声学波导管.doc

声学波导管

食不厌精 脍不厌细
1、恒定截面波导内的声传播
1.1、矩形波导管

1.2 、圆柱形波导管
设有一半径为的圆柱形管，一端延伸到无限远。圆柱形管的声波方程应以柱坐标系来描述。设管的径向坐标为，极角为，管轴用来表示。直角坐标与柱坐标之间有如下关系

而柱坐标系的拉普拉斯算符可表示为
(1-2-1)
于是三维声波动方程就可变换为：
(1-2-2)
根据分离变量法，令解

将其代入（1-2-2）式可得如下三个常微分方程
(1-2-3)
其中
(1-2-4)
由于圆柱管道向无限远处延伸，对于的方程可取行波解：
(1-2-5)

对于的方程可取解为
(1-2-6)
因为的关系应该满足，所以式中一定要为正整数。
对于的方程我们作一适当变换，令,则方程就化为
. (1-2-7)
这是一个标准的解贝塞尔方程，其一般解可表示为
(1-2-8)
这里与分别代表宗量为的阶柱贝塞尔函数与柱诺伊曼函数。按照柱诺伊曼函数在零点发散的性质，式中应取,于是（1-2-8）式简化为
（1-2-9）
由此求得管中声压解为:
(1-2-10)
由运动方程可求得对应的径向速度为:
(1-2-11)
设管壁为刚性，即在处有,由此条件可得知如下关系:

按照贝塞尔函数的递推关系

可得到如下圆柱声波导的本征方程：

利用MATLAB可从这些方程解得一系列根植，部分根植列于下表

0
1.841
3.054

3.832
5.322
6.705

7.015
8.536
9.965
表 1.圆柱声波导本征值
在刚性壁条件下，应有一系列特定的数值，此特定值可用下标与两个正整数表示，我们写成.在时声压解可写成如下形式
(1-2-12)
其中
(1-2-13)
当时，圆柱管中存在非传播形式的高次模式，这些高次模式会随距离衰减，此时声压解可写成如下形式
(1-2-14)
其中
，
当波导管的声源进行极轴对称振动时，即波导管中的声压与极角无关，因此我们可以取,当时得到声压解为
(1-2-15)
其中
(1-2-16)
同理，当时声压解可表示为
（1-2-17）
其中
，
根据上表，我们可以与矩形管类似地得到圆柱形声波导管的截止频率为
(1-2-18)
如果已知声源做极轴对称的振动，则,于是可以确定
（1-2-19）
考虑有限长圆环形声波导管的情况。设圆环的内径为，外径为,长度为假设入射声源做极轴对称的振动，则柱坐标系下的声波方程为
（1-2-20）
当圆环状波导管无限长时，根据分离变量法，令解
（1-2-21）
代入（1-2-20）式可得到如下两个微分方程
（1-2-22）
如同半无限长圆柱形声波导管一样，我们可以求得：

由于我们求解的是圆环形声波导管，我们无法根据柱诺伊曼函数的零点发散性质使其系数,因此我们可以将其声压解表示为
(1-2-23)
其径向速度可表示为
(1-2-24)

设内外管壁均为刚性，即在处有,由此条件可得到如下关系

此时式（1-2-23）可简化为

其中
(1-2-24)
在考虑圆环形声波导管的长度为有限长时，由于管末端突变界面的影响，此时管中将存在沿轴负方向传播的反射波，根据以上对入射波声压的求解，我们可以类似的得到反射声波声压
(1-2-25)
由此，我们可以得到圆环形声波导管内的声压解为
(1-2-26)
轴向声速解为
(1-2-27)
根据径向声速在时为0，我们可以得到
(1-2-28)
其中表示水平波数，并且有

当时，为实数，和均不会沿着传播方向衰减，当时，取为负虚数（此处不取正虚数的原因在矩形声波导管中已经作了解释），即
(1-2-29)
此时，和均会沿着传播方向衰减。因此在圆环形声波导管中，声压是能够在管中正常传播模式和非正常传播模式的叠加。
接下来，我们考虑圆环内径的情况，此时即为有限长的圆柱形声波导管，结合半无限长圆柱形声波导管和有限长圆环形声波导管的分析，我们可以求得管中的声压解为
(1-2-30)
轴向声速解为
(1-2-31)
其中
（1-2-32）
设波导管的管壁为刚性，即径向速度在处为0，得其本征方程
（1-2-33）
其轴向波数的分析同圆环形波导管。
计算单向传播的某高次波声场的声强，
其中

下面考虑一段是振动活塞，另一端为无限长度的柱形波导管模型，在已知波导开口处活塞速度分布的情况下，求解管内的声场。
设振速是轴对称分布的，由傅里叶-贝塞尔展开，把表面声压或振速函数展成以特征函数为特征函数的级数-

由边界条件决定，应用柱贝塞尔函数的正交性求解-

换元使得
上式变为
常有以下三类边界条件
第一类，硬边界条件下，已知声压的分布函数，，此时，为数学上的诺依曼问题，。
第二类，软边界条件下，已知振速的分布函数，，此时，为数学上的狄利克雷问题，。
第三类，相当于弹性支撑下的边界条件，。此时。

1.4、波导管的T型网络类比
2、缓变截面波导内的声传播
2.1、缓变截面管内的声场解析表达式
2.2、指数型、悬链型、锥形缓变截面号筒
3、突变截面波导内的声传播
3.1、平面波假设下的常见突变截面管模型
考虑波导管是轴对称分布下的刚性壁管道，沿着轴向不同位置的垂直横截面是相似的，横截面积之时轴向的一维函数，突变截面管为分段连续函数，以在间断点处的截面分界，分别分析和联系，对传播特性进行研究。

3.1.1、模型一

图一

隔声量采用收缩式截面管，，突变的截面相当于介质特性阻抗的突变，起到反射作用。
3.1.2、模型二

图二
由边界上的声压连续和体积速度连续

无论扩张式亦或收缩式，其相当于中间插入过度介质。
此时

这种结构可以实现对声波的全投射却无法实现全阻隔。
在中间管道中的声场

可见在突变截面下，驻波项和行波项是永恒存在的，而当时，没有了反射，驻波项消失，投射系数为1。
考虑这种波导隔声量的Q值，使得

在的前提下，提高该比例，会使得带宽加大，同时隔声量减小，改善消声带宽和提高消声量是一对矛盾。

图三
3.1.3、模型三

图四

和模型二相反，越大，共振空气柱储能越多，消声量提高，消声带宽减小，显然其对消声量和带宽的影响与模型二相反，考虑将二者综合来讨论消声情况。

3.1.4、模型四

图六

图七
二者都是在插管长度为四分之一波长的奇数倍对应的频率处达到最大的消声量，显然通过有限个插管B的组合是不能够完成对模型三所有的谷点进行补偿的。但是可以通过应用有限个插管，来对低于某个频率的传播损失曲线进行一个均衡。
3.2、考虑高次模式下的突变截面管内的声传播
3.2.1、 高次模式简正波声压系数的确定
为确定高次波的系数，需要联立声压连续和体积速度连续的方程和方程组，根据1中有关高次模式下声场的解，可以看到当声波频率小于某号简正波的截止频率时，该号简正波不再有行波特性，而呈现随距离的衰减特性，而且可以看到，简正波号序号数越大，衰减系数越大，该号简正波对声场的影响越小。故实际操作中可以取有限号简正波来近似对声场进行描述，显然，取得总的号数越多，与实际声场越逼近。通过柱贝塞尔函数的正交归一性，得到系数矩阵，用高斯消元法求解系数矩阵，通过编程进行实现。
针对柱贝塞尔函数的正交归一性，做出以下的归纳和证明，设是任意可能的柱贝塞尔函数，如或（又记为），那么有

证明如下：

当时，对上式取极限，

和可以是不同类型的柱贝塞尔函数，如-

根据此正交性公式，并利用边界条件，可以列出系数方程组。
3.2.2、考虑高次模式下常见突变截面管模型的消声量随频率的变化
3.2.2.1、考虑模型二，以最常见的收缩式突变截面管模型为例。
各部分的声压和振动速度的表达式为：

利用截面上的声压和体积速度连续-

其中

利用柱贝塞尔函数的正交性，上式可展成：

共有4×5=20个位置数，每个方程可列出5个等式，有20个等式，设20×20的矩阵A，每个方程占5行，第一个方程1-5行，第二个方程6-10行...对应每个方程的每一行代表s为1-5，每个系数占5列，A占据1-5列，占据6-10列...对应的每个系数每一列代表不同n.X为20×1矩阵，从上到下代表。AX=b.A是稀疏矩阵，用LU分解的方法求解方程组，得到更精确的解。

可见，在频率小于半径最大的圆柱管（即A管和C管）的（0,1）号简正波的截止频率（）之前，主要是波导内除了平面波外主要是非传播的高次模式在起作用，而且随着频率接近，峰值向左偏移量越大，峰值的高度也有所增加。在频率大于时，可传播的行波模式的高次波开始起作用，平面波下的吸声量周期规律不复存在，出现的吸声峰的“破碎”。
可以得到以下结论，在可传播高次波出现之前，根据峰值处，
可以计算重复的峰的个数约为为，约为，由此可知当时，这种重复的峰会不再出现。如下图所示。

考虑方矩形波导，计算模型二传播损失随声波频率的关系。
管壁仍为刚性,依次列写的声压和速度的表达式与上式一致，此处

由声压和体积速度连续-

3.2.2.2、在考虑高次模式下重新计算模型四-
列出各部分的声压和振速-

根据声压和体积速度连续条件-
根据B管的刚性边界条件，得。

3.2.2.3、模型四的异构体
将模型四的B管进行改进，从内嵌型和后置型两种异构体模型上对吸声效果进行比较。
内嵌型

各部分的声压和振速：
根据刚性边界条件的得到系数B的关系。
利用声压和体积速度连续

内嵌型（inlet）和外置型（outlet)波导管相比，内置型的作用了两次，即起到了共振腔的作用，又起到了突变截面管的作用，所以，引起的共振峰和外置型的相比更加尖锐。
后置型

根据B管的刚性边界条件，。

与前置性内插管的消声规律相比较，该模型相当于把前者颠倒，输入作输出，输出作输入。二者的在低频消声峰值基本相同，但图像有很大差别。这是由于此波导具有非互易性的特点造成的。

波导内的声信号
相速度、群速度
频散现象
有关声学波导的声学计量和实验方法
四传声器法测量隔声模型的传输损失
3.3.1 四传声器法的原理
四传声器法的原理图如图13所示，信号发生器发出信号，经扬声器变为声波进入声源管后产生平面波。隔声构件置于声源管和接收管之间，构件的前方为入射波部分，构件的后方为透射波部分。图中分别代表声源管中向右和向左传播的平面波，分别代表接收管中向右和向左传播的平面波。用 表示测试构件前后两个面的声压透射系数,用 表示测试构件前后两个面的声压反射系数。分别表示四个传声器的位置坐标。

图表 1 四传声器法原理图
由于样品表面的反射 ,入射部分形成驻波场 ,采用驻波分离方法 ,即用两个传声器把入射波与反射波分开. 在接收管部分也采用双传声器把正向透射波与末端的反射波分开 ,便组成了四传声器测试方法。此时如果忽略掉接收管中透过构件对的影响，忽略掉在构件后表面发生反射时对的影响，即理想状态为为零（吸声材料使不存在回波）。根据管内平面波传播公式,
4个传声器位置处的声压可分别表示为

（3-3-1）
进而可以求得

根据声压透射系数的计算公式可以得到

进而可以得到传输损失为

在上述的分析中，我们认为吸声材料的反射系数为0，而实际上吸声材料是存在声反射的。也就是说，接收管中向右传播的波不仅包括入射波中透过材料的那部分声能 , 还包括末端反射再经材料反射的二次反射波 , 将隔声管中向右传播的波作为透射波会引起计算偏差. 此时我们可以采用改进的四传声器法来消除尾端影响吸声材料效果不好的影响。
在考虑构件前后表面的发射和透射现象后，隔声管中可表示为经过样品正向透射与经过样品反向反射的和.可表示为经过样品正向反射与 经过样品反向透射的和。由此，我们可以写出管内平面波关系矩阵
（3-3-2）
其中为构件正想透射系数，是我们欲求的物理量。
通过（3-3-1）我们可以求得四个平面波的声压值为

这样通过测量4个传声器的声压值 ,求出4个平面波声压值,即可带入式 (3-3-2)进行计算。在式3-3-2)中,被求矩阵有4 个未知数，而进行1次测量只能确定2个方程 ,故需测量2次得到4个方程才能求解.2次测量分别用下标和 表示 ,如表示第1次测得的隔声管中右向传播的声压值。则为
（3-2-3）

如果方程（3-2-2）中分母在不同的数值变得比减数的绝对值更小，那么这个方程的解是不稳定的。显然，两次测试的边界条件变化明显有利于计算。一种有效的方法是改变隔声管末端的吸声系数，即一次测试打开末端使隔声管中的声波近似于行波，二次测试为吸声系数较高的吸声末端。这样就可以消除吸声材料性能不足带来的误差。
考虑到传声器的性能，不同传声器的幅值灵敏度和相位灵敏度可能都会存在差异，并且传声器的相位灵敏度并不便于测量。因此，我们寻找了一种利用数学处理消除不同传声器之间相位灵敏度差异的方法。这种方法只需要传声器3对传声器1的幅值灵敏度比，但是需要在传声器按照1，2，3，4号顺序排放测量完毕后，将1，2号传声器和3，4号传声器交换位置做再次测量。此时我们可以写出第一次测量时管道中的声压解
（3-2-4）
其中分别表示正向波和反向波的复数幅值。
将传声器1，2和传声器3，4位置交换后，我们得到第二次测量时管道中的声压解
（3-2-5）

根据（3-2-4）和（3-2-5）式，我们可以用两次测量得到的声压来表示以及他们之间的关系
（3-2-6）
其中分别表示。
将（3-2-6）式代入（3-2-4）式，可分别得到为
（3-2-7）
此时，利用便可以得到

其中表示。根据传输损失的计算公式可以得到
（3-2-8）

至此，我们一共提出了三种利用四传声器测量传输损失的方法，在具体的实验过程中，我们会根据设备的实际情况来选取数据处理方法。
3.3.2 实验模型传输损失测量
在实际的模型传输损失测量实验时，我们各加工了图1和图3中的模型。模型的具体参数为。在极轴对称声源情况下，模型的截止频率为2997Hz。按照之前的分析，此时的峰值恰好可以消除其谷点的存在,如图11。模型材料为有机玻璃，管的厚度为,管的厚度是。由于模型的加工存在一定的误差，实际得到的模型的,管的厚度为，长度为，管长度为。
这对理论计算结果的影响，如图 11.
我们首先对吸声材料的声压反射系数利用传递函数的方法进行了测试。实验原理图如下：

吸声材料

图表 2 测试原理图
设传声器1，2的位置坐标分别为，当入射波的频率低于管道的截止频率时，我们认为管道内传播的是平面波。那么传声器1，2接收到的声压可以分别表示为
其中分别表示入射波和反射波在处的幅值，并且存在，是末端吸声材料的声压反射系数。由此，我们可以得到

整理后可以求得
（3-3-2-1）
进而可以得到吸声棉的吸声系数

如果考虑到传声器之间的灵敏度差异（包括相位和幅值），我们可以利用交换传声器位置，做两次测量的方法加以纠正。此时，可以将传声器两次接收到的声压表示为

其中分别表示传声器1，2前后两次测得的声压。此时我们取，用替换（3-3-2-1）式中的，这样就可以消除传声器之间的灵敏度差异。另外利用可以求得传声器2对传声器1的幅值、相位灵敏度。

图 15 吸声棉的声压反射系数 图 16 吸声棉的吸声系数

图 17 传声器1，2相位灵敏度差 图 18 传声器1，2幅值灵敏度比

在完成对吸声材料吸声效果的测定和传声器灵敏度的校准后，由图17、18可以看出，传声器灵敏度随频率的变化情况较大。我们选取了300Hz-2950Hz的频率段进行测量，并方法一、三对实验数据进行了处理。

图 19 隔声模型传输损失测量原理图

实验数据采集的过程中，我们选用了SKC的传声器和TopView2000采集系统，采样频率为100K，采样长度为50*1024点。我们将传声器编号为1、2、3、4，按照1、2、3、4的顺序将四个传声器从左向右摆放，并将采集到的数据记为：数据1234_1；然后再按照2、1、4、3的顺序摆放传声器，将采集到的数据记为：数据2143_1。

图 20 方法1数据1234_1 图 21 方法1数据2143_1
图 22 方法1 两组数据平均 图 23 方法2
在此基础上，我们进行了第二组的测量，即将传声器1、2、3、4依序从左到右摆放，记测量数据为：数据1234_2；然后交换传声器顺序，记录数据为：数据2143_2。对采集到的数据利用方法一和方法三分别进行处理。

图 24 方法1数据1234_2 图 25 方法1数据2143_2

图 26 方法1 两组数据平均 图 27 方法2
通过上图可以看出，实验数据在相对较低的频率段与理论计算结果符合较好，但在高频段存在一定的偏差。这主要是因为管道在极轴对称声源下的截止频率为2997Hz，在非对称声源下的截止频率为，即1439Hz。当入射声波频率大于管道的截止频率时，管道中便会存在能够正常传播的高次模式，这与四传声器法原理中管道内传播的是平面波的假设不符。在实际的实验中，如果扬声器的摆放存在偏差，便会出现上述情况，使实验数据存在误差。另外，利用方法1处理得到的结果相对方法3处理得到的结果较好，这主要是因为方法3对噪声敏感。在噪声环境下，第一测量得到的声压应表示如下

交换顺序后测量得到的声压与前一次测量得到的声压中噪声不同

在这种情况下，求解得到的声压反射系数和声压透射系数均存在较大误差。