直线的点斜式方程 刘文光.doc

延川中学 北师大版必修数学2教学设计 刘文光

NO: 年级：高一 学科：数学 第2周 第 课时
备注
直线的点斜式方程
三维目标：
1.知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用
范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2.过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨， 得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.
3.情感态度与价值观
  通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，
进 一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.

重点与难点: 
重点：直线的点斜式方程和斜截式 方程.
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
教学方法：
启发、引导、讨论
教学过程
一、复习引入
★在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.

二、新课讲授
★直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.

备注

学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，
，
即y – y0 = k (x – x0) （1）
老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.

★（1）过点P0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？
学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form).
使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.
★直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.

★（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？
（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？
教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.
备注

进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.

★直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.
x
y
6
4
2
1
–1
–2
0
P0
P1

解析：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得
y – 3 = x + 2
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1 的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直 线即为所求，如右图
学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：
（1）一个定点；
（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.
深化概念
备注
★已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程.
学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2）
再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.

引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.
★ 观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？
直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？
使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
方法探究
★你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？
体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

★ 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：
（1）l1∥l2的条件是什么？
（2）l1⊥l2的条件是什么？

引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论.
思考（1）l1∥l2时教师，k1，k2；b1，b2有何关系？
（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 –1.
解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .
于是我们得到，对于直线
l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2
l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1.
范例选讲
例1 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.
（1）经过点； （2）在y轴上的截距是–5.
备注
【解析】∵直线的斜率，
∴其倾斜角=120°
由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.
（1）∵所求直线经过点，斜率为，
∴所求直线方程是，即.
（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5，
∴所求直线的方程为， 即
【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.
（2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指 直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.

例2 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.
【解析】设直线l的斜率为k，
∵直线l过点(–2，3)，
∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得.
∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k + 3).
∵AB的中点为(–2，3)
备注
∴
∴直线l的方程为，即直线l的方程为
3x – 2y +12 = 0.

课堂训练

课堂小结
教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范 围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.

板书设计：
直线的点斜式方程
1．直线方程的点斜式         3 . 例1……    
2. 直线方程的斜截式           4 . 例2……  

教后记：

学后记：
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