函数的傅里叶级数展开PPT幻灯片课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.,函数的傅里叶级数展开,一,.,傅里叶级数的引进,在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波,(,正弦波,),它是形如 的波,其中 是振幅,是角频率,是初相位,.,其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来,.,这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成,其中 是 阶谐波,我们称上式右端的级数是由 所确定的,傅里叶级数,二,.,三角函数的正交性,设 是任意实数,是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有,利用积化和差的三角公式容易证明,还有,我们考察三角函数系,其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ，而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个函数系在长为 的区间上,具有正交性,。,三、,傅里叶系数,设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到,即,又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以,沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由,和 ，得到,即,同样可得,因此得到欧拉,-,傅里叶公式,自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积分。,以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉,-,傅里叶公式的形式上看，只要周期为 的函数 在区间 上可积和绝对可积（如果 式有界函数，则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉,-,傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作出三角级数,我们称这级数是 关于三角函数系 的傅里叶级数，而 称为 的,傅里叶系数,，记为,四、收敛判别法,傅里叶级数的收敛判别法,。设函数 在 上可积和绝对可积,若 在 点的左右极限 和 都存在，并且两个广义单侧导数,都存在，则 的傅里叶级数在 点收敛。当 是,的连续点时它收敛与 ，当 是 的间断点（一定是第一类间断点）时收敛于,例,1,在 上展开函数 为傅里叶级数。,例,2,在 上展开函数,为傅里叶级数。,例,3,在 上展开 为傅里叶级数。,例,4,将 在 上展开为余弦级数。,例,5,将以下函数展开为正弦级数,五、傅里叶级数的复数形式,傅里叶级数的 阶谐波 可以用复数形式表示。由欧拉公式,得,如果记 那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式,这就是傅里叶级数的复数形式，,为复振幅,，与 是一对共轭复数,六、收敛判别法的证明,1,、狄利克雷积分,为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分,狄利克雷积分。,设 在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为,其中,傅里叶级数的部分和,由三角公式,当 ，有公式,当 时把右边理解为 时的极限值，值一等式也就成立。把它应用到 的表达式中，得到,经过验证知道，被积函数是 的周期为 的函数，可以把积分区间换为 ，因此,作代换 ，得,上面 的几种积分表达式都称为,狄利克雷积分。,2,、黎曼引理,黎曼引理,设函数 在区间 上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立,局部性定理,函数 的傅里叶级数在 点的收敛和发散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有关。,3,、迪尼判别法及其推论,迪尼定理（迪尼判别法）,设能取到适当 ，使由函数 以及 点所作出的,满足条件：对某正数 ，使在 上，为可积和绝对可积那么 的傅里叶级数在 点收于 。,利普希茨判别法,（地理判别法的一个推论）,如果函数 在 点连续，并且对于充分小的正数,在 点的利普希茨条件 成立，其中 皆是正数，且 ，那么 的傅里叶级数在 点收敛于 ，更一般地，如果对于充分小的 成立,同前，那么 的傅里叶级数在 点收敛于,一个重要推论,如果 在 点有有限导数 ，或是有两个单侧的有限导数,甚至只是有更一般的有限导数,那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或,因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条件是成立的。,七、傅里叶级数的性质,一、一致收敛性,1,设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上有有限导数 ，那么,的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。,2,设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。,二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导,设 是 上分段连续函数，它的傅里叶级数是,我们并不假定右端级数的和是 甚至也不假定它收敛，然而它却可以逐项积分，设 和 是 上任意两点，则有,三，最佳平方平均逼近,设 是任意一个 次三角多项式,其中 都是常数。又设 是,上可积和平方可积函数，称,是用三角多项式 在平方平均意义下逼近 的偏差。,设 的傅里叶级数是,我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于,，但它的 次部分和,是 的最佳平方平均逼近，亦即对任何 次三角多项式 ，都有,