1、郭老师
九年级二次函数复习提纲
知识要点梳理
知识点一：二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
知识点二：二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称
2、轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴
3、交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4。二次函数图象的平移规律
任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
5.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
.(由此得根与系数的关系！)
知识点三：二次函数与一元二次方程的
4、关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识点四
5、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
方法指导:
1.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线
6、
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(，)，对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相同两点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
2.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为(0，).
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况
7、可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根.
次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程
组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方
程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，
由于、是方程的两个根，故
.
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