八年级数学上册12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定练习新版新人教版.doc

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第 2 课时 角的平分线的判定

基础题
知识点 1 角平分线的判定
1．已知：如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线 OC 上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，
②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定 OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）
．A 个 1
．B 个 2
．C 个 3
．D 个 4
2．已知：如图所示，BE＝CF，DF⊥AC 于点 F，DE⊥AB 于点 E，BF 和 CE 相交于点 D.求证：AD 平分∠BAC.
3．已知：如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 相交于点 O.求证：
(1) 当∠1＝∠2 时，OB＝OC；
(2) OB＝OC 时，∠1＝∠2. 当
知识点 2 角平分线的性质与判定的综合运用
4．如图，△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的角平分线相交于 O，下面结论中正确的是（ ）
．∠1＞∠2 A
．∠1＝∠2 B
．∠1＜∠2 C
．不能确定 D
5
．如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，连接 AD.求证：AD 是∠BAC 的外角平分线．
知识点 3 角平分线的性质与判定的实际应用
6．如图，铁路 OA 和铁路 OB 交于 O 处，河道 AB 与铁路分别交于 A 处和 B 处，试在河岸上建一座水厂 M ，要求 M到
铁路 OA，OB 的距离相等，则该水厂 M应建在图中什么位置？请在图中标出 M点的位置．
7．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条
公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．
中档题
8．如图所示，P 为△ABC 外部一点，D，E 分别在 AB，AC 的延长线上，若点 P 到 BC，BD，CE 的距离都相等，则关于
点 P 的说法最佳的是（ ）
．在∠DBC 的平分线上 A
．在∠BCE 的平分线上 B
．在∠BAC 的平分线上 C
．在∠DBC，∠BCE，∠BAC 的平分线上 D
9
．如图所示，在△ABC 中，外角∠CBD、∠BCE 的平分线交于 O 点，OF⊥AD，OG AE，垂足分别为 F、G
⊥ ，则
OF________OG.(＜"或"＝") 填"＞""
10 ．三条公路两两相交于 A，B，C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选
择的地方有________ 处．
11．如图，BE＝CF，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝DC，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 12．如图，D，E，F 分别是△ABC 三边上的点CE＝BF，△DCE 和△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC.
13 ．如图所示，△ABC 中，∠B＝∠C，D 是 BC 边上一动点，过 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 分别为垂足，则当 D 移
动到什么位置时，AD 恰好平分∠BAC，请说明理由．
综合题
14 ．如图，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，
(1) 在图 1 中，分别画出点 P 到边 AC、BC、BA 的垂线段 PF、PG PH 这三条线段相等吗？为什么？ 、，
(2) 在图 2 中，∠ABC 是直角，∠C＝60，其余条件都不变，请你判断并写出 PE 与 PD 之间的数量关系，并说 °
明理由．
参考答案
1．D
2.证明：∵DF⊥AC 于点 F，DE⊥AB 于点 E，
1页

∴∠DEB＝∠DFC＝90. °
在△BDE 和△CDF 中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC 于点 F，DE⊥AB 于点 E， ∴AD 平分∠BAC.
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3. 证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90. °

ì∠BOD＝∠COE，
ï
在△BOD 和△COE 中，íOD＝OE，

îï∠ODB＝∠OEC，

∴△BOD≌△COE(ASA)． ∴OB＝OC.


ì∠ODB＝∠OEC，
ï

(2)在△BOD 和△COE 中，í∠BOD＝∠COE，
îïOB＝OC，

∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO 平分∠BAC，即∠1＝∠2.
4.B
5. 证明：过点 D 分别作 DE⊥AB，DG AC，DF⊥BC，垂足分别为 E，G F.
⊥ ，
又∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG DF. ＝
∴DE＝DG.
∴AD 平分∠EAC，即 AD 是∠BAC 的外角平分线．
6. 图略．提示：作∠AOB 的角平分线，与 AB 的交点即为点 M的位置．
7. 在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点 O 就是小亭的中心位置，图略．
8.D 9. ＝ 10. 4
11.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90. °

ìBE＝CF，
在 RtDEB 和 RtDFC 中，ï
△ △ í

∴RtDEB≌RtDFC.
îïDB＝DC，

△ △
∴DE＝DF.
∴AD 平分∠ABC.
12.证明：过点 D 作 DH⊥AB 于 H，DG AC 于 G. ⊥
1 1
∵S△DCE＝2CE·DG S△DBF＝2BF·DH，S△DCE＝S△DBF， ，
1 1
∴2CE·DG 2BF·DH. ＝

又∵CE＝BF，
∴DG DH. ＝
∴点 D 在∠BAC 的平分线上，即 AD 平分∠BAC.
13. 移动到 BC 的中点时，AD 恰好平分∠BAC.理由如下： ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
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∴∠DEB＝∠DFC＝90 °
.又∵∠B＝∠C，
∴△DEB≌△DFC(AAS) ．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD 平分∠BAC.
14(1)PF ＝PG，理由如下：∵AD 平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
． ＝PH
∴PF＝PH.
∵BE 平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∴PG＝PH.∴PF＝PH＝PG.
(2)PE 理由如下：∵∠ABC＝90
＝PD. °，∠C＝60 °，∴∠CAB＝30. °
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
1 1
∴∠CAD＝∠BAD＝2 CAB＝15
∠ °，∠ABE＝∠CBE＝2 ABC＝45.
∠ °
过点 P 作 PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为 F、G，则∠PFE＝∠PGD＝90. °
∵∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60 15 75 °＋ °＝ °，∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30 45 75 °＋ °＝ °，
∴∠PEF＝∠PDG.
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE＝∠PGD＝90. °
由(1)PF＝PG， 得
∴△PFE≌△PGD.∴PE＝PD.

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