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英豪班培训资料：圆
一、弦切角定理：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.

二、圆幂定理
圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，
∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以

（2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

（3） 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。
存在：
进一步升华（推论）：
过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则
（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
　　若点P在圆内，类似可得定值为
　故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝
对值。（这就是“圆幂”的由来）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r=2，则Rt△ABC的周长为___________

2. D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值

解：连结AP，则，
所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分）
∴，
所以，
∴， …………………………（10分）
所以. …………………………（15分）
3. 如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ， 即 ．
由切割线定理得
所以 ． …………………………10分
因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是
故 ，
即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分
4. 已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

（第13A题答案图）
证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，． ……………5分
两式相减可得，
又 ，
于是有 ，即，
所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．
5. 如图，圆内接四边形ABCD中，.
求证：

证明：连结BD、AC交于点E，则
∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD
所以△∽△， 5分
所以，
所以． 10分
又∠CBE=∠CAB，∠BCE=∠ACB
所以△∽△， 15分
所以，
所以， 20分
所以，
所以． 25分
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .

解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此
.
由△∽△，知．因为，
所以 ，BA=AD ，故

.
7. 如图，⊙O的直径为，⊙O 1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O 1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O 1交于点，求证：△BOC∽△．

证明：连接BD，因为为⊙O 1的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与⊙O 1交于点，连接OM，则．又因为，所以
．
…………（15分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以
△BOC∽△． …………（20分）
8. 如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。
A
B
C

H

P
D
Q

证明：如图，延长AP交⊙于点Q
连结AH，BD，QC，QH
∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900
∴BQ为⊙的直径
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC
∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。
9. 如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）
．
（第12B题）
证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
，
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而 ，
所以 . …………（20分）
10. 如图，P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点．求证：EG=DE．

解：由AD∥BC得△AED∽△CEF
从而，DE：EF=AE：EC
又因为AP∥DC，得△AEP∽△CED
于是AE：EC=EP：DE
故DE：EF= EP：DE，即
而EG是过B、F、P三点的圆的切线，EFP为此圆的割线，则，故，所以EG =DE
11. 如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 ．

解：连接DF、BP、EF、PC
∵AB、AC是⊙O的切线
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠PDB=∠PFB=∠PFC=∠PEC=90°
∴∠DPF=∠EPF
点P、E、C、F四点共圆，点P、F、B、D四点共圆
∴∠PDF=∠PBF=∠PCE=∠PFE
∴△PFD∽△PEF
∴
∴
∴
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．
思路点拨 先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．

解：点O为△ABC的外心，连结OA、OB、OP、OQ，则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠OAB=∠OAC
∴∠OBA=∠OAC
∴∠OAP=∠OBQ
∵AP=AQ
∴△OAP≌△OBQ
∴∠OPA=∠OQB
∴点A、P、Q、O四点共圆
13. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

解：（1）设DE=x，在Rt△DEF中，∠DEF=45°，则DF=DE=x
∴AE=CF=1-x
由切线长定理可证：EG=AE=1-x，FG=FC=1-x，则EF=2（1-x）
由勾股定理，得，所以，解得
故点G为线段EF的中点。
（2）由题意知：DE=1-x，DF=1-y
由（1）小题可知：EG=AE=x，FG=FC=y，则EF=x+y
∵
∴
∴
(3)。理由如下：
由翻折可知：，则，而， 所以，因为，所以，所以，，所以，即，所以

14. 圆O1与圆O2交于点A、B，过A的直线分别交圆O1、圆O2于M、N，C为MN的中点，P为O1O2的中点。求证PA=PC

证明：（下面对AM＞AN的情况进行证明，AM＝AN与AM＜AN同理证明）
方法一：
作PQ垂直MN于Q，O1E垂直MN于E，O2F垂直MN于F，
则PQ//O1E//O2F
因为P是O1O2的中点
所以Q是EF的中点，即QE＝QF＝EF/2
根据垂径定理得：AE＝ME＝AM/2，AF＝NF＝AN/2
所以EF＝AE＋AF＝（AM＋AN）/2＝MN/2
设AM＝4X，AN＝4Y，
则AE＝ME＝2X，AF＝NF＝2Y，QE＝QF＝X＋Y
因为C为MN的中点
所以MC＝NC＝MN/2＝2X＋2Y
因为AQ＝AE－QE＝2X－（X＋Y）＝X－Y
CQ＝QM－MC＝ME＋QE－MC
＝2X＋（X＋Y）－（2X＋2Y）＝X－Y
所以AQ＝CQ
因为PQ⊥AC
所以PQ垂直平分AC
所以PA＝PC
方法二：
在⊙O1中作直径AR，在⊙O2中作直径AS，连接BR、BS，延长AP交BR于G，连接CG、RM、SN、AB
因为AR、AS是直径
所以∠ABR＝∠ABS＝90°，∠M＝∠N＝90°，
所以R、B、S在同一直线上，且有AB⊥RS，RM//SN
因为AB⊥O1O2
所以O1O2//RS
所以O1P/RG＝AP/AG，O2P/SG＝AP/AG，
因为O1P＝O2P
所以RG＝SG
因为CM＝CN
所以CG是梯形MNSR的中位线
所以CG//RM
所以CG⊥MN
因为O1A＝O1R，O1P//RS
所以PA＝PG
所以PC是直角三角形ACG斜边上的中线
所以PC＝AG/2＝PA
所以PA＝PC
15. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
. ① ……（6分）
又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 　②　　　……（12分）
由①，②得　ED=2EP.
所以　DP=PE. ……（15分）
16. 如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．
解：点Q在线段AB上运动的过程中，的值是不变的。证明如下：
连结DC、PC
∵，
∴△COD∽△BOA，
∴∠1=∠A
∵O、C、P、D四点共圆
∴∠1=∠2
∴∠2=∠A
∵∠POC=∠AOQ
∴△POC∽△AOQ
∴
∴
12