高中数学：数学新人教版复习教案等差数列二.doc

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典例剖析

题型一 求等差数列的项

例 1. 在等差数列{ an }中，若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a3 , a9 .

解：∵ {an }是等差数列

∴ a1 + a6 = a4 + a3 =9 Þ a3 =9－ a4 =9－7=2

∴ d= a4 － a3 =7－2=5

∴ a9 = a4 +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9 =32
评析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式。而要求通项公式，必须知道这
个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项。
题型二 等差数列的通项公式

【例 2】在等差数列{ n }中，已知 a5 = 10 ， a12 = 31 ，求 a20 , an a

【解法一】 ：∵ a5 = 10 ， a12 = 31 ，则

∴ an = a1 + (n -1)d = 3n - 5
【解法二】 ：

评析：等差数列的通项公式涉及到四个量 a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组
求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式

a n = a m + (n - m)d
备选题

【例 3若 (z - x)2 - 4( x - y)( y - z) = 0 ，则 x, y, z 成等差数列。

【证明】由 (z - x)2 - 4( x - y)( y - z) = 0 得

z2 + x2 + 4 y2 + 2zx - 4xy - 4 yz = 0 ，

即 (z + x - 2 y)2 = 0 ，\ 2 y = x + z ，
\ x, y, z 成等差数列。
评析：当已知 a、b、c 成等差数列时，通常采用 2b=a+c 作为解决问题的出发点.
点击双基
1．已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则 a9+a10+a11=（ ）
A.36 B.30 C.24 D.18

解：由 a7+a13=20， 2a10 = 20, a10 = 10 ，a9+a10+a11= 3a10 = 30 ，故选 B

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2、已知等差数列{an } 中， a7 + a9 = 16, a4 = 1,则a12 的值是( )
( )
A 15 B 30 C 31 D 64

解：已知等差数列{an } 中， a7 + a9 = 16, 又a7 + a9 = 2a8 ,\ a8 = 8

又 2a8 = a4 + a12 ,\ a12 = 15 ，故选 C

3、{an}是首项 a1 =1，公差为 d =3 的等差数列，如果 an =2005，则序号 n 等于( )
A 667 B 668 C 669 D 670

解：{an}是首项 a1 =1，公差为 d =3 的等差数列，如果 an =2005，则 1+3(n－1)=2005，
故 n=669，故选 C

4.等差数列{an}中， a2与a6 的等差中项为 5 ， a3与a7 的等差中项为 7 ，则 an = 2n - 3 .

解： 2a4 = a2 + a6 = 10, a4 = 5 ， 2a5 = a3 + a7 = 14, a5 = 7 ，
5、等差数列 1，－3，－7，－11，¼的通项公式是_________

解： an = -4n + 5 ；-75
课外作业
一、选择题

1. 设等差数列{an } 中， a4 = 5, a9 = 17 ,则 a14 的值等于（C ）
A、11 B、22 C、29 D、12

解： a4 , a9 , a14 也成等差数列， a14 =29，故选 C

2.在等差数列{an}中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450，则 a2+a8 等于（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300

解：a3+a4+a5+a6+a7=450， 5a5 = 450, a5 = 90, a2+a8 2a5 = 180 ，故选 C

3. 等差数列{an}中，若 a2+a4+a9+a11=32，则 a6+a7= ( )

（A）9 （B）12 （C）15 （D）16

解：a2+a4+a9+a11=32，\ 4a1 + 22d = 32, 2a1 +11d = 16, a6 + a7 = 2a1 +11d = 16 ，
故选 D

4. 设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1 + a2 + a3 = 15 ， a1a2a3 = 80 ，
则 a11 + a12 + a13 = ( )
A．120 B．105 C． 90 D． 75

解：

ìa + a = 10 , ìa1 = 2

a1 + a2 + a3 = 15, a2 = 5 , a1a2a3 = 80, a1a3 = 16, í 1 3

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î
a1a3 = 16
í a =8,
î3

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a11 + a12 + a13 = 3a12 = 3(a1 +11d ) = 3(2 +11´ 3) = 105 ,故选 B

5. 若等差数列{an } 的公差 d ¹ 0 ，则 （ ）

（A） a2a6 > a3a5 （B） a2 a6 < a3a5

（C ） a 2 a 6 = a 3 a 5 （D） a2a6 与 a3a5 的大小不确定

解： a2a6 - a3a5 = (a1 + d )(a1 + 5d ) - (a1 + 2d )(a1 + 4d ) = -3d 2 < 0 ，故选 B
6. 首项为－24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 （ ）

A.d＞
8
3


B.d＜3


C.
8
3 £d＜3


D.
8
3 ＜d£3

ì-24 + 9d > 0 8
解： í
î-24 + 8d £ 0 ， 3 ＜d£3，故选 D

7、在等差数列 {an }中， a1 + a2 + ... + a50 = 200 , a51 + a52 + ... + a100 = 2700 ，

则 a1 为（ ）
A -22.5 B -21.5 C -20.5 D -20

解： 2700 - 200 = 50d ´ 50, d = 1, S50 =
50 (a + a ) = 200
2 1 50


，

a1 + a50 = 8, 2a1 + 49d = 8, 2a1 = -41, a1 = -20.5 ，故选 C

8、已知方程（x2－2x+m） x2－2x+n）=0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列， （
4
则|m－n|等于（ ）

A.1 B. 3 C. 1 D. 3
4 2 8
解：设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4，则 x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q

时，am+an=ap+aq.设 x1 为第一项，x2 必为第 4 项，可得数列为 1 ， 3 ， 5 ， 7 ，∴m= 7 ，

n= 15 ∴|m－n|= 1 ，故选 C
4444
16

16 2
二、填空
9.已知等差数列的第 10 项为 23，第 25 项为－22，则此数列的通项公式为 an＝

解：15d = -45, d = -3, an = a10 - 3(n -10) = -3n + 53

10. 若等差数列 {an }中， a3 + a7 - a10 = 8, a11 - a4 = 4, 则 a7 = __________.

解： a3 + a7 - a10 + a11 - a4 = 12, a3 + a11 = a10 + a4 , a7 = 12

11、已知数列 {an }中， a1 = -1， an+1 × an = an+1 - an ，则数列通项 an = __________

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