一种鲁棒性数字水印系统设计实现论文.doc

毕业设计(论文) 第33页

毕业设计(论文)

设计论文题目：
一种鲁棒性数字水印系统的设计与实现

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年 5 月 28 日

一种鲁棒性数字水印系统的设计与实现
摘要
计算机网络和通信技术的迅猛发展，使得数字信息的产生、复制、传播更为容易。在这个背景下，如何防止具有版权的数字数据在未经允许的情况下，被非法的使用或是传播，这就提出新的研究的课题：就是如何运用现有的理论和技术，更好的解决数字产品所有者的合法权益的保护问题。数字水印技术就是在这样的背景下诞生的。
本文就基于离散小波变换的数字水印技术做以下的工作：（1）对数字水印的概念、框架、分类及应用做一个简要的介绍；（2）简单回顾一下水印嵌入策略核心小波理论，并着重介绍多分辨分析及Mallat算法；（3）简要介绍人类视觉感知系统（HVS），讨论其在水印嵌入过程中的作用；（4）设计并实现基于小波变换与人类视觉系统的水印嵌入算法；（5）通过各种常见攻击验证系统的鲁棒性，证明该水印系统对于常见攻击具有鲁棒性并且保证水印的不可见性。最后总结所做工作并指出不足之处。
关键词：数字水印，离散小波变换，人类视觉系统

Design and Implement of a robust digital watermarking system
Abstract
The revolution in digital technology has increased the case of manipulation, reproduction, retransmission, and distribution of digital images. However, it also offers the potential for illegal use, known as a piracy of digital images. Consequently, the need to manage and protect these digital properties has become crucial. Watermarking technology is considered as an alternative tool for protecting these intellectual properties. It attempts to identify the true owner by hiding perceptually invisible information (watermark) inside the digital data. In this thesis, for the purpose of protecting the Intellectual Property Rights (IPR) of digital images, a Discrete Wavelet Transform (DWT) based digital watermark algorithm is described. The proposal is designed for images.
The key points of research addressed in this proposal include: (1) The structures of watermark being embedded that enhance the perceptual invisibility and watermark detection efficiency. (2) Watermark embedding strategy. For instance, watermark embedding function and watermark embedding parameters (weighting function-embedding energy, embedding level and spatial location), which maximize the robustness and invisibility of the watermark. (3) The possibility of using Human Visual System (HVS) in the Watermark Embedding Process (WEP). (4) The Watermark Detection Process (WDP), especially, the reliability of the proposed watermarking algorithm after distortion by several kinds of watermark attacks. (5) The robust watermarking protocol for proving ownership.
Key word: Digital Watermarking, Discrete Wavelet Transform, Human Visual System

目 录

1绪论 1
1.1 课题研究的背景和意义 1
1.2 国内外研究状况 1
1.3 本文的结构与内容 3
2 数字水印概述 5
2.1 数字水印的基本框架 5
2.2 数字水印的技术特点 7
2.3 数字水印分类 8
3 小波分析及其应用 12
3.1 引言 12
3.2 小波的发展历程 13
3.3 小波变换 14
3.3.1 连续小波变换 15
3.3.2 离散小波变换 16
3.3.3 多分辨分析 16
3.4 Mallat算法及应用 19
4 基于HVS与DWT的数字水印系统的设计与实现 21
4.1 HVS模型简介 21
4.2 水印嵌入位置的选择 22
4.3 水印嵌入强度的计算 22
4.4 本文算法的具体实现步骤 24
4.4.1水印的嵌入算法及步骤： 24
4.4.2水印的提取算法及步骤： 24
4.5 鲁棒性测试 24
4.5.1 JPEG压缩攻击 25
4.5.2增强处理攻击 27
4.5.3附加噪声攻击 27
4.5.4测试结果分析 29
总结 30
致谢 31
参考文献 32

1绪论
1.1 课题研究的背景和意义
网络技术是信息社会发展到新阶段的一个重要标志。随着社会信息化的发展信息在社会中的地位和作用越来越重要，网络为人类交换信息提供较大的便利并且促进科学技术文化教育生产的发展，提高现代人的生活质量。由于互联网的全球性开放性无缝连通性共享性和动态性，数据的交换与传输变成一个相对简单的过程。但是互联网的这些特性也产生一个负面效应，既通过网络传输的数字产品可能在没有得到产品所有人许可的情况下被有意或无意地篡改拷贝。如何保证网络上传递信息的安全性和可靠性成为当前信息活动的主要问题。
随着信息化时代的到来媒体的数字化传播成为可能。由于视频音频和其他作品都能以数字形式获得制造其完美拷贝变得易如反掌。从而可能导致大规模非授权拷贝。这极有可能损害版权所有者的应得利益。可以说信息的开放性给保密工作带来前所未有的挑战。
从技术上来讲，数字产品版权信息的嵌入和检测问题是数字作品版权保护的两个关键问题。而这一问题与传统密码学的认证与鉴别问题相比，既有密切联系，又有重大的区别。它可认为是综合传统密码学的认证与鉴别问题的特点，又加入极强的鲁棒性的要求，这一要求体现在版权保护信息必须与被保护数据密切结合，以及版权保护信息的鉴别过程必须有抗干扰的能力这两个方面，因此，仅靠传统密码学领域的知识不能很好的解决这一问题。在这种情况下，大家把目光转向一种新的信息安全手段— 数字水印技术[1-2]。
1.2 国内外研究状况
从公开发表的文献来看，国际上在数字水印技术方面的研究才开始近10年的时间。但由于有大公司的介入和美国军方及财政部的支持，该技术的研究发展非常迅速从1994年开始，国际学术界陆续发表有关数字水印的文章，且文章数量呈快速增长的趋势。几个有影响的国际会议(如IEEE ICIP. ICASSP,ACM Multimedia等)以及一些权威杂志(如Proceeding of IEEE, Signal processing, communications of ACM等)相继出版数字水印的专辑或成立专门的讨论组来讨论数字水印技术的研究和发展。
在美国，以麻省理工学院媒体实验室为代表的一批研究机构和企业已经申请数字水印方面的专利。
1996年5月30日~6月1日，在英国剑桥牛顿研究所召开第一届国际信息隐藏学术研讨会，至今己举办九届。SPIE和IEEE的一些重要国际会议也开辟相关的专题。目前，每年都会有数字水印方面的权威国际会议IWDW (International workshop on digital watermarking)召开，有相当多的研究者参与到相关的研究讨论中。
我国学术界对数字水印技术的反应也非常快，已经有相当的一批科研机构投入到这一领域的研究中。1999年12月，由我国信息安全领域的何德全、周仲义和蔡吉人三位院士与有关应用单位联合发起，召开我国第一届信息隐藏学术研讨会，此后该研讨会每年召开一次，我国第一届数字水印学术研讨会由863智能计算机专家组组织，于2000年1月在北京召开。来自国家自然科学基金委员会、国家信息安全测评认证中心、中国科学院、北京邮电大学、国防科技大学、清华大学、北方工业大学、上海交通大学、天津大学、中国科技大学、北京大学、北京理工大学、中山大学、北京电子技术应用研究所等单位的专家学者和研究人员深入讨论数字水印的关键技术，报告各自的研究成果。从这次会议反应的情况上看，我国相关学术领域的研究与世界水平相差不远，而且有自己独特的研究思路。由此可见，我国学术界和应用部门对该项技术抱有浓厚兴趣。
目前，数字水印技术的研究主要包括两个方面，数字水印的嵌入和数字水印的提取。数字水印的嵌入就是研究如何把水印信号嵌入到需要保护的原始媒体数据中.从数字水印技术的应用要求来讲，数字水印技术可以分为鲁棒性数字水印技术和脆弱性数字水印技术两种。鲁棒性数字水印技术主要是用来实现对数字多媒体产品的版权保护，能够在各种通常处理的条件下，正常检测水印信号的存在性:而脆弱性水印技术则主要是用来确认数字媒体产品的完整性，鉴定被保护的数字媒体数据是否被修改。针对这两种不同应用的要求，这两类数字水印技术具有不同的特征。鲁棒性数字水印技术应该具有：1）不可见性，正常的人眼感官无法察觉水印信号的存在性，保证水印信号的安全：2）鲁棒性，即对各种攻击具有一定的强壮性，在加过水印的受到各种攻击以后。水印信号仍然能够正常地提取；3）难移除性，在影响宿主图像不大的情况下，很难将水印信号去除而脆弱性水印技术则应具有如下的特征:1）不可见性；2）脆弱性，即水印信号在加过水印的媒体经历某种处理以后，必须能够有效的检测相应的篡改位置信息。从数字水印嵌入域来分，可以分为空间域水印和变换域水印。从数字水印嵌入后是否可见，可以划分为可见数宇水印技术和不可见数字水印技术等等。
数字水印的提取，一般都是数字水印嵌入的逆过程。根据水印信号提取时是否需要原始图像，可以把数字水印技术划分为盲水印技术和非盲水印技术。对于各种水印分类，根据不同的应用需求，会有不同的类型要求，通常鲁棒性水印技术的研究一直都是研究者在追求的一个重要目标[3,6]。
1.3 本文的结构与内容
本文在借鉴前人研究成果的基础上，提出一种基于小波变换的水印嵌入和提取方案，提取过程不需要原始图像或水印，属于盲水印技术，并且提取过程中需要密钥，有较高的安全性。为提高不可见性，水印的嵌入过程中利用HVS的知识计算阀值，在人眼噪声敏感度低的地方嵌入更高强度的水印.实验结果表明，本方法稳健性较强，不可见性较好，有较高的实用价值。
第一章 介绍数字水印背景，国内外研究状况及本文的主要内容。
第二章 叙述信息隐藏技术、数字水印技术的基本概念，以及数字水印系统
模型、特性、分类和应用。
第三章 简要介绍本文研究的数字水印算法的理论基础— 小波分析理论。首先，介绍小波与小波变换、多分辨分析和Mallat算法等小波分析理论。
第四章 基于HVS与DWT鲁棒性数字水印算法的设计与实现。实现从水印的嵌入，对水印图片的攻击及水印提取的完整的数字水印系统。并且对系统的鲁棒性进行初步的测试。证明系统对于常见攻击具有良好的鲁棒性
总结，指出本文所设计的数字水印系统地优势与不足之处。

2 数字水印概述
2.1 数字水印的基本框架
从信号处理的角度看，嵌入载体对象的水印信号可以视为在强背景下叠加一个弱信号，只要叠加的水印信号强度低于视觉系统(HVS)对比度门限或听觉系统(HAS)对声音的感知门限，HVS和HAS就无法感知到信号的存在。由于HVs和HAS受空间、时间和频率特性的限制，因此通过对载体对象作一定调整，就有可能在不引起人感知的情况下嵌入一些信息。从数字通信的角度看，水印嵌入可理解为在宽带信道(载体刘象)上用扩频通信技术传输一个窄带信号(水印)。尽管水印信号具有一定的能量，但分布到信道中任一频率上的能量是难以检测至g的。水印的检测则是一个有噪信道中弱信号的检测问题。
在实际应用中，一个完整水印系统的设计包括水印的生成、嵌入和提取三部分。
(1) 水印生成
水印信号分为无意义水印信号和有意义水印信号。通常情况下，无意义水印信号使用高斯白噪声。一般是均值为0，方差为1，即满足N(0,1)正态分布的伪随机实数序列。给定一个“种子”，作为伪噪声发生器的输入，就可以产生具有高斯分布的白噪声信号。这个“种子”可以是产品的序列号、生产日期等，“种子”就是产生水印的密钥。而有意义的水印信号一般代表一定意义的文本、声音、图像或视频信号。对一个给定的有意义的水印，绝大多数算法都要求将它转化为二值序列，这种转化是各种各样的。使用m序列对水印进行扩频、对水印信号进行位分解、置乱等技术都可以提高水印的稳健性。
(2) 水印嵌入
水印的嵌入过程如图2.1所示。
水印嵌入就是把水印信号嵌入到原始产品中，最常用的嵌入准则如下:
Xw(k) =X0(k) +aw (k)，加法准则 (2.1)
Xw(k) =X0(k)（1+aw (k)），乘法准则 (2.2)
在这里 ，变量x既可以指掩体对象采样的幅值(时域)，也可以是某种变换的系数值（变换域);参数a 可随采样数据的不同而不同。一般来说，乘法准则的抗失真性要优于加法准则。
掩体对象
正交变换
数据的嵌入
水印信号
隐藏对象
密钥
感知分析

图2.1 水印嵌入过程框图　

水印的提取可以需要原始产品参与，也可以不需要原始产品的参与。但将水印技术用于产品的网络发布和传播时，使用原始产品参与提取与检测则是个缺陷，因此当前大多数水印提取算法不需要原始产品的参与。图2.2是水印提取过程框图[4-5]。
密钥
感知分析
原始掩体
提取算法
隐藏对象
水印信息

图2.2 水印提取过程框图
2.2 数字水印的技术特点
数字水印技术是作为用于版权保护的一种直观而有力的工具出现的，它除应具备信息隐藏技术的一般特点外，还有着固有的特点和研究方法。目前，该技术已经形成几个公认的标准[7]:
1) 不可觉察性 在大多数数字水印中(某些特定场合，版权保护标志不要求被隐藏，但这不是我们主要研究方向)，系统都要求带水印的图像保持极高的品质，与原始图像之间，利用人类视觉系统属性几乎不可辨别同时，由于在数字方式下，标志信息极易被修改或擦除，因此应根据多媒体信息的类型和几何特征，将水印隐藏其中，使非法拦截者无法察觉。
2) 鲁棒性 即在水印图像经受JPEG压缩或一般的图像处理(如滤波、平滑、图像量化与增强、有损压缩、几何变形、噪声污染等)等无意变形或有针对性的恶意攻击后，水印依然存在于多媒体数据中并可以被恢复和检测出来。
3) 可证明性 水印能为受到保护的信息产品提供完全和可靠的证据。水印算法识别被嵌入到保护对象中的所有者的有关信息(如注册的用户号码、产品标志或有意义的文字等)，并能在需要的时候将其提取出来。同时，能够监视被保护数据的传播、真伪鉴别以及非法拷贝控制等。 安全性嵌入的水印信息必须只有授权的机构才能检测出来，非法用户不能判断水印是否存在，或者即使检测除水印，也不能获取或去除水印信息。
4) 容量要求水印算法能嵌入一定的水印信息量。容量太少不足以确定产品的唯一性;容量太大容易破坏产品的品质。
5) 盲检测性 水印的检测和解码过程不需要未加水印的原始载体图像的具体信息。
2.3 数字水印分类
数字水印技术可以从不同的角度进行划分。
1、按特性划分
按水印的特性可以将数字水印分为鲁棒数字水印和脆弱数字水印两类。鲁棒数字水印主要用于在数字作品中标识著作权信息，如作者、作品序号等，它要求嵌入的水印能够经受各种常用的编辑处理;脆弱数字水印主要用于完整性保护，与鲁棒水印的要求相反，脆弱水印必须对信号的改动很敏感，人们根据脆弱水印的状态就可以判断数据是否被篡改过。
2、 按水印所附载的媒体划分
按水印所附载的媒体，我们可以将数字水印划分为图像水印、音频水印、视频水印、文本水印以及用于三维网格模型的网格水印等。随着数字技术的发展，会有更多种类的数字媒体出现，同时也会产生相应的水印技术。
3、 按检测过程划分
按水印的检测过程可以将数字水印划分为明文水印和盲水印。明文水印在检测过程中需要原始数据，而盲水印的检侧只需要密钥，不需要原始数据。一般来说，明文水印的鲁棒性比较强，但其应用受到存储成本的限制。目前学术界研究的数字水印大多数是盲水印
4、 按内容划分
按数字水印的内容可以将水印划分为有意义水印和无意义水印。有意义水印是指水印本身也是某个数字图像(如商标图像)或数字音频片段的编码;无意义水印则只对应于一个序列号。有意义水印的优势在于，如果由于受到攻击或其他原因致使解码后的水印破损，人们仍然可以通过视觉观察确认是否有水印。但对于无意义水印来说如果解码后的水印序列有若干码元错误，则只能通过统计决策来确定信号中是否含有水印。
5、 按用途划分
不同的应用需求造就不同的水印技术。按水印的用途，我们可以将数字水印划分为票据防伪水印、版权保护水印、篡改提示水印和隐蔽标识水印。票据防伪水印是一类比较特殊的水印，主要用于打印票据和电子票据的防伪。一般来说，伪币的制造者不可能对票据图像进行过多的修改，所以，诸如尺度变换等信号编辑操作是不用考虑的。但另一方面，人们必须考虑票据破损、图案模糊等情形，而且考虑到快速检测的要求，用于票据防伪的数字水印算法不能太复杂。版权标识水印是目前研究最多的一类数字水印.数字作品既是商品又是知识作品，这种双重性决定版权标识水印主要强调隐蔽性和鲁棒性，而对数据量的要求相对较小。篡改提示水印是一种脆弱水印，其目的是标识宿主信号的完整性和真实性。隐蔽标识水印的目的是将保密数据的重要标注隐藏起来，限制非法用户对保密数据的使用。
6、 按水印隐藏的位置划分
按数字水印的隐藏位置，我们可以将其划分为时(空)域数字水印、频域数字水印、时/频域数字水印和时间/尺度域数字水印。时(空)域数字水印是直接在信号空间上叠加水印信息，而频域数字水印、时/频域数字水印和时间/尺度域数字水印则分别是在DCT变换域、时/频变换域和小波变换域上隐藏水印。随着数字水印技术的发展，各种水印算法层出不穷，水印的隐藏位置也不再局限于上述四种。应该说，只要构成一种信号变换，就有可能在其变换空间上隐藏水印。
2.4 数字水印主要应用
随着数字水印技术研究的不断深入，越来越多的学校、研究机构和企业不断投入资助来研究和开发各种数字水印技术和应用。综合来讲，数字水印技术主要应用于下面几个地方[5]:
1、 证件防伪：数字水印技术可有效防止证件被伪造。以制作个人身份证为例，一般要经过照片扫描、签名、制证机输入、打印和塑封等过程。上述新技术是在打印证件前，在照片上附加一个暗藏的数字水印，处理后的照片用肉眼看与原来完全一样，必须专门的扫描器才能检测出数一字水印。这种方法可以迅速、无误地确定证件的真伪。
2、 商标保护：该技术通过将保密特征加入到产品包装的设计中，就可以在产品流通链的任何环节中进行产品的认证、辨别原版和复制版、防止产品伪造，并且能够通过供应链来跟踪产品的流通。
3、 安全文档:将水印特征加入到重要的文档之中，以此来确认文档的真伪性辨别原版文档和复制文档，防止未授权的文档复制及确认原始文档的授有、应用等。包括银行支票、护照、债券、身份证、塑料卡片、邮票、驾照、证书、票据、报表和包装等。
4、 网络数字产品DRM：欧洲委员会DGIII计划制定网络数字产品的知识产权保护(IPR)认证和保护体系标准，简记为IMPRIMATUR。该安全数字水印体系规定在英特网这种开放环境中利益联系的实体、可信任第三方、加载和检验水印的实体、各个实体的责任、应遵守的协议等，是一套严密完整的保护数字产品版权的体系标准。SDMI(The Secure Digital Music Initiative)组织制定的开放技术规范中也把水印技术作为版权保护的手段。SDMI的宗旨是为用户提供便捷的数字音乐在线访问，保护数字音乐的版权，促进与音乐相关的产业和技术的健康发展。
5、 媒体桥技术：通过在杂志广告、产品包装、目录甚至各类票据中隐藏不可见的数字水印，用户只要将这些传统媒体放在网络摄像机(web camera)前，媒体桥技术就可以直接将用户带到与印刷图像内容相关联的网络站点。省去用户敲击键盘和点击鼠标的过程。例如将登有广告的杂志置于网络摄像机前。媒体桥技术会立即在计算机上显示出广告公司的主页和广告中产品的相关信息，免去用浏览器在网上搜索的过程。这种方式可以使出版商、广告商和图像应用者增加其产品的附加值。
6、 打印控制：在打印机、复印机中利用数字水印增加控制信息以限制打印的技术。通过在文档中加入水印信息控制打印机、复印机的打印或复印次数等。
7、 播放控制：在音频、视频播放器中加入水印控制功能限制用户对内容的使用权限。只有购买特定权限的用户才能够获得相应的使用权，比如播放、剪辑等。
8、 电影分级和多语言电影系统：利用图像水印技术可以把电影的多种语言配音和字幕嵌入到视频图像中，在保证图像视觉质量不受影响的情况下节省声音的传输信道。与此类似，把电影分级信息嵌入到图像中，可以实现画面放映的控制，从而实现电影的分级播放，
9、数据完整性验证：脆弱水印是指对某些处理鲁棒而对其它处理脆弱的水印。该技术可以验证数据是否被篡改。它与签名等密码技术的区别在于该技术允许根据实际应用场景对数据进行处理，而密码技术则认为对数据的任何处理都是篡改。比如在互联网上传输图像、音视频流这种大数据量时都先要进行必要的压缩，这时在传输之前加入一种能够抵抗压缩的脆弱水印，对数据的任何其它处理都可能导致水印的破坏，从而证明数据的完整性。
10、保密通信：把需要传递的秘密信息嵌入到公开的图像中，这将有效地减少遭受攻击的可能性。如果再结合密码学的方法，即使敌方知道秘密信息的存在，要提取和破译该信息也是十分困难的。也可以把数字媒体附加描述和参考信息作为水印加到媒体中，供将来使用。

3 小波分析及其应用
3.1 引言
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析作为近二三十年从工程、物理及纯数学发展起来的综合学科，吸引着越来越多的来自不同行业的科技工作者。信号小波分析、小波分析快速算法和积分变换己经取得令人兴奋的成绩，其它更广泛的应用正在被研究。小波分析是目前国际上公认的最新的时频分析工具，其“自适应性”和“数学显微镜”的性质是众多工作者爱不释手的分析工具。经过二十多年的发展，小波分析已经成为国际上科技学术界高度关注的前沿领域。
小波分析作为一门学科始于1990年前后[10-11]，它是Fourier分析发展史上里程碑式的进展，是Fourier分析理论发表180多年来最辉煌的继承、总结和发展，对分析工具起着承前启后、继往开来的重要作用，并取得许多传统分析方法难以实现的显著应用效果，这种分析技术是一种高新技术，是高科技的重要内容，它已经把信息工业和信息技术推向一个新时代，是当今国际学术研究和产业发展的热点内容之一。
Fourier变换是信号在整个时域内的积分;Fourier频谱只是信号频率的统计特性，没有局部化分析信号的功能:它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来，但却不能将它们有机地结合起来对信号进行分析，这样的方法只适合处理平稳信号，无法处理非平稳信号。Gabor变换在一定程度上克服Fourier变换不具有局部化分析能力的问题，但也存在着一些缺陷：Gabor变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改变的，即不能根据待分析信号频率的变化而改变分辨率；Gabor变换的品质因数Q是随X变化而变化的，所以它不能准确反映信号的特性；Gabor变换所得结果受窗口函数的影响，有一定的失真;无论X和S如何离散gc(x) ,S(t)都不能形成L2(R )上的正交基。与 Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比，小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，当a值较小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察;当a值较大时，时轴上观察范围大，而在频域上相当于用较低频小波做概貌观察，很符合实际工作的需要，从根本上克服Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺陷，解决Fourier变换不能解决的许多困难问题，，小波变换被誉为“数学显微镜”。
目前 ，小波分析已经成功的应用于信号处理，语音分析，模式识别，数据压缩，地震勘探，CT成像，数字水印，天文学，计算机视觉，分形，湍流等等.由小波分析带来的高新技术成果迅速增加，其研究正向纵向发展。
3.2 小波的发展历程
小波分析 ，也称为多分辨分析，是建立在泛函分析，Fourier分析，样条分析于调和分析基础上的新的信号分析处理工具，具有很强的应用性。任何理论的提出和发现都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。1910年Harr提出小波规范正交基，这是最早的小波基，当时并没有出现“小波”这个词;七十年代A.Calderon表示定理的发现，Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做理论上的准备。而且J.0. Stromberg还构造历史上非常类似于现在的小波基，为小波分析奠定基础。1981年 ,法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在分析地质数据时基于群论首先提出小波分析(Wavelet analysis)这一概念，建立以他名字命名的Morlet的小波;1985年，法国大数学家Meyer首次提出光滑的小波正交基，后被称为Meyer基，对小波的理论做出重要贡献。1987年，Meyer和Mallat建立多分辨分析[15]，给出构造正交小波基一般方法，因为在此之前人们构造的正交小波基都带有高度技术性和不可模仿性。多分辨分析概念是小波理论最基本的概念之一。1988年，年轻的数学Daubechies提出可具有紧支集光滑正交小波基一一一一Daubechies基，为小波应用研究增添催化剂，因此Daubechies名扬天下。被认为是小波分析的经典的纲领性著作。后来，Mallat受金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出著名的快速小波算法——Mallat算法(FWT) ，这是小波理论突破性的成果，其作用和地位相当于Fourier分析中FFT。Mallat算法的提出宣告小波从理论研究走向宽广的应用研究。现在人们借助Daubechies基和Mallat算法可以进行广泛的研究。1988年，Arneodo和Grassea。等人将小波变换运用到混沌动力学和分形理论以研究湍流和分形生长现象。1990年，崔锦泰和王建中构造基于样条函数的所谓单正交小波。
1988年 ,Duabechies等人证明除Harr小波外，不存在具有对称系数(对应于滤波器的线性相位性质)的标量正交小波变换，为保证在正交的意义下保持系数的对称性，20世纪90年代初期，人们将标量小波推广到矢量空间上。由矢量函数：Φ(t)= 『φ0(t), φ1( t) ......φt－1(t )』T可以生成矢量小波(多小波) Ψ(t)= 『ψ0(t), ψ1( t) ......ψr－1(t )』T。多小波同时具有正交性，短支撑性，消失矩等性质，这些性质在信号处理诸多领域中的应用是十分重要的。
为进一步提高小波的计算速度，简化小波实现难度以及克服常见的小波基函数不能无损表示信息的弊端，Sweldens在1995年系统的提出通过矩阵的提升格式来研究完全重构滤波器，从而建立称之为第二代小波变换的框架体系。另外，为避免实系数小波不具有平移不变性以及方向性能差等缺陷，Kingsbury等在1999年对复数小波进行研究并在图像去噪等方面获得成功。同时，为克服经典小波在二维或高维奇异性达不到的缺陷，Candes和Donoh。等人在1999年提出脊波(Ridgelet)和曲波(Curvelet)理论可以看到小波分析发展到今天，其理论已经相当丰富。
3.3 小波变换
由于在各种图像处理过程中，有损压缩对数字水印的生存打击较大，故数字水印在嵌入和提取过程中必须利用各种有损压缩的特点来寻求最大的鲁棒性。离散余弦变换是从图像空间到频率空间的全局变换而离散小波变换是一种局部的变换。由于离散余弦变换的全局本质，在变换空间中任何一个数据的误差都会影响到图像中的每一个像素，为限制离散余弦变换的全局影响，JPEG压缩标准把图像分成一系列8x8的小块。但是，这样一来在进行压缩时就不可避免地出现块效应。此外，离散小波变换的另一个特点是它具有多尺度分析的能力。因此，当前最新的图像压缩标准——JPEG2000和视频的MPEG7压缩标准都采用小波变换。基于压缩标准模型的数字水印算法可以很好地解决与这些标准的兼容问题，增强抵抗有损压缩攻击的能力。利用小波变换把原始图像分解成多频段的图像，能适应人眼的视觉特性且使得水印的嵌入和检测可分多个层次进行，小波变换域数字水印方法兼具时空域方法和DCT变换域方法的优点。因此，基于离散小波变换的数字水印算法已经成为当前研究的热点和最重要的研究方向[10-11]。
从图像处理的角度看，小波变换具有以下几个优点：
(1) 可以覆盖整个频域(提供一个数学上完备的描述)。
(2) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大地减小或去除所提取的不同特征之间的相关性。
(3) 小波变换具有“变焦”(zooming)特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口)，在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)。
(4) 小波变换实现上有快速算法(即Mallat小波分解算法)。
(5) 具有多分辨率(multi-resolution) ，也叫多尺度(multi-scale)的特点，可以由粗到精的逐步观察信号等。
3.3.1 连续小波变换
定义1 设Ψ(t)∈L2(R)∩L1 (R)，其傅立叶变换为Ψ(w)，若满足 （3.1）
则称Ψ(t) 为一个基本小波或母小波，此公式称为小波函数的可容许性条件。
定义2
（3.2）
定义3 设Ψ(t)为母小波，f(t)∈L2(R) 定义它的小波变换为
（3.3）
对应的重构公式(逆小波变换)为 （3.4）
3.3.2 离散小波变换
在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化.因此，有必要讨论连续小波Ψs, b(t)和连续小波变换(Wf)(s,b)的离散化。这里的离散化是针对连续的尺度参数s和连续的平移参数b的，而不是针对时间变量t的。
为方便起见，在离散化中，总限制s只取正值，这样小波函数的可容许性条件变为 （3.5）
通常，把连续小波变换中尺度参数s和平移参数b的离散化公式分别取作，这里j∈z。扩展步长s0≠1是固定值，为方便起见，总是假定so〉1。所以对应的离散小波函数Φj,k(t )可写作 （3.6）
而离散化小波系数则可表示为
（3.7）
其重构公式
（3.8）
其中C是一个与信号无关的常数。
3.3.3 多分辨分析
1988年，Mallat和Meyer合作提出多分辨分析(Multi-Resolution Analysis，简称MRA)的框架[16]，其主要思想是将L2(R)分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，该子空间序列的极限就是L2(R)，然后将L2(R)中的f描述为具有一系列近似函数的逼近极限，其中每一个近似函数都是f在不同分辨率子空间上的投影，通过这些投影可以分析和研究在不同分辨率子空间上的形态和特征，这也就是多分辨分析这个名称的由来。
关于对多辨率分析的理解，这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图3.1所示。

图3.1 小波分解树
从图 3.1可以看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。分解具有如下关系:S=A3+D3+D2+D1。如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4，依次类推进行分解。
定义4 空间L2(R)的多分辨分析是指L2(R)中满足如下一些条件的闭子空间序{Vj}j∈z：
(1) 一致单调性
(2) 渐进完全性
(3) 伸缩规律性
(4) 平移不变性
(5) Riesz基存在性 存在Φ(t)∈V0，使得{Φ(t-k)}k∈Z构成的V0的Riesz基。
通常称Φ(t)为尺度函数，Vj为尺度空间。
推论 设{Vj}j∈z为L2(R)的一个MRA，{Φ(t-k)}k∈Z为规范正交基，则对任意j∈Z，
Φjk(t)=2-j/2Φ(2-jt-k), j,k∈Z
为Vj的一个规范正交基，即Vj=span{Φjk(t)}k∈Z=span{2-j/2Φ(2-jt-k)}k∈Z
因为{Vj}j∈Z不是L2(R)的正交分解，所以不能从Φjk得到L2(R)的规范正交基。为使L2(R)中的函数能在新的正交基（小波基）下展开，MRA下一步的工作就是要通过正交补的方法，从{Vj}j∈Z构造出L2(R)的正交子空间序列{Wj}j∈Z（即小波子空间序列），使L2(R)得到正交分
并有Vj⊕Wj=Vj+1
称Wj为Vj+1中