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第 25 章 解直角三角形复习
一. 教学内容
第 25章 解直角三角形复习
二.重点、难点：
1. 重点：
（1 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA ，cosA
） ＝
＝ ，tanA ，cotA ．
＝ ＝
（2 ）掌握 30°、45°、60 °等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．
（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，• 由已知三角函数值求它对应的锐角．
2. 难点：
（1 ）通过探索直角三角
2、形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关
系．
（2 ）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．
（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．
三.知识梳理：
1. 锐角三角函数
（1 ）锐角三角函数的定义
我们规定：
sinA，cosA ，tanA ，cotA ．
＝ ＝ ＝ ＝
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．
（2 ）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度
对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一
3、般的锐角又怎样求它
的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．
①已知角求三角函数值；
②已知三角函数值求锐角．
2. 特殊角的三角函数值
a sin cos tan cot
a a a a
30º
45º 1 1
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60º
由表可知：直角三角形中，30 °的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
3. 锐角三角函数的性质
（1 0＜sin 1 0＜cos 1 0°＜a ＜90
） a＜， a＜（ °）
4、
（2 tan cot 1或 tan
） a· a＝ a＝ ；
（3 tan ） a＝ ，cot a＝ ．
（4 sin cos °－a ），tan cot °－a ）．
） a ＝ （90 a ＝ （90
4.
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．
解直角三角形的常见类型有：
我们规定：RtABC C 90 △ ，∠ ＝ °，∠A B C的对边分别为 a b c
、∠ 、∠ 、、．
①已知两边，求另一边和两个锐角；
②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．
5. 解
5、直角三角形的应用
（1 ）相关术语
铅垂线：重力线方向的直线．
水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，• 地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．
仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．
俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．
坡角：坡面与水平面的夹角．
坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．
一般情况下，我们用 h表示坡的铅直高度，用 l表示水平宽度，用 i表示坡度，即：i ＝ ＝tan
a．
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 °的水平角叫做方向角．
如图：
（2 ）应用解直角三角形来解决实际
6、问题时，要注意：
①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．
②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．
③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．
其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，• 能够使用乘法计算的要
尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．
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注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中
包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．
【典型例题】
7、
例 1. 已知 tan＝ a ，求 的值．
分析：利用数形结合思想，将已知条件 tan＝ a 用图形表示．
解：如图所示，在 RtABC
△ 中，∠C 90 ＝ °，∠A a ，设 BC3k AC4k
＝ ＝，＝，
则 AB ＝ ＝ ＝5k ．
∴sina ＝ ＝ ＝ cos a＝ ，
∴原式＝ ＝－7 ．
例 2. 计算．
（1 ） sin45 °－ cos60 °；
（2 cos °+tan60 °；
） 245 °cos30
（3） ；
（4 ） ．
分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法
是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．
解：（1 ） sin45 °－ cos60 °＝ × － × ＝ ；
（2 cos °+tan60 °＝（
） 245 °cos30 ）2+ × ＝2 ．
（3） ＝ ＝ ＝3－2 ；
（4 ） ＝ ＝1 －sin30º＝1 － ＝ ．
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