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马尔科夫模型在汽车市场预测中的应用
一、引言
企业是一个动态变化的系统，有些变量和因素随时间的推移而不断地随机变化，市场占有率就是其中一个变量。面对日趋激烈的市场竞争，谁能及时准确的掌握未来的市场趋势，谁就能掌握市场的主动权。然而，用一般的预测方法来预测市场占有率很难得到准确的结果，如长期趋势预测法，是依据历史数据的变化规律来对未来市场状况进行预测，但对市场占有率这个无确定变化规律的变量来说，就显得不太适用。马尔科夫预测法是在通过市场调查等途径获取资料的基础上，运用数理统计、系统工程等有效地数学方法，是实现定量建模与定性评价的深层组合，适用于随机过程预测的一种科学有效的方法。
二、马尔科夫过程及预测模型的建立
马尔科夫(A．A．Markov)理论指出：“系统达到每一状态的概率仅与近期状态有关，在一定时期后马尔科夫过程逐渐趋于稳定状态而与原始条件无关”的这一特性称为“无后效性”。即：事物的第n次试验结果仅取决于第(n一1)次试验结果，第(n一1)次试验结果仅取决于第(n一2)次试验结果，依此类推。这一系列转移过程的集合叫做“马尔科夫链”或称为“时间和状态均离散的马尔科夫过程”。“对马尔科夫过程和马尔科夫链进行分析，并对未来的发展进行预测称为马尔科夫分析”。马尔科夫预测方法的特点是：不需要大量的统计资料，只需有限的近期资料即可实现定量预测，而且马尔科夫预测方法适用于短期预测的基础上，只要状态转移矩阵滚动次数足够的多，同时也适用于长期预测。但要求市场比较稳定并在一定时期内没有大的变动。
马尔科夫过程实际上是一个将系统的“状态”和“状态转移”定量化了的系统状态转换的数学模型：
状态{Sn，n≥1}：指现象某一时刻上的某种状态，是表示系统的最小一组变量。当系统可完全由定义状态的变量取值来描述时，称系统处于一个状态。
状态转移：指当系统的描述变量从一个状态的特定值变化到另一个状态特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而该系统实现了状态的转移。
相应地，事物处于某种状态的可能性的大小，称为状态概率：
则某一时期k的状态概率向量为：
1．明确系统状态及系统状态当前的初始分布。
选定预测市场对象（即论域）进行市场调查，要研究的对象，应在整个市场或区域内并在调查期内营业的企业中进行选择；例如深圳市2007年第二季度各品牌汽车市场占有率（前5名）如下表1：
表1 深圳市2007年第二季度各品牌汽车市场占有率
品牌
实际销售（辆）
市场占有率（%）
广州本田
3748
6.7
一汽本田
3140
5.6
上海通用
2814
5.0
东风日产
2812
5.1
广州丰田
2045
3.6
其他
41431
73.9
按表1可以把系统分为广州本田、一汽丰田、上海通用、东风日产、广州丰田、其他品牌六个状态，得到六个系统状态在2007年第2季度市场占有率的初始分布：
S（0）=（0.06 0.056 0.050 0.051 0.036 0.739）
2．建立转移矩阵——马尔科夫转移矩阵
运用马尔科夫链进行预测的关键在于：建立状态转移概率矩阵（指系统在时刻t所处状态，转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率）。因此，市场占有率的预测，其关键也就在于通过市场调查，确定预测期内用户购买产品转移的分布情况。
转移矩阵：若由状态Si转向Sj的概率为Pij，则称Pij为从状态Si经过一个时期转移到状态Sj的一阶转移概率，其中Pii、Pjj为同一状态的转移概率，也称为保留概率。一般而言，转移概率Pij（n）构成的转移矩阵为：
，

（1） ； （2），即每列和为1。
P（1）为一步转移概率矩阵，P（k）为k步转移概率矩阵，他是在k-1步转移的基础上再一次转移的结果，。
3．构造预测模型，进行计算分析
描述马尔科夫链仅取决于系统的初始状态和状态转移概率，其模型如下：
当系统k=0时的初始（基期）状态为已知时，经过k次转移后，处于状态Si的概率为Si（k），且有；
由切普曼柯尔莫戈诺夫方程得：

用向量表示：

可得递推公式：

所以：，可用作对动态演进系统实现预测的模型。
根据马尔科夫链预测的基本原理：设基期（调查其、上期）的市场占有率为因此，深圳市汽车市场本期占有率为：

可建立应用于市场预测的数学模型：
本期预测结果为：

下期预测结果为：

…
以此类推，可得经过若干时间（时期）后的预测状态概率
汽车销售市场营销过程是一种相关性很弱的随机过程，他的相依关系表现在相邻两时刻之间的统计关系，以后过程的概率特性只依赖于近期观测的结果，二与以前发生的任何情形无关，具有“无后效性”特性符合马尔科夫过程。即每期就完成一次状态转移过程，其用户选购意向的转移过程近似于马尔科夫过程，这样一连串转移过程的整体构成马尔科夫链。所以，在市场比较稳定并在一定时期内没有大的变动情况下，可以应用马尔科夫链对汽车销售市场进行预测。
三、实例分析
预测深圳市主要品牌汽车（广州本田、一汽丰田、上海通用、东风日产、广州丰田、其他）的市场占有率。首先，按各品牌在同一时期的签订意向合同数和转移（失去）合同数进行抽样调查，调查结果见表2（调查统计过程省略）。以上期期限为调查期（如上期期限为2007年4月1日～2007年6月30日），对后期（本期、下一期、下二期、……）汽车市场占有率作预测，假设市场调查原始资料如下表2：
表2 深圳市各品牌汽车市场调查资料分析表

4月1日起
签订意向
合同数
转向（数量：辆）
6月30日
实际销售（辆）
→失去

A
B
C
D
E
F

合计
广汽本田A
3711
↓
争
取
0
108
89
123
87
245
652
3748
一汽丰田B
3585
115
0
101
107
77
498
898
3140
上海通用C
3029
85
87
0
153
78
388
791
2814
东风日产D
2600
54
42
84
0
124
124
428
2882
广州丰田E
2027
114
58
112
114
0
165
563
2045
其他F
32743
156
126
113
123
121

0
639
41431
合计

524
421
499
620
487
1420
56060
直接获得
165
32
77
90
94
7907
资料来源：
从表2数据可以看出：A品牌上期（4月1日起）签订意向合同为3711份，同时有652个客户转向购买其他品牌，而（直接获得）有524个客户从其他品牌转向购买A品牌的汽车。上期A品牌汽车总销量为3748辆，直接获得的订购户数（余数）为：3748-3711-524+652=165；保持原有意向订购户数的概率为（3784-652）/3711=0.824；转向B品牌订购户数的概率为108/3711=0.029；转向C品牌订购户数的概率为89/3711=0.024；转向D品牌订购户数的概率为123/3711=0.33；转向E品牌订购户数的概率为87/3711=0.023；转向其他品牌订购户数的概率为245/3711=0.066。以同样方法可计算出其他品牌的保持与转向的概率（省略）。将计算结果按顺序列一个表，得马尔科夫转移矩阵——一步转移概率矩阵，即：

如果市场比较稳定，在一定时期内没有大的变动，则可以进行预测。
基期的市场占有率为：
A:3748/56060=0.067,B:3140/56060=0.056,C:2814/56060=0.050,
D:2882/56060=0.051,E:2045/56060=0.036,F:41431/56060=0.739
所以，基期的状态概率为：

本期开盘市场占有率预测：
×

即：A品牌汽车本期销售策划市场占有率：SA（1）=0.065；B品牌汽车本期销售策划市场占有率：SB（1）=0.050；C品牌汽车本期销售策划市场占有率：SC（1）=0.046；D品牌汽车本期销售策划市场占有率：SD（1）=0.054；E品牌汽车本期销售策划市场占有率：SE（1）=0.035；F品牌汽车本期销售策划市场占有率：SF（1）=0.748
在该市汽车营销市场系统状态相对稳定的情况下，继本次销售策划之后的第二次销售策划，可继续求解下期市场占有率，由式S（2）=S（1）P得：
×

所以，各品牌下一期销售策划市场占有率分别为：
SA（2）=0.063,SB（2）=0.046,SC（2）=0.043
SD（2）=0.056,SE（2）=0.034,SF（2）=0.756
各品牌汽车预测市场占有率用走势图表示，如图1所示：

图1 市场占有率走势图
预测误差分析：根据实际调查结果，得到该市本期各品牌汽车实际市场占有率，见下表3，将他与预测值比较，的一下结果：
表3 本期预测值（%）与实际值（%）间的误差
项目
广汽本田
一汽丰田
上海通用
东风日产
广州丰田
其他
预测值
6.50
5.00
4.60
5.40
3.50
74.80
实际值
6.54
4.98
4.65
5.64
3.56
74.73
误差
0.04
0.02
0.05
0.24
0.06
0.07
从表3可以看出，预测误差较小，可以认为用马尔科夫矩阵法对汽车市场占有率进行预测是十分可行的。