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数学分析（上）

第四章 函数的连续性

第四章 函数的连续性 （ 1 2时 ）

§ 1 函数的连续性 ( 2时 )

一． 函数在一点的连续性：

1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.

2. 函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.

定义 用 例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.

定义 用

定义 用 先定义和

定义 连续的Heine定义.

定义 ( “”定义.)

其他定义参阅[3]P39 Th.
例1 用“”定义验证函数在点连续.
例2 试证明: 若

则在点连续.

3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.

Th ( 单、双侧连续的关系 )

例3 讨论函数在点的连续或单侧连续性.

二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.

跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.
例4 讨论函数的间断点类型.
例5 延拓函数 使在点连续.
例6 举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.

例7 讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.

( 参阅Ch 3 习题课例3 )

三． 区间上的连续函数：

开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.

Ex [1]P92—93 1 ⑴，2 ⑹ ⑺， 3—6；

[4]P83 123. ( 改等为.)

§ 2 连续函数的性质

一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.

1. 局部有界性：

2. 局部保号性：

3. 四则运算性质：

4. 复合函数连续性：

Th 4 若函数在点连续，函数在点连续, 且, 则复合函数

在点连续. ( 证 )

註 Th 4 可简写为

例1 求极限

例2 求极限:
⑴ ⑵

例3 求极限 的连续性见后.

二. 闭区间上连续函数的基本性质:

1. 最值性: 先定义最值.

Th 5 ( 最值性 )

系 ( 有界性 )

2. 介值性: 定义介值.

Th 6 ( 介值性 )

连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.

系 ( 零点定理 )
例4 证明: 方程 在到之间有实根.
例5 设是正数, 为正整数. 证明方程 有唯一正实根. 唯一

性的证明用在内的严格递增性.

三. 反函数的连续性:

Th 7 若函数在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义

域或上连续. ( 证 )

关于函数等的连续性 ( [1]P99 E5,6.)

Ex [1]P101—102 1—7，11，13；

[4]P83 125—127.
四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：

1． 连续定义中对的依赖性 ：
例6 考查函数在区间上的连续性.
对 作限制 就有

对 , 取 这里与有关, 有时特记为.
本例中不存在可在区间上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).
例7 考查函数在区间 上的连续性.
本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该却与无关, 可

记为.

2. 一致连续性:

定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.

用定义验证一致连续的方法: 对, 确证存在. 为此, 从不失真地放大

式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含

有和, 然后使所得式子, 从中解出

例8 验证函数 在内一致连续.

例9 验证函在区间 内一致连续.

证

例10 若函数在有限区间内一致连续, 则在内有界.

3. 一致连续的否定:

否定定义.
例11 证明函数在区间内非一致连续.
证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取
与 便有 但

证法二 ( 用例10的结果 ).

4. Lipschitz连续与一致连续:

定义Lipschitz连续.

例12 函数在区间I上连续, 在I上一致连续. ( 证 )

但函数在区间I上一致连续时, 未必有在I上连续. 例如: 函数

在区间内一致连续. 为证明在区间内一致连续, 先证明

不等式: 有不等式 事实上,

时,

同理, 时, 有

利用该不等式, 为使

只要

却不是连续. 事实上, 倘存在>, 使对 有

则当时，应成立

但若取 就有 矛盾.

5. 一致连续的判定:

Th 8 ( Cantor ) 若函数在闭区间上连续, 在上一致连续.

Ex [1]P102 8，9，10.

§ 3 初等函数的连续性

回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.

指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )

一. 初等函数的连续性:

Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.

Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.

註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭

端点是其单侧连续点.
例1 求函数的连续区间和间断点.
解

的连续区间为: 、、和.

间断点为: 和. 在点右连续 .

二. 利用函数的连续性求极限:

例2
例3 作倒代换
例4
解 I =
例5
解

I =

Ex [1]P107—108 1，2；
[4]P81—83 78—81，120.

习 题 课

例1 设函数在区间上连续, 且 证明:

在区间上至少存在某个 使

证 若, 取或即可;

若 不妨设 设, 应用

零点定理即得所证.

例2 设函数在区间上连续， 试证明：

使

例3 设 试证明：方程 在区间

内有实根.

例4 设函数在内连续且 则在内有最小值.

与比较.

例5 设函数和在区间I上连续, 且在I的有理点,有

证明: 在I上.

例6 设函数和在区间I上一致连续. 证明函数在区间

I上一致连续.

例7 设函数在有限开区间内连续. 则在有限开区间内

一致连续, 和存在( 有限 ).

例8 设函数在有限开区间内连续. 则在内一致连续,

在内一致连续.

Ex [1]P102—103 15； P108—109 3，4，6，8，12，14.
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