解析几何专题汇编7抛物线的切线问题.doc

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第七部分、抛物线的切线问题

1．(08 广东) 设 b > 0 ，椭圆方程为


x2 + y2
2b 2 b 2


=1，抛物线方程为 x 2 = 8( y - b) ．如图 6 所

示，过点 F（0,b+2）作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 G ，已知抛物线在 G
点的切线经过椭圆的右焦点 F1 ，
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 A, B 分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ,使 DABP 为直角三
角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由
（不必具体求出这些点的坐标） ．

解： 1）由 x2 = 8( y - b) 得 y = （

1 x2 + b
8


，

当 y = b + 2 得 x = ±4 ，\G 点的坐标为 (4, b + 2) ，

y ' = 1 x ， y ' |x = 4 = 1 ，
4
过点 G 的切线方程为 y - (b + 2) = x - 4 即 y = x + b - 2 ，

令 y = 0 得 x = 2 - b ，\ F1 点的坐标为 (2 - b,0) ，由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b,0) ，

\2 - b = b 即 b = 1，即椭圆和抛物线的方程分别为 x + y2 = 1和 x2 = 8( y -1) ； 2
2
（2 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , 以 ÐPAB 为直角的 RtDABP 只有一
） \
个，同理\ 以 ÐPBA 为直角的 RtDABP 只有一个。

若以 ÐAPB 为直角，设 P 点坐标为 (x, 1 x2 +1) A B ， 、 两点的坐标分别为 (- 2,0) 和
8
( 2,0) ， PA PB = x2 - 2 + (1 x2 +1)2 = 1 x4 + 5 x2 -1 = 0 。
8 64 4

关于 x2 的二次方程有一大于零的解，\ x 有两解，即以 ÐAPB 为直角的 RtDABP 有两个，

因此抛物线上存在四个点使得 DABP 为直角三角形。
2．已知动圆过定点 F (0, 2) ，且与定直线 L : y = -2 相切.

（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（II）若 A B 是轨迹 C 的动弦，且 A B 过 F (0, 2) ， 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切

线，设两切线交点为 Q，证明: AQ ^ BQ .

解： I）依题意，圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点， L : y = -2 为准线的抛物线上 （

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2 = 8 y

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（II）
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直线AB与x轴不垂直, 设AB : y = kx + 2. A(x1, y1), B(x2 , y2 ).

ì y = kx + 2,

由ï

í y = 1 x2. 可得 x2 - 8kx -16 = 0 ，
x1 + x2 = 8k ， x1x2 = -16

îï
8

抛物线方程为 y = 1 x2 ,求导得y¢ = 1 x.

8
4 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是

k1 = 1 x1 ， k2 = 1 x2 ， k1 × k2 = 1 x1 × 1 x2 = 1 x1 × x2 = -1
4 4 4 4 16
所以， AQ ^ BQ

3． 08 陕西）已知抛物线 C ： y = 2x2 ，直线 y = kx + 2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB （

的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N ．
（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB = 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．

证明： （Ⅰ）如图，设 A(x1，x12 )，B(x2，x2 ) ，把 y = kx + 2 代入 y = 2x2 得
2 22 y
A

2x2 - kx - 2 = 0 ．由韦达定理得 x1 + x2 = k ，x1x2 = -1．
2


2
B1
M

\ xN = xM = x1 + x2 = k ，\ N 点的坐标为 ç k ， ÷ ． æ k2 ö
y = 2x2 ，\ y¢ = 4x ， N
x

2
4
è4 8 ø
O
1

\抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4´ k = k ，\l ∥ AB ．
4

（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB = 0 ．

æ x - k ，x2 - k 2 ö， = æ x - k ，x2 - k 2 ö

由（Ⅰ）知 NA = ç 1
è
2
4 1 8÷
ø
NB ç 2
è

4 2 8 ÷ ，则 2
ø

= æ -1- k ´ k + k ö 2

ç
4 2 16 ÷
êé1+ 4´ (-1) + k ´ k + k 2 ù = æ 1- k 2 öæ -3 + 3 k 2 ö = 0
，

è
ø
ë
2 4ú ç
ûè
16 ֍

-1- k < 0 ，\-3 + 3 k 2 = 0 ，解得 k = ±2 ． 2
ø
è
4÷ ø

16 4

即存在 k = ±2 ，使 NA NB = 0 ．

4．(07 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方

向上一点 C(0，c) 任作一直线，与抛物线 y = x2 相交于

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A


y

CO


P

Q


B

x
l

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A，B 两点．一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 l : y = -c 交于点 P，Q ．

（1）若 OA OB = 2 ，求 c 的值；

（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．

解： 1）设直线 AB 的方程为 y = kx + c ， （

将该方程代入 y = x2 得 x2 - kx - c = 0 ．

令 A(a，a2 ) ， B(b，b2 ) ，则 ab = -c ．

因为 OA OB = ab + a2b2 = -c + c2 = 2 ，解得 c = 2 ，或 c = -1 （舍去） ．故 c = 2 ．

Q æ a + b ， c ö ，直线 AQ 的斜率为 kAQ = a a++cb = aa - ab = 2a ．

（2）由题意知 ç
è2
-÷
ø
2

a-
2
2
-b
2

又 y = x2 的导数为 y¢ = 2x ，所以点 A 处切线的斜率为 2a ，

因此， AQ 为该抛物线的切线．

（3） 2）的逆命题成立，证明如下： （

设 Q(x0， c) ．若 AQ 为该抛物线的切线，则 kAQ = 2a ， -

AQ 的斜率为 kAQ = a + c = a - ab ，所以 a - ab = 2a ，

又直线
2

a - x0
2

a - x0
a+b
2

a - x0

得 2ax0 = a2 + ab ，因 a ¹ 0 ，有 x0 = 2．
a+b

故点 P 的横坐标为
2 ，即 点是线段 P
AB 的中点．

5．已知过点 P (0, -1)的直线 l 与抛物线 x2 = 4 y 相交于 A(x1，y1) 、B(x2，y2 ) 两点，l1 、l2

分别是抛物线 x2 = 4 y 在 A 、 B 两点处的切线， M 、 N 分别是 l1 、 l2 与直线 y = -1 的交
点．
（1 ）求直线l 的斜率的取值范围；

（2 ）试比较 PM 与 PN 的大小，并说明理由．

解： 1 （ ）依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y = kx -1 ．

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