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圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.
一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.
例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.
分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.
解:第一种情况:如图,弦ab、cd在圆心o的同旁.
过o作oe⊥ab于e，交cd于f，则ae=ab=3.
连结oa、oc.
∵ab∥cd,
∴oe⊥cd于f，则ef是平行弦ab、cd间的距离.
在rt△oea中，由oa=5,ae=3得oe= =4.
同理可得of=3.∴ef=oe-of=4-3=1.
第二种情况:如图,弦ab、cd在圆心o的两旁.
过o点作oe⊥ab于e，延长eo交cd于f.
连结oa、oc.
∵ab∥cd，则eo⊥cd于f.
∴ef是平行弦abcd间的距离.
由垂径定理和勾股定理易得：oe=4，of=3，则ef=oe+of=7.
启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，
依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.
二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.
例2 已知:在△abc中,ab=ac,bd平分∠abc,△abd的外接圆交bc于e.
求证:ad=ec.
分析:连结de，由圆周角∠1=∠2,可得ad=de.
欲证ad=ec，只要证de=ec即可.
证明:连结de.
∵bd平分∠abc,
∴∠1=∠2,
∴ad=de.
又∵ab=ac,
∴∠abc=∠c.
∵∠3是圆内接四边形abed的外角,
∴∠3=∠abc.
∴∠3=∠c,
∴de=ec,
∴ad=ec.
启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.
三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.
例3 已知:在rt△abc中∠abc=90º,以ab为直径作☉o交ac于d，
de切☉o于d且交bc于e. 求证:be=ec.
证明:连结bd.∵ab是☉o的直径,
∴∠adb=90º，△bdc为rt△.
又∵∠abc=90º，ab是☉o的直径，
∴bc切☉o于点b.
又∵de切☉o于d,
∴be=de，则∠bde∠dbe.
∵∠1+∠bde=90º，∠c+∠dbe=90 º,
∴∠1=∠c，∴de=ec.
∴be=ec.
启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.
四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.
例4 已知:在rt△abc中,∠c=90º,bc是☉o的直径，ab交☉o于d，de切☉o于d，交ac于e. 求证：oe∥ba.
证明:连结od.∵de切☉o于d,
∴∠edo=90 º.
又∵∠c=90 º，oc=od ， oe=oe,
∴rt△eco≌rtedo.
∴∠1=∠2= ∠cod.
又∵∠b= ∠cod,
∴∠1=∠b.
∴oe∥ba.
例5 已知:如图点o′为∠aob角平分线上一点,以o′为圆心作☉o′与oa相切于点e. 求证:☉o′与ob相切.
证明:过点o′作o′f⊥ob于f，连结o′e.
∵oa切☉o′于点e,
∴o′e⊥oa于点e;o′e为☉o′的半径.
又∵点o′为∠aob角平分线上的点,
∴o′e=o′f.
∴☉o′与ob相切.
启示:关于圆中切线，常用辅助线是：
（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.
（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线证垂线段等于这个圆的半径.
五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.
例6 已知:两圆外切于点p,一条割线分别交两圆于a、b、c、d四点.
求证:∠apd+∠bpc=180º.
证明:过切点p作两圆的公切线mn.
则∠bpm=∠a，∠cpm=∠d.
∵∠apd+∠a+∠d=180º,
∴∠apd+∠bpm+∠cpm=180º.
∵∠bpm+∠cpm=∠bpc,
∴∠apd+∠bpc=180º.
例7 已知：两圆内切于点p,大圆的弦ad交小圆于b、c两点.
求证:∠apb=∠cpd.
证明:过点p作公切线tp.
则∠apt=∠d ,∠bpt=∠bcp.
∵∠apb=∠bpt-∠apt,
∠cpd=∠bcp-∠d,
∴∠apb=∠cpd.
启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.
六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.
例8 已知:☉o1与☉o2相交于a、b两点,e为☉o1上的一点,ef切☉o1于点e,ea、eb的延长线交☉o2于c、d两点.
求证:ef∥cd.
证明:连结ab，则∠1=∠2.
∵四边形abdc是☉o2的内接四边形,
∴∠2=∠d.
∴∠1=∠d.
∴ef∥cd.
启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.
七、代数、几何的综合题型.
解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.
例9 已知:如图,在rt△aoc中，直角边oa在x轴负半轴上，oc在y轴正半轴上，点f在ao上,以点f为圆心的圆与y轴、ac边相切，切点分别为o、d,☉f与x轴的另一个交点为e.若tana=,☉f的半径为.
（1）、求过a、c两点的一次函数解析式；
（2）、求过e、d、o三点的二次函数解析式；
（3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线ac上.
分析：解本题（1）（2）两问的关键是求a、c、e、d、o五个点
的坐标.
解：（1）过切点d作☉f的半径df，则∠adf=90º.
在rt△adf中，
由tana=和半径df=得ad=2.
∴af== ，则ao=af+fo=4.
在rt△aoc中，
由ao=4和tana=，得oc=3，ac=5.
则a、c两点的坐标为:a（-4，0），c（0，3）.
设:所求一次函数解析式为y=kx+b.
由a、c两点的坐标求得k=，b=3.
∴所求一次函数的解析式为:y=x+3.
(2)过点d作dg⊥ao于g，则rt△adg∽rt△aco.
∴=，即=得dg=.由于点d在ac上，
把dg=代入y=x+3，可求得d点的横坐标为:- .
∵oe=2of=2×=3,
∴e、d、o三点的坐标为:e（-3，0），d（- ，）、0（0，0）.
设:过e、d、o三点的二次函数解析式为y=ax2+bx+c.则:
9a-3b+c=0, a=- ,
a- b+c= , b=- ,
c=0, c=0 .
∴所求二次函数解析式为:y=- x2- x.
（3）由y=- x2 - x易得抛物线的顶点坐标为:（- ，）.
经检验得,点（- ，）在直线y = x + 3上.
∴抛物线y=- x2 - x的顶点在直线ac上.
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。