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轴对称与轴对称图形
一、知识点：
1． 什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2． 什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
l
A
B
4．线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）
5．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：
例1：判断题：
① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ）
②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （ ）
③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ）
④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （ ）
例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.

例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：
方法1 方法2 方法3

例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
l
B
A
C
l
B
A
C
l
B
A
C

C
A
D
B
例5：如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。

例6：如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白球F？

例7：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？
·
·
A
B
a

例8：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
·
P
B
O
A

线段、角的轴对称性
l
A
B
M
一、知识点：
1．线段的轴对称性：
① 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
2．角的轴对称性：
①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
二、举例：
例1：已知ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知BEC的周长是16。求ABC的周长.

·
C
B
O
A
·
D
例2：如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、OB的距离相等。

l
·
·
A
B
例3：如图，已知直线及其两侧两点A、B。
（1） 在直线上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线上求一点Q，使平分∠AQB。

例4：如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处如何选？

O
D
C
B
A
E
例5：已知：如图，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？

O
D
C
B
A
1
2
3
4
例6：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。

例7：已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF=BC，试说明∠FCB=∠B

例8：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF。

试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

2、已知：在ΔABC中，D是BC上一点，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。试判断线段AD与EF有何关系?并说明理由。

3、如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。试说明BD垂直平分AE

等腰三角形的轴对称性
一、知识点：
3． 等腰三角形的性质：
①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；
②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)
4． 等腰三角形的判定：
①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
3．等边三角形：
① 等边三角形的定义：
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
② 等边三角形的性质：
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
等边三角形的每个角都等于600。
③等边三角形的判定：
3个角相等的三角形是等边三角形；
有两个角等于600的三角形是等边三角形；
有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
4．三角形的分类：
斜三角形：三边都不相等的三角形。
三角形 只有两边相等的三角形。
等腰三角形
等边三角形

二、举例：
例1、如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，试说明BD=CE的理由?
A
B
C
E
D

例2：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点。①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系？并说明理由。
A
E
D
B
C
O

O
D
C
B
A
1
2
3
4
例3：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。

E
D
C
B
A
例4：如图，已知：△ABC中，∠C=900，D、E是AB边上的两点，且AD=AC，BD=BC。
求∠DCE的度数。

G
F
E
D
C
B
A
·
·
例5：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点。试探索FG与DE的关系。

A
F
E
D
B
C
M
例6：如图，已知：△ABC中，∠C=900，AC=BC，M是AB的中点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。试判断△MEF的形状？并说明理由。

E
D
C
B
A
例7：如图，已知：△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，试说明CE=DE。

A
F
C
E
B
D
M
P
例8：如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你的猜想．

等腰梯形的轴对称性
一、知识点：
5． 等腰梯形的定义：
①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。
梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。
A
D
C
B
②等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6． 等腰梯形的性质：
①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两底角相等。
③等腰梯形的对角线相等。
3．等腰梯形的判定：
③ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
④ 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、举例：
例1：填空：
1、等腰梯形的腰长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为 cm．
2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ，那么此梯形的四个内角的度数分别为 ．
3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是______；
4、已知等腰梯形的一个底角等于600，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为_______；
A
D
C
B
5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝120°，对角线BD平分∠ABC，则
∠BDC的度数是 ；又若AD＝5，则BC＝ ．
6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD，BD = BC，
则∠C= 0。

例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：AO＝DO．

例3：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。试说明：梯形ABCD是等腰梯形。

A
D
B
C
E
例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E为CD的中点，四边形ABED的周长比△BCE的周长大2 cm，试求AB的长．

例5：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M为BC中点，则：
(1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗?请说出你的理由。
(2)若连结AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗?为什么?
(3)又若N为AD的中点，那么MN⊥AD一定成立．你能说明为什么吗?
A
D
B
C
E
F
M

A
D
E
F
C
B
例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与BC的延长线交于F．
(1)判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(2)判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(3)上述结论对一般梯形是否成立?为什么?

A
D
E
C
B
例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC＝AB．则：
(1)AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗?为什么?
(2)AE⊥BE吗?为什么?

A
P
D
Q
B
C
例8：在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm ，AD＝18cm ，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？

中心对称与中心对称图形
一、知识点：
1、图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。
②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分。
3、中心对称图形：
把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
4、中心对称与中心对称图形之间的关系：
区别：（1）中心对称是指两个图形的关系中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .
5、对比轴对称图形与中心对称图形：
轴对称图形
中心对称图形
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
沿对称轴对折
绕对称中心旋转180O
对折后与原图形重合
旋转后与原图形重合
二、举例：
例1：如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.
·

例2：画出将ΔABC绕点O按顺时针方向旋转120°后的对应三角形。
·O

C

B

A

P′
P
C
B
A
例3：如图，已知ΔABC是直角三角形，BC为斜边。若AP=3，将ΔABP绕点A逆时针旋转后，能与ΔACP′重合，求PP′的长。

例4：如图AC＝BD，∠A＝∠B，点E、F在AB上，且DE∥CF，试说明此图是中心对称图形的理由。

例5：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

例6：如图，直线l1⊥l2，垂足为O，点A1与点A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称。点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？

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