旁切圆及应用.doc

旁切圆
每个三角形都有3个旁切圆，各与三角形其中一边和另外两边的延线相切。
而它们的圆心称为旁心，旁心是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心，一般记为J。
在三线性坐标系中，旁心分别是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。其半径分别是2S / ( − a + b + c)、2S / (a − b + c)和2S / (a + b − c)，其中S表示三角形面积,a,b,c,表示3条边。
旁切圆与三角形相切的点，和三角形相对的顶点连起，三线交于一点，称为奈格尔点。
性质
三角形关于顶点A、B、C的旁切圆的半径分别是、和，其中表示三角形面积，a、b、c分别是A、B、C的对边。
旁切圆和内切圆有密切的联系。它们都与九点圆相切，切点称为费尔巴哈点。三个旁心与内心组成一个垂心组，也就是说内心是三个旁心所组成的三角形的垂心，而相应的三个垂足则是旁心所对的顶点。
在右图中，I、B、C、JA四点共圆，其中IJA是这个圆的直径，而圆心PA在三角形ABC的外接圆上，并且过BC的中垂线，即等分劣弧BC。对其它两边也有同样的结果。
对于一个顶点（比如A）所对的旁切圆，三角形ABC的外接圆半径R、A所对旁切圆半径rA以及内外心间距OJA之间有如下关系：[1]:185
旁切圆与三角形的边（或其延长线）相切的点称为旁切点。从一个顶点沿着三角形的边走到与之相对的旁切圆在对边的切点所用的距离必定是周长的一半，也就是说，这个顶点和它“对面”的旁切点将三角形的周界等分为两半。将三角形的每个顶点和与之相对的旁切圆关于对边的旁切点连起，则根据塞瓦定理，三线交于一点，这个点称为奈格尔点。
内切圆在一边上的切点与旁切圆在该边的切点之间的距离恰好是另外两边的差（绝对值）。比如说，A的对边：BC上面的内切点和外切点之间的距离等于。
坐标表示
在三线性坐标系中，三个旁心的坐标分别是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。
在直角座标系中，若顶点的座标分别为、、，则三个旁心的座标为：

梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
定理的证明
首先给出完整的定理内容：
当直线交 三边所在直线 于点 时，

以及逆定理：在 三边所在直线上有三点 ，且
，那么 三点共线。
注意：以上定理严格来说应该用有向线段形式，且乘积为-1；另外， 三点中有偶数个点在线段上时，才有梅氏定理，否则为塞瓦定理.
证明一
过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

证毕
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则

BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF
两式相乘得
(AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1
证明三

连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），
BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），
CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC
）：（S△ADE+S△FEA）
=S△CDF：S△ADF………… （3）
（1）×（2）×（3）得
× × = × ×
证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：
充分性证明：
△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
又∵

∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以 共线
推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

此外，用该定理可使其容易理解和记忆：
第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
该形式的梅涅劳斯定理也很实用。
证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE
/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：
∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截，
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②*①得：(DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)×(BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1
∴(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
可用塞瓦定理证明的其他定理

①利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点:
设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cot∠BAC)/[(CD*cotABC)]*[(AE*cotABC)/(AE*cotACB)]*[(BF*cotACB)/[(BF*cotBAC)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
②三角形三条中线交于一点（重心）:
如右图：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长

  塞瓦定理证明三条中线交于一点
交AB于F
求证：AF=FB
证明：∵BD=DC，CE=EA
∴BD/DC=1，CE/EA=1
由塞瓦定理得
(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AF/FB=1∴ AF=FB ，
∴CF为AB边上的中线
∴三角形三条中线交于一点（重心
③用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

塞瓦定理推论
1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，DE，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：
(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
数学意义
使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。
记忆方法
塞瓦定理的优点多多，但是却不是特别好记，这里有一个方法分享给大家
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
相当于BD*CE*AF=DC*EA*FB
各位发现等式左右两端字母竟然是一样的！
可以如下表述，在记忆(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1时，可理解为在符合在三边线段的前提下，分母分子字母一样，且分母、分子内部有相同字母.。
另外一种记忆方式是，将图中的ABC作为顶点，图中的DEF作为分点，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是：顶点到分点（BD），该分点到另一顶点（DC），顶点再到分点（CE），分点再到顶点（EA），顶点再到分点（AF），分点再到顶点（FB）。一个循环。
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