内蒙古包头一中2013届高三下学期第三次模拟考试数学(理) [来源：学优高考网852480].doc

包头一中2012～2013学年度第三次模拟考试
高三年级数学（理科）试题
命题人 ： 田玉清 审题人：高三数学备课组
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题纸相应的位置）

2. 已知函数,则在[0，2]上的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4

4．设实数x，y满足不等式组，则的最小值是
A． B．-2 C．1 D．

5.已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的
外接球的半径为
A．3 B．6 C．36 D．9

6.设复数（i是虚数单位），=
A.i B. -i C. -1 +i D.1+i

7. 在△ABC中，若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，则角C为

A.30°或150° B. 30° C. 150° D. 60°

8．设是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若在双曲线左支上存在点P，使（O为坐标原点）且，则的值为
（A） （B）4
（C） （D）
9．如右图所示，输出的为
A. B. C. D.

10．如上图，已知函数与轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2+y2=2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是

A． B． C． D．

11．某班要从A,B,C,D,E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A,B,C三人都不再连任原职务的方法种数为
(A)30 (B)32 (C)36 (D)48
12．设集合，函数且 则的取值范围是
A．() B．() C．() D．[0，]

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置的横线上）
13．经调查某地若干户家庭的年收入 (万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：=0．254+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加 万元．

14.点P（4，－2）与圆上任一点所连线段的中点的轨迹方程是 ．

15.已知数列中，（）．设（），数列的前项和为，则为 _____ ．

16.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算=____________.

三.解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知函数其中，
（Ⅰ）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离
等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象

左平移个单位所对应的函数是偶函数.

18．（本小题满分12分） 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65）,[65,70）,[70,75）, [75,80）,[80,85）, [85,90）后得到如下图的频率分布直方图．问：
（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
（3）若从车速在[60,70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在 [65,70）的车辆数X的分布列及其均值（即数学期望）．

19．（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在
的平面互相垂直．∥，， ，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20．(本小题满分12分)
已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为．
(I)求椭圆C1的方程；
(Ⅱ)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，
记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．

21.（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求实数的最小值；

考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.

22. (本小题满分10分）选修4一 1:几何证明选讲
如图，AB是的弦，C、F是上的点，OC垂直于弦AB，过点F作的切线，交AB的延长线于D，连结CF交AB于点E.
(1) 求证：；
(2) 若BE = 1，DE = 2AE,求 DF 的长.

23.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求|AB|的最小值.

24.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设.
（1）求不等式的解集S；
(2 )若关于x不等式有解，求参数t的取值范围.

校三模参考答案
一.选择题：1-5 DBCAA 6-10 CBADB 11-12 BA
二． 填空题： 13.0.254． 14. 15. 16．2012
三．17解（I）由得 2分
即又 4分
（Ⅱ）由（I）得， 依题意，
又故 6分
函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为
8分
是偶函数当且仅当
即 10分
从而，最小正实数 12分
18.解:（1）系统抽样 (2分)
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 (4分)
设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为： 解得
即中位数的估计值为77.5 (6分)

19解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以 2分
因为四边形为直角梯形，
，，
所以四边形为正方形，所以． 4分
所以平面．
所以 ． 6分
（2）因为平面平面，且 ，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为 12分
20.解：（Ⅰ）由题意，得，椭圆的方程为 .…4分
（Ⅱ）设，由 ，抛物线在点处的切线的斜率为 ,
所以的方程为 ,……………5分
代入椭圆方程得 ,
化简得
又与椭圆有两个交点，故 ①
设，中点横坐标为，则
, …………………8分
设线段的中点横坐标为,
由已知得即 ， ②………………10分
显然, ③
当时，，当且仅当时取得等号，此时不符合①式，故舍去；
当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。
综上，的最小值为1.………………12分
21.解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① --------------1分 ，∴② --------------2分
①②联立，解得∴ --------------4分
（Ⅱ），∴在上恒成立；
即在恒成立； -------------5分
设，，∴只需证对于任意的有
设，-----------7分
1）当，即时，，∴
在单调递增，∴ --------------8分
2）当，即时，设是方程的两根且
由，可知，
分析题意可知当时对任意有；∴，∴ --------------10分
综上分析，实数的最小值为. ---------12分

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