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微积分 第三版 上册 复习提纲
2012年10月24日星期三 DR.proxmjov

第零章-预备知识

一。互质的定义：互质（relatively prime）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。
互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。
二。集合的运算律：
集合的分配率：A∩B∪C=A∩B∪(A∩C)
A∪B∩C=A∪B∩(A∪C)
集合的对偶律：(A∪B)C=AC∩BC (A∩B)C=AC∪BC
三。映射：单射+满射=一一映射
四。函数的运算：
和：(fg)(x)=f(x)+g(x) x∈D
差：(f-g)(x)=f(x)-g(x) x∈D
积：(f.g)(x)=f(x).g(x) x∈D
商：(f/g)(x)=f(x)/g(x) x∈D 且g(x)≠0
函数的线性组合：αf+βgx=αfx+βg(x) x∈D
五。三角函数：
正割函数：y=secx 余割函数：y=cscx 图像

sec2x-tan2x=1
csc2x-cot2x=1

六。诱导公式：
sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）
　　cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）
　　tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）
　　cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z）
　　sec（2kπ+α）=secα （k∈Z）
csc（2kπ+α）=cscα （k∈Z）
sin（π+α）=－sinα
　　cos（π+α）=－cosα
　　tan（π+α）=tanα
　　cot（π+α）=cotα
　　sec（π+α）=－secα
csc（π+α）=－cscα
sin（－α）=－sinα
　　cos（－α）=cosα
　　tan（－α）－tanα
　　cot（－α）=－cotα
　　sec（－α）=secα
csc (－α）=－cscα
sin（π/2+α）=cosα
　　cos（π/2+α）=—sinα
　　tan（π/2+α）=－cotα
　　cot（π/2+α）=－tanα
　　sec（π/2+α）=－cscα
csc（π/2+α）=secα
奇变偶不变，符号看象限

七。和差化积，积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】
　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2=sinβcosα=[sin（β+α）+sin（β-α）]/2
这里用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】　
　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
八。符号函数：y=sngx 取整函数y= [x]

九。反三角函数：
1、y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]
2、y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]，
3、y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2）
4、y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π）

十。双曲函数：
1、双曲正弦
　　sh z =(e^z-e^(-z))/2
　　2、双曲余弦
　　ch z =(e^z+e^(-z))/2
　　3、双曲正切
　　th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
　　4、双曲余切
　　cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
　　5、双曲正割
　　sch z =1/ch z
6、双曲余割
每个双曲函数之间的联系：
　　 xh(z) =1/sh z
sinh(x)=(exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
cosh(x)=(exp(x) + exp(-x)) / 2.0;
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x);
coth(x) = 1 / tanh(x);
sech(x) = 1 / cosh(x);
csch(x) = 1 / sinh(x);
　 cosh^2(x) - sinh^2(x) =1;

和差运算律：sinh(x+y)=sinhx.coshx+coshx.sinhy
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy
sinh(x-y)=sinhx.coshx-coshx.sinhy
cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

sinh2x=2sinhxcoshx cosh2x=cosh2x+sinh2x cosh2x-sinh2x=1

反双曲正弦，反双曲余弦：

反双曲正弦函数的定义是：
，其中
反双曲余弦函数的定义是：
，其中
其它反双曲函数

参考习题：
教材：P17 T2
P17 T12

第一章，极限与连续
一。数列的极限
极限的定义，推论（有限多项），收敛数列的有界性，收敛数列的保号性，推论。
收敛数列与其子数列的关系。
解题方法（证明一个极限的数量是A），
课件摘录：

课堂习题求极限：

参考题目：书P31 T5
习题册P4 T4
二。函数的极限
极限的定义（有限点处，无穷大处）。极限limx→x0f(x)存在的充分必要条件。水平渐近线的定义。
性质：1、有极限函数的局部有界性（点处，无穷大处）
2、有极限函数的局部保号性（点处，无穷大处）逆命题，解题方法：证明函数的极限是A
3、函数极限与数列极限的关系。
4、单侧极限，fx0-=f(x0+)

参考题目：教材P4 T14 ,T6
习题集 P6 四
三。极限的运算法则
无穷小的定义，引理，f(x)=A+α
定理：1、有限个无穷小之和是无穷小。
2、有界函数与无穷小之积是无穷小。
3、常数与无穷小之积是无穷小。
4、有限个无穷小之积是无穷小。
无穷大的定义，铅直渐近线的定义。
运算法则：

复合函数的极限运算法则：

注意P48图表，P49 T7
四。极限存在准则与两个重要极限
夹逼准则，单调有界收敛准则，

limx→0sinxx=1 limn→∞nn=1 limn→∞(1+1n)=e limx→0(1+x)1x=e

lim(f(x))g(x)=AB
参考习题：习题册P8 三 12

五。无穷小的比较
低阶，高阶，同阶，等价无穷小，主要部分，基本无穷小，α~β的充分必要条件。

六。函数的连续性与连续函数的运算
定义（点，区间）设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即 或 ,那末就称函数在点连续,称为的连续点.
单侧连续：

间断点
函数和差积商的连续性，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，
参考习题：习题册P12 四

七。闭区间上连续函数的性质
最大值与最小值定理：闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值与最小值
零点定理
介值定理及推论
参考习题：书P75 T2,3,4,6
总习题中应当注意的典型题目：
P76 T1,7,9,10,14 习题册 P15 一6，二，P17二 2，4，5，7