XX中心小学数学组计算教学研修活动方案.doc

附件1 学习材料
人教版小学数学计算部分教材解读
一．计算教学在小学数学中的地位和作用。
计算是数学重要的组成部分，是学生终身发展必备的知识之一。一般来说，儿童认识数学也是由认数和计算开始的。由此可见，数与计算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，它不仅是小学数学教学的基本内容，也是学生今后学习数学乃至其他相关学科的基础。同时，计算教学对于训练学生思维的敏捷性、灵活性和多变性具有十分重要的意义。在小学教学中，计算教学所占的比重很大，学生计算能力的高低直接影响教学的质量，可见学生的计算能力是至关重要的。
二．现行义务教育教材中数与计算编排的特点
1.重视数的概念、数的组成、数位等内容的教学，并通过实际操作和学生已有的知识的经验来学习数的组成和数位的概念。
2.注意将数的认识与相应的计算结合起来进行教学。
3.以口算教学为笔算教学的算理作准备，按照“先口算——再估算——再笔算”的编排顺序进行 。
4．重视计算原理的形成过程 。
（1）为例题呈现提供一定的现实背景，突出数学的应用价值。
（2）倡导算法多样化，引导学生在探讨、交流的基础上理解基本算法。
三．教材内容和内在逻辑线索
纵观整个小学阶段，学生学习计算是按整数计算，小数计算，分数计算的顺序进行的。本套教材根据儿童已有的经验、心理发展规律按螺旋上升的编排原则将整数计算分为五阶段，小数分数两循环。
整数的计算五阶段，
一、二年级安排了20以内的加减法、100以内的加减法、和表内乘、除法；三年级安排了万以内的加减法和乘数、除数是一位数、两位数的乘除法、四年级安排了亿以内的加法和减法，乘数、除数是三位数的乘除法，整数四则运算。
分数、小数两循环：
先初步认识，再系统教学。初步认识安排在三年级，系统学习从四、五年级开始。
（一）加减运算的具体编排和内在逻辑线索
整数加减法编排顺序：20以内加减法（口算）——整十、整百、整千数加减法（口算）——不进位、退位加减法（笔算）——进位、退位加减法（笔算）
低年级主要学习口算，数的组成由几个“一 ”扩大到几个“十”几个“百”几个“千”。口算教学就是结合数的组成及位值使学生初步理解相同数位上的数才能直接相加减。笔算教学以口算教学为基础，让学生联系口算方法，理解竖式中计算的顺序及如何对位的问题。这部分中，进位加法和退位减法的计算是重点，教材中多次结合“小棒演示图”，进一步使学生明确如何进位和退位的问题。进而将知识类推到学习多位数加减法的笔算教学中。
5.小数加、减法的教学。教学时，教师的职责是：帮助学生激活整数加减法的计算方法这一已有知识经验，并尝试用它来计算小数加减法；让学生明确列竖式时应如何对齐小数点。
6.分数加、减法的教学。
分数的书写形式和运算法则跟整数都不一样，并且需要有整除的知识作为基础，学生接受起来比较困难。但计算的前提是分母相同才能直接相加减。
总之，不论是整数加减法，还是小数、分数加减法，它们有一条内在的不变的主线：就是相同单位的数才能直接相加减。只是形式不一样。
（二）乘、除法教学的具体编排和内在的逻辑线索
（1）.整数乘、除法具体编排
表内乘、除法（口算）——整十、整百、整千数乘或除以一位数（口算）——乘、除数是一位数的乘除法（笔算）——乘除数是两、三位数的乘、除法（笔算）
乘除法口算编排与整数是一样的。乘、除数是一位数的乘除法（笔算）教学就是从学生口算方法入手。
例如：乘法中，12×3教学中，教材先让学生说一说口算的方法，突出3乘10是1（个十）×3＝3（个十）＝30，使学生理解笔算中乘的顺序、积的对位等问题。再如在教学笔算42÷2的内容时，先复习口算除法的思考过程，再对照“摆小棒”的过程说明（先算什么，再算什么），使学生理解笔算除法中商的书写位置、除的顺序。
多位数乘、除法就可以在此基础上迁移、类推。多位数乘法中，最终使学生明白用乘数哪一位上的数去乘，乘得的积就应写在那一位的下面。多位数除法的关键是引导学生掌握试商的方法。
（2）. 小数乘、除法的教学。
重点是积、商的小数点的处理问题。教师在教学时，加强小数乘除法与整数乘除法的比较，让学生发现两种算法的异同，思考怎样用旧知识来解决这个不同点。进而激活乘法中因数大小引起积的变化规律和除法中被除数中每个数字的位置值计数单位、商不变的规律等旧知识来进行思考，从而突破重难点。
（3）.分数乘、除法的教学。
分数乘法先学习分数乘整数，学生根据乘法的意义，转化成加法推导出计算方法。分数乘分数则结合数形结合的思想让学生自己归纳。分数除法重点是如何将其转化为分数乘法来进行计算。
实质上，分数乘法是整数乘法的一次扩展，几倍的范围在扩大，从整数扩展到分数；而不论是整数除法还是分数除法，都可以归纳为乘除数的倒数。
（三） 整数，分数、小数四则混合运算的教学
整数四则混合的运算顺序与小数、分数完全一样，运算定律都可以推广到小数和分数。而小数、分数简便运算就是口算的另一种体现。
四．课例分析
下面我就以五年级数学上册小数乘整数这节课做以分析，说说我对本节课的认识。
背景： 本节课内容是在学生掌握了整数乘法、小数的意义和性质及小数加减法基础上进行教学的
一、学生的角度
学生看到0.72×5，首先想到的是——不是用元作单位，因数中出现小数，它怎样算？与以前学过的知识——整数乘法72×5的计算方法有什么联系？新在哪里——积中有小数点？我怎样理解它？这些集中在一点——难点：如何确定积的小数点的位置。所以，本节课的学习过程中，学生感到困难的不是小数乘法计算方法的掌握，而是如何确定积的小数点的位置。
二、站在教师的角度，挖掘教材中隐含的两条线。
一是知识点这条明线——将因数“0.72“转化为整数72积“360”扩大到原来积的“100”倍，所以必须将“360”缩小到它的1/100。其中0.72”是进行乘的标准，它决定了积的小数位数——也是两位（两个“小数位数”相同，但有决定与被决定的关系），并且指导着学生算时——从积360右边数出两位，点上小数点。
一是隐藏在知识点中的数学思想方法这条暗线——教师应点拨：用乘数哪一位上的数去乘，乘得的积就应写在那一位的下面，对于整数乘法和小数乘法，这都是适用的，是不变的；变的是：因数中的小数点的位置决定了积的小数点的位置，所以，因数中有几位小数，积就有几位小数。
在认真研读教材的基础上，我在教学中，自学提示中设计以下四个问题：
（1）你能将它转化成已学过的乘法算式吗？
（2）转化后，因数有什么变化，对积有没有影响，有什么影响？
（3）积应该怎么处理，才能得到0.72×5的积？
（4）想一想：3.60末尾的“0”为什么可以去掉？
这样做，沟通了小数乘法与整数乘法的内在联系，使学生借助因数大小引起积变化的规律，正确理解积的小数点位置的确定方法，从而突破了本节课教学的重难点。
五．计算教学中的数学思想方法
数学思想是对数学知识内容和所使用方法在具体认识过程中被反复证实其正确而提炼出来的观点。数学方法是是解决数学问题的策略和手段。通常混称为“数学思想方法”。
1. 数形结合的思想
教材中多次借助小棒的直观演示图及线段图帮助学生理解计算算理。直观形象，便于学生理解。
2、转化思想
数学教学最有效的方法是把握学生已经知道了什么，同时把握新知是以哪些旧知为基础，哪些旧知的拓展和延伸。学生知识的生长点是什么？怎样将新知识转化学过的知识来进行解决，这也是小学数学中最常用的一种方法。
3、方程思想
从一年级开始通过安排一些用括号或其他符号表示数的练习，如，出现3＋□＝9，16－□＝8，6×（）＝30等算式。这里的□和（）都代表一个具体的数。这种练习形式多次重复出现后，学生对用符号表示数就比较容易理解了。为学习方程奠定基础。
4.函数思想”
例如，乘法中因数的变化引起积的变化规律及商不变的性质，都渗透了函数思想，为今后学习奠定了基础。
六.算法多样与算法最优化的“度”怎样把握？
（1）找准算法多样化的前提。
各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。
优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
（2）把握算法优化的标准。判定基本算法的三个维度：
一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；
二是从教育学维度看，教师易教，学生易学的方法；
三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。
就我个人而言，理想的课堂就是： 让学生感受数学趣味美的窗口；成为学生学以致用的舞台；成为学生学习旅途的加油站；成为学生全面发展的主阵地。真正使学生学的快乐，老师教的快乐，使所有的学生有所收获，所有的老师有所成就。
我相信：在新课改中，你比我想得更远，做得更好﹗以上是我在教学中的点滴积累，与大家共勉﹗
内在逻辑线索一
整数加减法，相同数位要对齐。
都是相同单位的数才能直接相加减。
小数加减法，小数点要对齐。
分数加减法，分母相同才能直接相加减。
内在逻辑线索二
整数乘法，乘的顺序，积的对位与进位。
小数乘法，重点如何确定积的小数点的位置，与整数乘法的计算方法是一样的。
分数乘法，借助整数乘法的意义及数形结合的思想理解分数乘法的算法，分数乘法是整数乘法的一次扩展，几倍的范围在扩大，由整数扩展到分数。
内在逻辑线索三
整数除法，商的书写、除的顺序及试商的方法。
小数除法，重点如何确定商的小数点的位置。
与整数除法商的书写、除的顺序及试商的方法一样。
分数除法，如何把分数除法转化成分数乘法，理解分数除法的计算方法，分数除法和整数除法都可以转化为乘除数的倒数。

谈谈计算教学的改革
张卫国
一、计算教学的重要性
（一）数与计算在生活、学习、科学研究和生产实际中的作用。
数与计算是人们生活、学习、科学研究和生产实践中应用最广泛的一种数学方法。在当今科学技术迅猛发展的时代，科学中各个领域都有非常巨大的变化，但是，基本的计算方法却没有多大的变化。这充分说明小学数学中计算的基础性和工具性。对于每个人来说，仅在小学阶段学习整数、小数和分数四则计算及其混合运算。因此，在小学阶段学好以上计算，并形成一定的计算能力，这是终身有益的事情。
数与计算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点来看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及其相互之间的关系。从数学的角度来看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数与计算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算的。例如。物理、化学的有关公式的计算、微积分的数值计算等等。
（二）数与计算的学习对学生思维能力发展的作用。
学习数与计算的过程是培养和发展学生逻辑思维能力的过程。数与计算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入、建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、感性到理性的过程。学生把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，学生学习、理解和掌握数与计算的有关内容能促进学生思维能力的发展。
数与计算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的。它们具有由低级到高级、简单到复杂的逐步发展过程。在数与计算中有很多相互依存、对立统一的关系。例如，加法与减法、乘法与除法、约数与倍数、质数与合数等。教学中要阐明数与计算的产生的发展，它们之间相互依存、对立统一的关系，就渗透了辩证唯物主义观点的启蒙教育。
九年义务教育小学数学大纲中关于数和计算内容和要求全日制小学数学教学大纲关于数与计算的内容和要求。
全日制小学数学教学大纲（以下简称为“原大纲”）对数与计算的内容虽然没有作明确的规定，但是教材按照大纲的意图，五、六位数的加、减法还比较多；在三位数乘三位数和相应的除法中，被乘数是四、五位数和被除数是五、六位数的比较多；四则混合运算的四步题比较多，还出现个别五步题；珠算要学乘法。
原大纲对计算的要求为：“能够正确地、迅速地进行整数、小数、分数的四则计算”，“应该要求学生算得正确、迅速，同时还应注意计算方法合理、灵活。”“在四则计算中要使学生先学好20以内的口算加减法、表内乘法和相应的除法，要求计算准确、熟练。”
九年义务教育全日制小学数学大纲中关于数与计算的内容和要求。
九年义务教育小学数学教学大纲（以下简称为“大纲”）指出：“笔算加减法经三、四位数的为主，一般不超过五位数；笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步。珠算只学加减法。”“在低年级基本口算的基础上，中、高年级要适当加强口算训练。”“分数计算以分子、分母比较简单的和大部分可以口算的为主。”
大纲对数与计算的教学要求也作了明确的规定：“使学生能够正确地进行整数、小数、分数的四则运算，对于其中一些基本计算，要达到一定的熟练程度，并逐步做到计算方法合理、灵活。”
（三）大纲与原大纲在数与计算教学要求方面的差别。
大纲与原大纲相比，大纲对计算的位数的多少与计算的步数都规定提很明确；而原大纲的规定比较模糊。这样，反映在教科书的编写中，前者能够使数与计算的范围的宽窄和教学要求都能作有效的控制；后者对教科书的编写就不能作有效的控制，使数的范围过大，计算的位数过多，计算的步数过多。大纲对基本计算提出了教学要求，对于不同的计算内容提出不同的熟练程度的要求。逐步做到计算方法合理、灵活。大纲对不同的计算范围提出不同的教学要求，对不同阶段的计算方法提出不同的合理和灵活的要求。这样的做法是针对不同年龄阶段的学生提出不同的教学要求，不同的学习阶段提出不同的教学要求。原大纲的教学要求比较笼统，不太可能符合学生的年龄特征和不同学习阶段的情况。
大纲对于笔算是这样说的：“笔算教学要引导学生理解算理，掌握法则，通过必要的练习逐步达到教学要求。要鼓励学生使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算。”原大纲是要求在能准确、熟练地计算20以内的口算加减法、表内乘法和相应的除法的基础上学好笔算；并且要求能够正确地、迅速地进行计算。显然，大纲对笔算教学强调了要理解算理，这是十分重要的。算理是指计算过程中每一个步骤在数学上的理由和操作过程的合理性。学生学习计算时，不是单纯地按照计算法则一步一步地计算，也能理解计算中每一步骤道理。这样，不仅有理于学生掌握计算方法和计算法则，而且也促进了学生思维能力的发展。
义务教育小学数学教科书（人教版）中数与计算的编排特点。
（一）重视数的概念、数的组成、数位等内容的教学。
1．从学生的生活实际出发引入数的概念。
（1）10以内数的认识。
在准备课中一幅反映新学年的图画，其中有老师、学生、鲜花、树木、房屋、飞鸟等；引导学生数图中的人和物的数目，要用到10以内各数。通过数图中的人和物初步了解学生已有的数数能力的认数情况，还贯穿了培养学生爱学校、爱老师、爱同学的思想感情。同时，还利用熊猫、小鹿、蝴蝶、小鸡、金鱼、茶杯等常见物品的图画跟1～10相配合，了解学生是否认识这些数。
教材利用学生学习、课外生活活动和常见实际情景等组成主题画让学生认识1～10的数。例如，利用学生写字的情景来认识数字1，学生放飞模型飞机来认识数字2等等。
（2）11～20各数的认识。
教材让学生数铅笔来认识11～20的数。教材中出现10支一捆的铅笔和10支单根的铅笔，突出把十作为一个单位，使学生不仅能在10的基础上一支一支地数到20，并且直观地了解11～20各数都是由一个十和几个一组成的这可以为进一步学习写法和加法计算作准备。教材利用小棒图和数位表上让学生认识11～20的数。小棒图中，左边有1捆小棒，是10根，就是一个十，对着数位表的十位；右边有几根小棒，是几个一，对着个位，合起来就是十几。
（3）100以内数的认识。
教材上学生数小棒来认识100以内的数。先让学生一根一根地数，数到100。每数十根捆成一捆，使学生结合数实物弄清100以内数的顺序和10个1是一个十。再让学生十根十根地数，熟悉整十数的顺序，并且知道10个十是一百。然后，每个数都先用小棒表示，要求说一说小棒是由几个十和几个一组成的，再按照数位表写出相应的数，让学生认识这个数。
（4）万以内数的认识。
认识万内的数是在二年级下学期学习的。这时，学生已经具有一定的数学知识和抽象思维能力，并且有了百以内认识的学习经验。但是，成千、几千几百的数的认识，对于相当一部分二年级的学生来讲还是有一定的困难的。为了便于学生学习，教材先让学生认识三位数。教材利用数小方块的方法，让学生整体认识“10个一是十”、“10个十是一百”、“10个一百是一千”。再利用计数器，让学生认识几百几十。教材利用绘图纸让学生认识“10个一百是一千”、“10个一千是一万”，最后利用算盘来认识几千几百。这种半具体半抽象的方法认识万以内的数，有利于学生抽象思维能力的提高。
（5）亿以内数的认识。
认识亿以内的数是在四年级上学期学习的。这时，学生已经进入高年级学习阶段，他们积累了相当多的数学知识，各种能力也得到长足的发展，不应再利用实物操作、计数器演示等方法帮助学生认数。教材利用算盘帮助学生数数：一千一千地数，10个一千是一万；一万一万地数是十万。然后，让学生想像：“照这样数下去，10个十万是一百万，10个一百万是一千万。10个一千万是一亿。”最后用数位表巩固亿以内数的认识。
（6）整数（亿以上）的认识。
认识整数（亿以上）的数是在四年级下学期学习的。教材没有利用任何教具、学具或其他直观手段，运用抽象的十进位计数法让学生认识亿以上的数。这样的做法是符合学生的认识规律和认知水平的。
2．通过学生的实际操作活动来学习数的组成。
计算是小学数学的重要内容之一。我国的小学是6周岁入学。这样年龄的儿童是处于幼儿和少儿的转换期。幼儿基本上是用按物点数的方法进行计算的。小学生是按照抽象的数目和方法进行计算的。例如，5＋3＝？，幼儿是在5个物体基础上添上1个（是6个），再添上1个（是7个），最后添1个就是8个，所以5＋3＝8。如果要问他为什么5加上3能等于8？他会理直气壮地回答：在5个物体上添上1个，添上1个，再添上1个，得到8个物体，就是5加上3等于8。小学生是想：5和3组成8或在5的基础上添上3就能得到8，所以，5＋3＝8。如果问为什么5加上3能等于8？对于已经学过8以内数的组成或知道基数、序数的话是很容易回答的。然后，再学用加法运算法则进行加法计算。减法计算也有类似的学习过程。因此，数的组成是学习计算必要的准备知识，也是学习数概念和口算的准备知识之一。例如，在教学整百、整千数的加减法时，先要复习数的组成：（1）80和130里面各有几个十？（2）700和1000里面各有几个百？（3）13个十是多少？25个百呢？这样，学生能把整百、整千都看成几个百或几个千，将整百、整千数的加减法转化为20以内的加减法。
（1）10以内数的组成。
在学习2～8的数的组成时，都是让学生通过实物操作（一般由教师先演示一部分，让学生自己动手操作另一部分。）来理解和掌握数的组成；6、7、8三个数只学一部分组成形式，另一部分以“看到每一组，还能想到什么？”形式，让学生类推出来。这样，有利于培养学生的逻辑思维能力。对于9、10两个数的组成，完全由学生自己动手操作后，来理解和掌握9、10的数的组成。这样，从学生学习自主性和思维水平等比前面有了明显的提高。
（2）11～20各数的组成。
11～20各数组成的难度比10以内数的组成要高。它们是以十与几组成十几，十是一个整体，理解上难度稍稍大一些。教材是上学生看实物图来认识10～20各数的组成，并由此读出相应的数。10以内数的组成和11～20以内各数的组成是学习20以内加减法的基础。
（3）100以内数的组成。
教材只举了一个例题：用小棒呈现三十五由3个十和5个一组成。接着就上学生练习100以内数的组成，先根据给出的小棒图，写出相应数的组成；再给出一个数（如四十六），写出这个数的组成。这样编排的抽象化程度比前面又高了一些，这是符合学生思维发展的水平和规律的。100以内数组成是100以内数的读、写和加减法的基础。
3．通过直观教学和学生已有的知识的经验来学习数的组成和数位的概念。
（1）三位数的组成。
教材用二百三十五根小棒（每捆10小棒，十捆小棒捆成一大捆表示100根，用二大捆小棒、三捆小棒和五根小棒）表示235，说明由几个百、几个十和几个一组成的。由于，数目比较大，学生理解起来比较困难，在练习时还要用小方块帮助学生理解三位数的组成。然后，用计数器来帮助学生学习三位数的读、写方法。由此可以看出，百以内的数和千以内的数相比，数位只增加了一位，但是抽象程度却提高了一个挡次。二年级学生学习三位数的组成就有困难，需要借助于实物和实践活动的程度就要高些。在教学过程中应注意这个问题。
（2）四位数的组成。
四位数的组成是先利用算盘让学生初步掌握后，再结合数位顺序表让学生理解和掌握它。教材是将实物和数顺序表结合起来，也就是充分利用算盘中的“档”和数位顺序表“位”的对应关系，让学生比较容易地掌握四位数的组成。
（3）亿以内数和整数（亿以上的数）的组成。
学生是在高年级学习亿以内的数和整数（亿以上的数）的组成，这时，学生掌握知识的水平和抽象思维能力的水平都有相当大的提高。教材适应学生这样的状况，仅用数位顺序表帮助学生理解和掌握亿以内的数和整数（亿以上的的数）的组成。
（二）注意将数的概念与相应的计算结合起来进行教学。
数的概念与相应的计算结合进行教学的优越性。
学生的认知水平和思维水平都是随着知识的积累和相应的训练而提高的。教材对数概念的编排是按照学生和年龄特征和学习数学和过程而设计的。数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内……的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算……的方式来编排。这样，先学数的概念，再学相应的计算。既复习了数的概念，又使计算的理论基础非常突出。两者紧密地结合起来，使学习过程能充分运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维过程，还须合理、敏捷、灵活地进行思考，有利于促进学生思维能力的发展。，同时，还能将数概念与相应的计算相互沟通起来，使学生对它们有整体性的认识，可以形成一个知识系统；对于学生形成合理的认知结构是十分有益的。
运用直观手段和实际操作活动将数概念和计算结合起来。
小学生（特别是中、低年级学生）学习数学时基本上都要借助于直观手段和实际操作活动；这是由学生的年龄特征和认识水平所决定的。根据心理学研究：小学生学习比较抽象的知识一般都有这样的规律：“动作、感知—表象（通过语言）—概念”。教材按照这个原理来编写教学内容。例如，20以内的进位加法，先要复习10以内数的组成，特别是哪两个数能组成10更为重要。教学时，让学生边实际操作，边对照相对应的算式进行计算，利用操作过程说明算理。又如，100以内的加、减法，都要利用100以内组成和实际操作活动相结合来教学的。由于是在一年级下学期学习100以内的加、减法，学生的年龄小、思维水平比较低；所以，教材将这部分内容分成：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位）、两位数减一位数（退位），两位数加两位数，两位数减两位数等。教学这些内容时都要将数的组成与实际操作活动结合起来，并且把操作过程与算式的计算过程进行对照，使具体形象的操作过程与抽象的计算过程一一对应起来，便于学生理解算理和掌握计算的方法。
（三）利用口算来说明笔算的算理。
口算是人们运用已掌握的数学知识和方法，不借助于任何工具仅依靠思维和语言进行计算，并直接能得出结果的一种计算方法。它是一种在学习和实际中用处很大的计算方法，口算是笔算、估算和其他计算方法的基础。口算在加、减法与乘、除法中所起的基础作用是不完全相同的。
口算加减法是说明加、减法笔算算理的重要手段。
在小学数学中，加、减法笔算是用竖式计算的。竖式的计算方式是一般的计算方式；不管是几位数相加、减，都可以用竖式直接来计算。在竖式中数位排列整齐、对称，两个数对位直观、明了，计算过程的逻辑顺序清晰、明确计算过程和步骤历历在目，便于复查和检验，进位（包括连续进位）与退位（包括连续退位）都可以在竖式上直接操作。使用的工具简单、易找。竖式的计算方式是任何其他方法难以替代的。
在教学100以内的加、减法前，先要教学一系列口算作准备。这些口算内容有：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位），两位数减一位数（退位）。笔算两位数加两位数是在口算整十数加整十数、两位数加一位数和整十数的基础上进行教学的。这时着重解决竖式计算中如何对位、从个位加起、满十进1的问题。由于读写数都是从高位起，口算也是从高位算起，所以学生在开始进行竖式计算时也往往容易从高位算起。为了解决这个问题，教材采用了不进位加法与进位加法分别出现的编排方法。教学时，先复习口算加法34＋2，然后说明也可以用笔算写成竖式。以此说明只有相同单位的数才能相加，突出几个一和几个一相加；并且让学生理解对位的道理，以及从个位加起的必要性。这样，学生能比较容易地掌握笔算加法的计算法则。笔算两位数减两位数是在口算整十数减整十数、两位数减一位数和整十数的基础上教学的。教材的编排方式与两位数加两位数相同，着重解决退位问题。
笔算万以内加、减法是在口算整百、整千加减法、几百几十加几十与几百几十加几百（不进位、进位）、几百几十减几十与几百几十减几百（不退位、退位）的基础上进行教学的。学习这些口算是要突出相同单位上的数相加减的道理，同时要说明十位上的数相加满十要向百位上进1和十位上的数不够减是要从百位上借1。这样，笔算时能比较容易理解对位、进位和退位的道理，使学生能较好地理解和掌握加法的计算法则。
口算乘除法是理解笔算乘除法算理的必要途径。
笔算一位数乘二、三、四位的乘法是在口算一位数乘整十、整百、整千数和肯内乘法的基础上进行教学的。教材在安排笔算12×3时，先教学12×3的口算方法，突出3乘10是1（个十）×3＝3（个十）＝30，再出笔算方法，使学生明白这两种方法的思路是一样的。然后简化中间过程，使学生初步明确一位数乘两位数先乘个位数，再乘十位数的计算法则。一位数乘三位数是一位数乘两位数的引伸和发展。
笔算乘数是两位数的乘法是在口算一位数乘两位数、乘整百整十数和整十数乘一位数、两位数以及一位数乘多位数的基础上进行教学的。教材在编排笔算是两位数的乘法时，先复习乘数是一位数的乘法和用整十数乘，为学生理解笔算乘法的算理作准备。教学24×13时，先用3乘24，这是一位数乘两位数乘法。再用10乘24，就要用到用整十数乘的口算。这两步计算的思路和方法都是跟口瞬息万变一样的。然后把两部分结果合起来，就得到题目的答案。两位数乘三位数是两位数乘两位数的引伸和发展。
笔算除数是位数的除法是口算一位数除整十、整百、整千的数（商也是整十、整百、整千的）和一位数除两位数，以及一位除几百几十或几千几百的数的基础上教学的。教材在编排教学笔算42÷2的内容时，先让学生思考口算时应该怎样想，让学生摆一摆小棒，复习口算除法的思考过程，为教学笔算除法作准备。教学时，对照摆小棒的过程分步演算（说明先算什么，再算什么）让学生了解笔算除法与口算除法的思路和顺序是一样的。一位数除二、三、四位数的笔算除法是可以类推出来的。除数是两位数的笔算除法，其编排方式和教学过程是类似的。
关于计算方面内容教学要求的简要分析
（一）按照不同年级、不同的内容，教学要求的层次分明。
教材对于计算教学要求首先是按照不同年级学生的年龄特征和心理特点来安排的，特别是低年级学生，时间相差几个月，掌握知识的程度和能力的发展都有较大的差异。所以教材在规定计算的教学要求时，每学期按单元结束时和期末分别列出平均错误率和速度两项指标的标准。有的内容单元结束时和学期末就有变化，有的内容本学期末的教学要求就是小学阶段的教学要求。例如，100以内口算加减法，单元结束时，平均错误率为10％以内速度为绝大多数达到每分做5题；本学期末，平均错误率为7％以内，绝大多数达到每分做7题；下学期末，平均错误率为6％，速度为绝大多数达到每做8题（也是小学阶段的要求）。又如，万以内笔算加减法，学期末的平均错误率为8％，速度为绝大多数达到每分做1、2题，同时也是小学阶段的教学要求。
（二）按照不同年级、不同的内容，教学要求的程度比较合适。
计算的教学内容是为今后学习、实际生活、科学研究和生产服务的，而不是为了比赛或别的什么服务的。所以教材的计算内容是按照对今后学习、实际生活、科学研究和生产有用的程度来确定教学要求。教学要求的程度还要按照学生的年龄特征、认知水平和掌握知识与各种能力的发展水平来确定。同时，还要按照小学生心理和生理的特点，如手、眼、脑配合的协调性和口算与书写速度的配合等。教材对于小学阶段最基础口算的教学要求确定得比较合适的，这是教学大纲规定需要达到熟练掌握的教学要求。例如，10以内加减法口算，在学期末平均错误率为5％以内、速度为绝大多数达到每分做10题；20以内加减法口算，在一年级下学期末平均错误率为3％以内、绝大多数达到每分做12题，同时也是小学阶段的最终的教学；表内乘除法口算，在二年级上学期末平均错误率为4％以内、绝大多数达到每分做10题，同时也是小学阶段的最终的教学要求。教材对于大纲规定需要达到比较熟练掌握的计算内容的教学要求；例如，100以内口算加减法在二年级上学期末平均错误率为6％、绝大多数达到每分做8题；两位数加、减两面三刀位数和几百几十加、减整十、整百数的口算在二年级上学期末平均错误率为6％以内、绝大多数达到每分做6题；一位数乘整十、整百、整千的数和两位数（每位乘积不满十）以及相应的除法口算，在三年级上学期末平均错误率为6％以内、绝大多数达到每分做5题；……对于笔算的教学要求还更低一些。
（三）教学要求是符合统计规律的、是科学的。
教材以最基本口算（10以内的口算加减法、20以内的口算加减法）的教学要求为基准，其他的教学要求是按照概率统计规律计算出来的。例如，100以内的口算加减法，平均正确率为94％以上（即平均错误率为6％以内），绝大多数达到每分做12题。这个标准是这样得来的：如果以口算35＋47＝82为例，它需要进行两步20以内口算加法得到答数。20以内口算加减法和平均错误率为3％以内（即平均正确率为97％以上）。按照概率统计的方法，100以内口算加法的平均正确率应该为：0.97×0.97＝0.9409≈0.94，这正是教材所规定的100以内口算加减法平均正确率的标准。20以内口算加减法要求绝大多数每分做8题，100以内口算加减法要求绝大多数每分达到8题，虽然两者之间有些差距，这是考虑到20以内加减法口算已经相当熟练的缘故。又如，万以内笔算加减法规定平均正确率为92％以上（即平均错误率为8％以内），它需要进行四次20以内加法的计算而得到答数，平均正确率为：0.97×0.97×0.97×0.97≈0.88529≈0.89，这跟教材规定的有些差距，这是考虑到20以内加减法的笔算要比口算的正确率要高，而且熟练程度又有了提高的缘故。万以内笔算加减法要求绝大多数达到每分做1、2题，由于学生要列竖式，还要笔算，同时要照顾大多数学生的水平，故教学要求不能规定得太高。由此可见，最基本的口算的平均错误率是按照大多数水平来规定的，其他计算的平均错误率是按照概率统计规律而确定的。计算的速度是按照不同的年级、训练时间的长短和计算内容的难易程度而确定的。因此，这些教学要求是合理的和科学的。
关于数与计算教学改革的几点思考
（一）现行义务教育教材中数与计算编排的优点。
1．重视从学生生活实际或实践活动中引入数的概念。
教材对于数的概念基本上是从学生的实际生活中引入的。例如，10以内数概念的都是从学生的实际生活或能接触到的事物中引入的。11～20和100以内数概念是让学生通过实际操作活引入的。万以内的数是分两个部分引入的先让学生数小方块，认识10个一百是一千，再利用计数器认识三位数；然后利用绘画纸认识10个一千是一万，再利用算盘认识四位数。亿以内的数是将算盘和数位顺序表相结合来认识的。
2．数的概念、数的组成与相应的计算结合得比较好。
教材在安排计算的内容时，都是按照学习数概念与相应的数的组成编排计算内容的。这样的编排方式是先学数概念和数的组成，接着学习相应的计算内容。学习计算内容时，既充分应用了刚学习的数概念和数的组成，又复习了上述内容。教学内容一环扣一环，容易形成知识系统。
3．计算的教学分成五个循环是合适的。
教材在编排计算教学内容时，要考虑学生接受能力和知识、能力发展的状况。所以，一二年级安排了10以内的加减法、20以内的加减法，表内乘、除法和万以内的加法和减法；三年级安排了乘数、除数是一位数的乘法、除法，乘数、除数是两位数的乘法、除法；四年级安排了亿以内的加法和减法，乘数、除数是三位数的乘法和除法，整数和整数四则运算。由此可见，教材的大数目的认识和计算都放在四年级，这样既符合学生认知发展水平，又便于教与学。
4．小数、分数安排两个循环是必要的。
小数在日常生活生活中的用处很大，提前学习小数的初步认识，对学生把所学的数学知识应用于实际是十分有利的，让学生能体会到数学知识来源于实际，又广泛应用于实际。在正式教学小数的内容时，必须以分数作为准备知识。所以教材安排小数和分数的初步知识，都是十分必要的。有了初步知识教学作为基础，使学生便于学习和掌握小数和分数的内容。
5．以口算教学为笔算教学的算理作准备，笔算在口算的基础上进行教学是合理可行的。
把口算的内容放在笔算之前教学，为教学笔算的算理打基础，这是义务教育教材从教材结构上来说，是一项重大的改革。口算是怎样为教学笔算的算理作准备的，本文前面已经作了充分的阐述，这里不再重复了。从近十年使用的情况来看，各地广大教师和教研人员的反映颇佳，说明这项改革是成功的。
6．20以内的加、减法的编排是成功的。
目前教材中20以内的加、减法跟原通用教材有很大的差别，也是义务教育教材的一项重要的改革。教材先安排9加几，接着是十几减9；8加几后，就是十几减8；……这样，可以利用9加几所学的知识和方法直接迁移到十几减9上去，应用了以加算减和方法。同时也复习和巩固了9加几的内容。这样学减法同时也复习加法的所有内容。由于教学时间的变更，六年制教材是把20以内的进位加法和20以内的退位减法分别编排的。在20以内的进位加法中应用于了“凑十法”，突出了计算方法的规律，使学生学习了9加几和8加几后，就可以把“凑十法”直接迁移到后面的知识学习中去，后面的内容可以让学生自主地进行学习。这对培养学生的学习能力有很大的益处。
7．教学新的计算内容前面安排复习题或准备题的方式是恰当的。
小学生思维能力和联想能力的水平都比较低，对学过的知识比较容易遗忘，并且不容易把学过的知识联系起来。针对学生这些特点，教材在安排新知识前，安排了复习题或准备题。一方面复习与新知识有关的旧知识或方法，另一方面为新知识的学习作了铺垫。这样便于学生理解和掌握亲知识。
8．安排估算教学是符合数学教育改革方向的。
估算是在日常生活、测量中无法或没有必要进行精确计算和判断时所采用的计算方法。估算可以培养学生对计算或测量的结果能有概括性、整体性的认识和理解，并且要对数量关系和空间形式进行合理的判断和推理，能够提高学生处理和解决实际总是的能力。目前，加强估算教学和提高学生的估算能力是国际数学教育改革重要方向之一。
（二）加强数