1、
第三讲 函数连续与导数
一、 一点连续的定义
1、 设在某内有定义且，则称在连续；
2、 设在某内有定义且，则称在右（左）连续；
3、 在连续；
在右连续；
在左连续.
4、；
；
在连续.
5、 间断点：
1） 第一类间断点：可去间断点：；跳跃间断点；
2） 第二类间断点：与至少有一个不存在.
二、 性质：
1、 局部有界性：
2、 局部保号性：
3、 四则运算：
4、 复合函数连续性：若在连续，在连续，则在连续.
5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点.
三、 区间上连续函数及性质
1、 若函数在区间I上的每一点都连续（对于区间
2、端点单边连续），则称为区间I上的连续函数。
2、 闭区间上连续函数的性质：
1）(最大与最小值定理)若,则在上有最大与最小值.
2）(有界性定理) 若,则在上有界.
3）（介值定理）若，则为闭区间.
4）（反函数的连续性）若在上严格单调且连续，则在闭区间上连续.
四、一致连续
1、设定义在区间I上，若当时，有，则称在区间I上一致连续.
2、，则在区间I上一致连续.
3、在区间I上不一致连使得，
4、在区间I上一致连续，当时，有.
证明: 必要性:设在区间I上一致连续, 则当时，有,从而当时,必有. 令.则当时，有.若不然, 但,因此. 取整数,使得,令,则.不妨设,这时由
3、则由介值性定理,.类似.如此下去得,,.于是,从而,矛盾.
充分性: 设，当时，有.取,若,则,从而.
5、（一致连续性定理）若,则在上一致连续.
6、，则在上一致连续都存在使得.
证明: 必要性:设在上一致连续,则当时，有,从而当时,有,由Cauchy准则存在,类似可得存在.
充分性:设,存在,时有.由在上一致连续,所以当,时有,从而当,时有.即在上一致连续.
7、若函数在上一致连续，求证：在上有界. (华东师大04)
证明: 由函数在上一致连续,所以当时,有,对,有,令,则,有,故,令, .
五、初等函数在其定义区间上连续.
六、举例：
1、设且存在，则在上一
4、致连续。(在有界连续,但不一致连续.在上一致连续,)
2、设，，则，使得
证明：当时，取. 当令,则,且,所以.
3、 设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续.（北大05）
4、 设实函数f在[0,+]上连续,在(0,+)内处处可导且 (存在).证明:当且仅当A<+时,f在[0,+)上一致连续.(清华99)
证明: 当时,则当时,,从而在上一致连续.又在上一致连续.故在上一致连续.
反之若在上一致连续,则当时,有,从而,故.
5、 证明函数在上一致连续. （北大01）
证明: .
6、 函数在上一致连续，又在上一致连续，，用定义来证明在上一致连续. （北大00）
7、 设
5、若存在，则必存在，使得.（北大99）
8、 函数在上连续，且 求证：在上有最大值或最小值.(华东师大04)
9、 若函数在上一致连续，求证：在上有界. (华东师大04)
证明: 由函数在上一致连续,所以当时,有,对,有,令,则,有,故,令, .
10、设f(x)在中任意两点之间都具有介质性，而且f在（a，b）内可导， （K为正常数），证明：f 在点a右连续，在点b左连续. (华东师大00)
11、设在上连续，在上可导，且存在，证明在上一致连续.(北师大04)
证明:,设.
1) 当时, 只要证明存在,由, 则当时,且,从而在上严格增, 当时,存在, ,故正项级数收敛,于
6、是存在,由单调收敛原理得存在.
2) 当时,由1)知在上一致连续,从而在上一致连续.
3) 当时,,由1) 在上一致连续.又因为在上一致连续,故在上一致连续.
12、设在上定义，且存在（时为单侧极限），证明在上有界. (北师大03)
证明: 用反证法.若在上无界,则,不妨.由致密性定理有收敛子列,不妨收敛,,这与存在矛盾.
13、设在上连续，无上界且对任意，在上不取最小值.证明在上严格增.
证明: 用反证法.若,使得.由无上界,则存在使得,于是在上取最小值.这与题设矛盾.
14、设在上一致连续，在上连续，且.证明在上一致连续.
15(大连理工04)
证明:,当时,有.
下证在右连续,, , 从而.
16、(大连理工04)(取,,但在上不一致连续)
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