自来水论文 一次修改.doc

供水获利最大问题
摘要
本课题研究的是制定供水方案，使得公司获利最大问题。在本课题的研究程中，我们先后解决了如下两个问题：
问题一是制定三个供水库每天向四个居民区的供水方案，使得公司获利最大；
问题二是供水量增加了一倍后，制定三个供水库每天向四个居民区的供水方案，使得公司获利最大；
对于问题一，我们根据三个供水库的供水量小于四个小区对水的需求量已知的条件，在不考虑供水过程中会发生其他情况等前提下，建立获利最大模型：
并用软件Lingo.11.0,获得最大利润为15200元。
对于问题二，我们根据三个供水库的供水量大于四个小区对水的需求量已知的条件下，在不考虑供水过程中会发生其他情况等前提下，建立获利最大模型：
并用软件Lingo.11.0,获得最大利润为36300元。
至此获利最大问题得以解决，达到利润最大目的。

关键词 利润最大模型 软件Lingo11.0 供水方案

1问题提出
1.1问题重述
某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水有A，B，C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本用水量分别是30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同（见表1，其中C水库与丁区之间没有输水管道），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？
为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加到多少？
表1
引水管理费（元/吨）

甲

乙

丙

丁
A
160
130
220
170
B
140
130
190
150
C
190
200
230

1.2问题提出
通过对题意的分析，我们将问题细化为2个子问题：
问题一是该公司应如何分配供水量，使获利最大。
问题二是该公司每天的最大供水量提高一倍后，在新的供水方案下利润增加所达到的值。
2问题分析
2.1对问题一的分析
对于问题一，要使利润最大，我们需要从三个水库每日向四个小区最大供水量，四个小区每日用水需求量，各区用户收费标准，其他管理费用及各水库向各区所需付出的引水管理费等五个方面考虑，由题知，三个水库最大供水量分别为50、60、50千吨，则水库总供水量为160（50+60+50=160）千吨。而各个小区的基本用水量为3070、10、10千吨，额外用水量为50、70、20、40千吨，则居民用水总需求量为300（30+70+10+10+50+70+20+40=300）千吨。所以各水库的总供水量可完全销售，即：水库的总供水量小于小区的总需求量，因此建立数学规划模型，以达到获利最大的目的。
2.2对问题二的分析
对于问题二，我们基于各小区每日对水的需求量的考虑，对水库进行改造，使每日供水量增加了一倍，（其他条件不变）即：水库的总供水量大于小区总需求量，因此建立数学规划模型，以达到得出获利最大结论的目的。
3模型假设
（1）假设各水库水均能送达各小区。
（2）假设不考虑供水公司的其他管理费。

4符号说明
表示各个水库到各个小区总引水管理费；
（）表示水库每日向小区的供水量；
（）表示水库的最大供水量；
（）表示小区的基本需求量；
（）表示水库到小区的引水管理费的单位价格；
（）表示小区申请的额外用水量。
5问题求解
5.1关于获利最大问题的求解
5.1.1获利最大的模型建立
设水库到小区的供水量为（）千吨，显然，其中蕴含了
一个约束条件，即；（）表示小区的基本需求量；（）表示水库的最大供水量；（）表示水库到小区的引水管理费的单位价格；（）表示小区申请的额外用水量。由题知：“利润=收入-支出”，各区用户按照统一标准900元/千吨收费、各个水库的最大供水量分别为50、60、50千吨，水库总供水量为160千吨。各个小区的基本用数量为30、70、10、10千吨，额外用水量分别为50、70、20、40千吨，则居民总需求量为300千吨，水库水可完全售出，则收入为144000元，支出分为其他管理费用和引水管理费，其他管理费用都是450元/千吨，则其他管理费用为元，所以只考虑引水管理费。再设引总水管理费为元，并以水库的供水量及小区的需水量为约束条件，由题知，建立数学模型。

5.1.2获利最大的模型求解
取

利用软件Lingo11.0，对利润最大模型进行求解（程序及结果截图见附录一,二）
得

5.1.3获利最大的模型分析

由所求结果可知：引水管理费最少为元。最终获得的最大利润为元。具体方案为：水库给甲、丙、丁三个居民区不供应水，给乙居民区供应水；水库给甲，丙两个居民区不供应水，给乙居民区供应水，给丁居民区供应水；水库给甲居民区供应水，不给乙，丁两个居民区供应水，给丙居民区供应水；在此方案下，资源得到合理运用。

5.2关于供水量增加一倍后，利润增加量问题进行求解
5.2.1供水量增加一倍，所获利润最大模型建立
设水库到小区的供水量为（）千吨，显然，其中蕴含了一个约束条件，即；（）表示小区的基本需求量；（）表示水库的最大供水量；（）表示水库到小区的引水管理费的单位价格；（）表示小区申请的额外用水量。由题知，“利润=收入-支出”，各区用户按照统一标准900元/千吨收费，水库总供水量增加一倍后水库总供水量为千吨，居民最大需求量不变仍为千吨，居民最大需求量可满足，则收入为元，支出分为其他管理费用和引水管理费，其他管理费用都是450元/千吨，则其他管理费用为元，所以只考虑引水管理费。再设总引水管理费为元，并以水库的供水量及小区的需水量为约束条件，建立数学模型。

5.2.2供水量增加一倍，所获利润最大模型求解
取，

利用软件Lingo11.0，对利润最大模型进行求解（程序及结果截图见附录三，四）得

5.2.3供水量增加一倍，所获利润最大模型分析
由所求结果可知：供水获得的利润为元。最终获得的最大利润为元。具体方案为：水库给甲，丙，丁居民区不供应水，给乙居民区供应水；水库给甲、丙两个居民区不供应水，给乙居民区分别供应水，给丁居民区供应水；水库给甲，丙两个居民区分别供应水，不给乙，丁两个居民区供应水。在此方案下，资源得到合理运用。公司改变方案前后利润可增加到元。
6模型评价
本文解决了利润最大问题。在解决过程中，我们利用了线性规划的方法建立了利润最大模型.使用数学规划的方法来解决，不仅便于理解，而且易于操作。
附录一获利最大模型程序截图

附录二获利最大模型求解结果截图

附录三供水量增加一倍，所获利润最大模型程序截图

附录四供水量增加一倍，所获利润最大模型求解结果截图

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