关于顾客到达时刻和服务时间的概率分布。
①顾客到达平稳性：设在时间内到达顾客数只与时间间隔有关而与时间起点无关，若以记为在时间区间内到达个顾客的概率，则显然有：
②独立增量性：在内来到个顾客这一事件与时刻以前发生的事件独立。
③普通性：在充分小的时间间隔中，最多来到一个顾客，即，若记 应有，即
普通性表明，在同一时间来两个或两个以上顾客实际上几乎是不可能的，因此在后续的推导及计算时予以忽略。
1.2主要结论
引理1 若是连续函数，且对一切有 （1）
则
证明：由知对任意，
因此非负。一直用（1）式，对任意正整数及实数有 （2）
在上式中取得以考虑 （3）
记，则 ，
因此对于任意正整数及成立 （4）
这样，我们已证得（4）对一切有理数成立，再用利用无理数的性质及函数的连续性可以证明对无理数也成立，从而证明了引理。
引理2：用表示 内到达的顾客数，则服从参数为的Poisson分布，即。
证明：对，考虑中来到个顾客的概率是，由独立性增量性及全概率公式得
（5）
特别地，表示在长度为的时间间隔中没有来顾客的概率，因此它关于单调下降，由引理知。
其中，若，则，这说明不管怎么短的时间间隔内都要来顾客，这种情形不在我们考虑之列。此外，因是概率，故应有，而当时， ，这表示不来顾客，也不是我们想要的，所以应有，从而存在使，
因此当时，我们有
，
由（5）得，
因此
令得 由于已知，故有
，可解得，这样下去，可解得一切。
， ，这正是参数为的分布。
从而，在该区间内有一位顾客到达的概率为=，由基本假设(3)知没有顾客到达的概率是。
引理3：若服从参数为的分布，若以T表示顾客到达的时间间隔，则T服从参数为的指数分布。
证明：,而当时，因为在等待时间内没有顾客来，所以有， 时， ， 所以
即为服从参数为的指数分布函数的分布函数。又因为每个都为时间间隔,那么都满足为的指数分布.
同理每一位顾客的服务时间服从参数为的指数分布。由上面的讨论有以下结论：
① 顾客接受服务时间为，由指数分布的无后效性，则在该区间有一位顾客接受完服务离去的概率为

没有顾客离去的概率为。
② 多于一个顾客到达或离去的概率为，可以忽略。
1.3随机模型：
综上，在时刻，系统中有个顾客的概率满足

是由于假设时间内已有个顾客,那么就能解释为时间内有个顾客，内没一人来到也没一人离开的概率；即为一人到来一人离开的概率；为时间内已有个顾客，内没人到来，有一人离开的概率；为时间内已有个顾客，内有一人到达而没人离开。
由此可以得到超市服务的随机模型：

2、关于服务方案问题
当顾客平均到达率上升引起服务强度增加致使平均队长L太大,甚至由于>1使队长趋向无限时,在平均服务率不变的情况下就只能增加服务员。下面讨论有2个服务员且他们的平均服务率相等的情况。
2个服务员的排队服务有两种形式分别如下两图所示：

图1 ； 图2
由相关的文献资料[3]，我们可以知道，2个服务员的两种服务形式平均队长，等待时间之比为

注意到,就人们最关心的等待时间而言有,而当较大时图1的形式可以比图2的形式节省较多的等待时间,由此可见,对于设置多个服务员的随机过程,如果仅从等待时间角度考虑应该让顾客只排一个队。

3、系统仿真
3.1随机数字的产生
对随机现象进行摸拟，就是对随机变量取值的模拟，也就是利用计算机产生一系列服从一定概率分布的数值。我们根据同余法递推方法[1]，取，得到了本方案中所需的服从（0，1）上均匀分布的随机数。
， ；
， ， ；
， ， ；
， ， ；
， ， ；
其余类推。

3.2随机变量的摸拟
对于给定分布的连续型随机变量，可以利用在区间（0，1）上均匀分布的随机数来摸拟，最常用的方法是反函数法。
由概率论的理论可以证明。若随机变量Y有连续的分布函数，而X是区间（01）上均匀分布的随机变量。令，则与有相同的分布，由此若已知的密度函数，由可得是区间 （0，1）上均匀分布的随机变量，如果给定区间（0，1）上均匀分布的随机数，则具有给定分布的随机数可由方程中解出。
当我们需要摸拟服从参数为的指数分布时，由，可得 。因为和同为（0，1）区间上的均匀分布的随机数，故上式可简化为 。
3.3服务方案的评价
我们就上述2个服务员的排队系统进行摸拟仿真。在此之前，首先需要确定评定方案的标准。在这里我们将顾客在出口处逗留时间的长短作为标准，先设两个单服务员系统中服务员的服务效率相同均为，那么双服务员中服务效率为2。并假设每个顾客的服务时间在单服员系统中服从上的均匀分布，那么在双服务员系统中由于服务效率提高了，假设在双服务系统中每个顾客的服务时间服从上的均匀分布。
以下按2.1和2.2的方法给出两个系统的仿真摸拟：
1.双服务员系统：（参见附表1）

双服务员系统中顾客的平均逗留时间为（等待时间+服务时间）/总人数
于是平均逗留时间为：（150+20）/30=5.67分
2.单服务系统1：（参见附表2）

单服务系统2：（参见附表3）
同样由将上述两个表格的时间进行处理
单服务员系统中顾客的平均逗留时间为（等待时间+服务时间）/总人数
于是平均逗留时间为：323/30=10.77分
那么综上对比的情况来看,明显可以知道双服务员的优越性。

结束语
本方案以超市服务系统为例，得出相应的数学模型及结果，并加以仿真模拟验证，为超市确定服务方案提供了理论依据。本方法可以推广到类似服务系统，如医院排队挂号，客运售票之类的问题中，有广泛的应用前景。

参考文献：
[1]刘来福，曾文艺．数学模型与数学建模．北京：北京师范大学出版社，2002
[2]吴孟达，成礼智．数学建模的理论与实践。长沙：国防科技大学出版社，1998
[3]姜启源．数学模型。北京：高等教育出版社，1993
[4]复旦大学。概率论（第一册 概率论基础）高等教育出版社，1979
[5]高惠璇。统计计算。北京师范大学出版社，1995，北京

Abstract
For the sake of the exaltation supermarket service efficiency, we arrive according to the supermarket customer and basic regulation of the service problem, built up the random model of the supermarket service system, and get a the best service project from here, and carry on imitating the true emulation to the model build up, verifying the rationality of the income model.This project can used for the assurance of the supermarket service project.

Keywords：Touch draw up random；Random numeral；Change the quantity random；
Imitate to really touch draw up；The Poisson distribute；Random model ；The index number distribute

附表1
双服务员系统仿真方案及结果
输入数剧
输出数剧
顾客序号
顾客到达时间间隔
服务时间
到达时刻
服务时间
等待时间
离开时刻
1
5
6
5
6
0
11
2
7
4
12
4
1
17
3
4
5
16
5
1
24
4
6
4
22
4
2
28
5
3
5
25
5
3
33
6
8
5
33
5
0
38
7
5
6
38
6
0
44
8
6
4
44
4
0
48
9
4
5
48
5
0
53
10
5
4
53
4
0
57
11
3
5
56
5
0
61
12
7
4
63
4
0
67
13
3
5
66
5
0
71
14
5
6
71
6
0
77
15
7
4
78
4
0
82
16
4
5
82
5
0
87
17
6
6
88
6
0
94
18
5
7
93
7
0
100
19
3
4
96
4
4
104
20
8
5
104
5
0
109
21
4
6
108
6
1
115
22
7
4
115
4
0
119
23
6
6
121
6
0
127
24
5
5
128
5
0
133
25
6
6
131
6
2
139
26
6
6
139
6
0
145
27
5
5
144
5
1
150
28
3
3
146
3
4
153
29
6
6
152
6
1
159
30
4
4
161
4
0
165

附表2
单服务员系统仿真方案及结果Ⅰ
输入数剧
输出数剧
顾客序号
到达时间间隔
服务时间
到达时刻
服务时间
等待时间
离开时刻
1
5
12
5
12
0
17
3
11
8
16
8
1
25
5
9
10
25
10
0
35
7
13
11
38
11
0
49
9
10
9
48
9
1
58
11
8
10
56
10
2
68
13
10
9
66
9
2
77
15
12
8
78
8
1
87
17
10
11
88
11
0
99
19
8
8
96
8
3
107
21
12
11
108
11
1
120
23
13
12
121
12
0
133
25
10
12
131
12
2
145
27
13
11
144
11
1
156
29
8
11
152
11
4
167

附表3
单服务员系统仿真方案及结果Ⅱ
输入数剧
输出数剧
顾客序号
到达时间间隔
服务时间
到达时刻

服务时间
等待时间
离开时刻
2
7
8
7
8
0
15
4
10
8
17
8
2
27
6
11
9
28
9
1
38
8
12
9
40
9
2
51
10
9
8
49
8
2
59
12
10
8
59
8
0
67
14
8
11
67
11
0
78
16
11
10
78
10
0
88
18
11
12
89
12
0
101
20
12
11
101
11
0
112
22
11
9
112
9
0
121
24
13
11
125
11
0
136
26
11
12
136
12
0
148
28
7
8
143
8
5
156
30
15
8
158
8
0
166

致谢:
在本文的写作过程中，得到了指导老师周天明教授的大力帮助，他不仅提供了很多参考资料,并且给了许多有价值的建议在他的指导下我学到了很多知识，在这里对周教授表示衷心的感谢。同时还要谢谢系里各位老师的帮忙，今后走上工作岗位要以各位老师为榜样。