1、第六章 习题解答与问题
一、习题解答
1．用最小二乘法求解超定方程组
解：超定方程组的矩阵形式为
将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组
解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。
2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：
时间t
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离S
0
10
30
50
80
110
在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。
解：设物体运动的初速度和加速度分别为v0和
2、a，初始时刻距离为0，则距离函数为
用后5个点的数据作曲线拟合
t
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
S
10
30
50
80
110
可得，v0 = 10.6576，a = 4.6269
3．用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使与下列数据相拟合
x
1
2
3
4
y
60
30
20
15
解：令 z = ln y，则 z = ln A + Bx。数据变换如下
x
1
2
3
4
z = ln y
4.0943
3.4012
2.9957
2.7081
由最小二乘法作线性拟合得，ln A = 4.4
3、409，B = -0.4564。所以 A =84.8528。故，所求经难公式为 = 84.25 e – 0.4564 x 。
4 已知实验观测数据(xi，yi) ( i = 1，2，…，m)。令
，
取拟合函数为
试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数 a0，a1 （推导出计算公式）。
解：记
显然，是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y坐标值，得超定方程组
将方程组两端同乘以矩阵，得正规方程组
记，由于系数矩阵中两个非对角元素为
所以
，
5．对某个物体的长度测量n次后，得n个近似值 x1
4、x2，……xm，通常取平均值作为所求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。
解：利用最小二乘原理，设物体的长度为x，记
dk = x – xk ( k = 1，2，……，m)
则残差平方和为
为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S’(x) = 0，得
由此得
6．求 f(x) = ex 在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。
解：利用勒让德多项式作基函数，即 P(x) = a0 p0(x) + a1 p1(x) + a2 p2(x) + a3 p3(x)，其中
p0(x) = 1，p1(x) = x，
，
利用正交性，得系数为
( n = 0，1，
5、2，3)
而
1.1752，1.1036，
0.3578，0.0705
所以，
P(x) = 1.1752 + 1.1036 x+ 0.3578+0.0705
=0.9963+0.9978 x + 0.5367 x2 + 0.1762 x3
7．在著名的高次插值的龙格反例中，在区间[–5，5]上的10次拉格朗日插值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导11次切比雪夫多项式零点所对应[–5，5]的上的插值结点。
解：由11次切比雪夫多项式零点，得
( k = 0，1，2，……，10)
二、例题
1．已知实验数据如下：
X
6、
1
2
3
4
Y
10
30
50
80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2
2．利用数据表
t
–2
–1
0
1
2
y
yk-2
yk-1
yk
yk+1
yk+2
构造五点二次拟合函数P(t) = a0 + a1t + a2t2时，需求超定方程组的最小二乘解，试列出超定方程组并导出对应的正规方程组（不用求解正规方程组）。
解：超定方程组为：，
正规方程组为：
其中， b1 = yk-2 + yk-1 + yk + yk+1 + yk+2，
b2 = -2yk-2 – yk-1 – yk+1 +2yk+
7、2，
b3 = 4yk-2 + yk-1 + yk+1 + 4yk+2
3．求区间[ – 1，1 ]上的二次正交多项式
4．正交化过程
5．
练习题
1． 设B点是线段AC上的一点，记AB长为x1，BC长为x2，经测量得数据如下：
AB=15.5，BC=6.1，AC=20.9
试用最小二乘原理计算出 x1，x2的长度。
2．求a，b使最小。
3．利用数据表
t
–2
–1
0
1
2
y
yk-2
yk-1
yk
yk+1
yk+2
构造五点线性拟合函数P(t) = a0 + a1t 时，需求超定方程组的最小二乘解，试列出超定方程组并导出对应的正规方程组。求常数项系数a0。
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