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椭圆及其性质
1.方程表示椭圆>0，>0，且≠；是，中之较大者，焦点的位置也取决于，的大小。
[举例] 椭圆的离心率为，则=
解析：方程中4和哪个大哪个就是，因此要讨论；（ⅰ）若0<<4,则，∴，∴==，得=3；（ⅱ）>4,则，∴，∴==，得=；综上：=3或=。
[巩固]若方程：x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是
A　1个　　　　B .2个　　　C.4个　　　D.无数个
2．椭圆关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，
a-c≤|PF|≤a+c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2，通经是过焦点最短的弦。
[举例1] 已知椭圆（>0,>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
解析：|AB|2=2+2，|BF|=，|FA|=+，在Rt⊿ABF中，(+)2=2+2+2
化简得： 2+-2=0，等式两边同除以2得：，解得：=。
注：关于,，的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2] 已知椭圆（>0,>0）的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为=，则原来椭圆的方程是 。
解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线=为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为，∴原来椭圆的焦准距也为，于是有：= ①，
= ②，由①②解得：=5，=3。
[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。
[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
[迁移]椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…Pn，椭圆的右焦点F，数列{| PnF|}
是公差大于的等差数列，则n的最大值为 （ ）
A．198 B．199 C．200 D．201
3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。
[举例1]已知⊙Q：(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：
。
解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：
|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。
[举例2] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=5，则P点的轨迹是：
A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以，于是有：
=，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，
只需将方程再变形为：，即动点P（x,y）到定点A（1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为，∴其轨迹为椭圆。
[巩固1] 已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 .
[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，=(x,y+2),=(x,y-2),且||+||=8，则点
M(x,y)的轨迹方程为 。
[提高]已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。
[迁移] P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（-10）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 。
4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。
[举例1] 如图把椭圆的长轴AB分成8分，过
每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……
七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．
解析：P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，P4在y轴上，
记椭圆的另一个焦点为F/，则|P7F|=|P1F/|，|P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，
于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35.
[举例2] 已知A、B是椭圆上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果 AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 .
解析： ==，
记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=，而e=
∴|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a，又|MM1|=，得a=1，故椭圆方程为。
[巩固1] 椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。
[巩固2]已知F1、F2是椭圆的左右焦点，点是此椭圆上的一个动点，为一个定点，则的最大值为 ，的最小值为 。
[提高] 过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____
5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。
[举例]已知焦点在轴上的椭圆F1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则的取值范围是 。
解析：思路一：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2。记∠F1PF2=,
|PF1|=r1, |PF2|r2,cos===
又≤()2=,∴cos≥=cos∠F1BF2,当且仅当r1=r2时等号成立，
即∠F1PF2≤∠F1BF2。题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即
cos∠F1BO≤b≤a=,∴b∈(0, .思路二：用勾股定理：r1+r2=2a ①
r12+r22=4c2 ②,由①②得：2r1r2=4b2,又2r1r2≤r12+r22 ∴b2≤c2=4-b2 即b∈(0, .
思路三：用向量的坐标运算：记P(x0,y0),=(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),
=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0≤x02≤4，∴0≤4(c2-b2)≤4(b2+4)
即0≤4-2b2≤b2+4，得b∈(0, .
[巩固1]椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。
[巩固2]已知P是椭圆上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C． D．4
6．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。
[举例]若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．2
解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos,y=bsin, =4cos2+
2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-)2+, sin∈[-1,1]
若0<≤101b>4,则当sin=1时f()取得最大值2，故选A
[巩固]椭圆上的点到直线2x-y+3=0距离的最大值是_____________。

答 案
1．[巩固]B， 2、[巩固1]，[巩固2]B，[迁移]C， 3、[巩固1] ，[巩固2] ，[提高] ，[迁移] ，
4、[巩固1] e=-1，[巩固2]6+，，[提高]；5、[巩固1]，[巩固2] B； 6、[巩固]