用小波检测突变点.doc

小波分析简介及其应用

一． 小波分析介绍

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，理论深刻，应用十分广泛。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二
维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、
识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递
中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺
度边缘检测等。
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

二． 小波变换在信号特征检测中的应用

1． 突变性检测
通常情况下，信号的奇异性可分为两种情况：一种是信号在某一时刻，其幅值发生突变，引起信号的不连续性，信号的突变处是第一种类的间断点；另一种是信号外观上很光滑，其幅值没有突变，但是在信号的一阶微分上有突变发生，且一阶微分不是连续的，称此为第二种类型的间断点。

（1） 检测第一类间断点

利用小波分析检测一个含突变的信号，确定其突变的位置

图1 突变信号波形

图2 6层db5小波分解细节信号

生成的突变信号如图1所示，信号的不连续性是由于在低频特征的正弦信号的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号。应用db5小波进行6层分解来检测第一类型间断点，得到的细节信号如图2所示。可以看出，在细节信号部分能清晰地显示出了间断点的准确位置。在该信号的小波分解中，第一层和第二层细节信号中（d1和d2）对信号的不连续性显示得相当明显，因为该信号的断裂部分包含的是高频部分。如果只需识别出信号的间断点，那么用db1小波比用db5小波的效果要好。

（2） 检测第二类间断点

利用小波分析检测出某一给定信号的第二类间断点准确位置

图3 第2类突变信号的波形

图4 5层db2小波分解细节信号

生成的第2类突变信号波形如图3所示，它是一条光滑的直线，但是它的一阶微分有突变。利用db2小波对信号进行5层分解，得到的细节信号如图4所示。可以看出，细节信号能明显将该信号的第二种类型间断点显现出来了，间断点位置在t=500处；而且逼近信号a1很好的重构了原始的信号。在此，应特别注意，检测信号的第二种类型间断点时，所用分析小波的正则性是非常重要的，如果选择了不具有正则性的小波进行分析，将检测不出来第二种类型间断点。

MATLAB程序

%调入含突变点的信号
load freqbrk;
x=freqbrk;
N=length(x);
t=1:N;
figure(1);
plot(t,x,'LineWidth',2);
xlabel('时间 t/s');ylabel('幅值 A');
%一维小波分解
[c,l]=wavedec(x,6,'db5');
%重构第6层逼近系数
a6=wrcoef('a',c,l,'db5',6);
%重构第1—6层细节系数
d6=wrcoef('d',c,l,'db5',6);
d5=wrcoef('d',c,l,'db5',5);
d4=wrcoef('d',c,l,'db5',4);
d3=wrcoef('d',c,l,'db5',3);
d2=wrcoef('d',c,l,'db5',2);
d1=wrcoef('d',c,l,'db5',1);
%显示重构系数和细节系数
figure(2)
subplot(7,1,1);plot(d6,'LineWidth',2);ylabel('d6');
subplot(7,1,2);plot(d5,'LineWidth',2);ylabel('d5');
subplot(7,1,3);plot(d4,'LineWidth',2);ylabel('d4');
subplot(7,1,4);plot(d3,'LineWidth',2);ylabel('d3');
subplot(7,1,5);plot(d2,'LineWidth',2);ylabel('d2');
subplot(7,1,6);plot(d1,'LineWidth',2);ylabel('d1');
subplot(7,1,7);plot(a6,'LineWidth',2);ylabel('a6');
xlabel('时间 t/s');

%调入含突变点的信号
load nearbrk;
x=nearbrk;
N=length(x);
t=1:N;
figure(1);
plot(t,x,'LineWidth',2);
xlabel('时间 t/s');ylabel('幅值 A');
%一维小波分解
[c,l]=wavedec(x,5,'db2');
%重构第5层逼近系数
a5=wrcoef('a',c,l,'db2',5);
%重构第1—5层细节系数
d5=wrcoef('d',c,l,'db2',5);
d4=wrcoef('d',c,l,'db2',4);
d3=wrcoef('d',c,l,'db2',3);
d2=wrcoef('d',c,l,'db2',2);
d1=wrcoef('d',c,l,'db2',1);
%显示重构系数和细节系数
figure(2)
subplot(6,1,1);plot(d5,'LineWidth',2);ylabel('d5');
subplot(6,1,2);plot(d4,'LineWidth',2);ylabel('d4');
subplot(6,1,3);plot(d3,'LineWidth',2);ylabel('d3');
subplot(6,1,4);plot(d2,'LineWidth',2);ylabel('d2');
subplot(6,1,5);plot(d1,'LineWidth',2);ylabel('d1');
subplot(6,1,6);plot(a5,'LineWidth',2);ylabel('a5');
xlabel('时间 t/s');
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