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Burgers 方程的半离散数值方法

作者：赵东涛 李文潮 陈长生 张改英 吴克坚 徐清华

【摘要】 目的： 探讨 Burgers 方程的半离散 Fourier

Galerkin 差分格式数值解。方法：非线性函数的有界延拓法和傅立叶

变换理论。结果：建立了 Burgers 方程的半离散 Fourier Galerkin

差分格式数值解， 讨论了该差分格式的稳定性。 结论：构造的 Burgers

方程的半离散 Fourier Galerkin 差分格式数值解具有收敛性和稳定

性，并给出了误差估计。

【关键词】 Burgers 方程； 谱方法

1 引言

偏微分方程数值解的理论和实践都证明 Fourier 谱方法是一

种非常有效的算法，从理论上说，这种方法具有"无穷阶"的收敛速

度。就实际计算而言，运用快速 Fourier 变换（F.F.T） ，大大降低了

运算量，使得运算速度大幅提高。正是基于这一事实，Fourier 谱方

法及拟谱方法被广泛应用于偏微分方程数值解的计算.Burgers 方程

是一类重要的数学物理方程，本研究用半离散 Fourier Galerkin

方法，解决如下的周期初值的 Burgers 方程的数值解问题:

1

ut-vuxx+uux=0, xÎR, tÎ［0,T］

u(x,0)=u0(x), xÎR

u(x+2p,t)=u(x,t), xÎR,tÎ［0,T］ 1） （

其中 v,T 是正常数，u0(x)是以 2p为周期的已知实函数，

u(x,t)是未知实函数。

关于方程组（1）整体古典解的存在唯一性，郭本喻［1］给

出了充分性条件的定理。不少文献对方程的差分方法进行了研究［2，

3］ 也有人研究其谱方法的误差估计［4］ 本研究则用半离散 Fourier
， 。

Galerkin 方法，构造了 Burgers 方程的半离散格式，用非线性函数

的有界延拓法证明了格式的稳定性，并给出了差分格式的误差估计。

2 半离散 Fourier Galerkin 方法

令Ω=［0，2p） J=［0，T］ =Ω×J，对于整数 s³0，
， ，G

定义 Sobolev 空间 Hsp(Ω)={uÎHsloc(R)u(x+2p)=u(x), xÎΩ}，

并在Ω上定义 L2 内积和范数：

2

(u,v)=òΩudx, ‖u‖=(u,u); Hsp(Ω)上 Sobolev 范数和半

范数定义为：

‖u‖= |a|£s‖Dau‖2,|u|s= |a|=s‖Dau‖2

我 们 取 Hsp( Ω ) 中 一 组 标 准 正 交 基 函 数 f k(x)=(2

p)-12exp(ikx),k=0,±1,±2,对于给定的正偶数 N，定义由fk(x):

k=-N2, ¼，N2 所张成的由实值函数所构成的空间为 S*N：

S*N=Y：Y= N2k=-N2akfk(x),ak=a-k, k=-N2,¼， N2

并且记 Hsp(Ω)在 S*N 上的正交 L2 投影算子 PN：Hsp(Ω)®

S*N，对于 uÎHsp(Ω)及 fÎS*N，投影算子 PN 满足等式：(u,

f)=(PNu,f)， 即对于 uÎHsp(Ω)， PNu= N2k=-N2kfk(x),这里 k=(u,

fk)是 u 的 Fourier 系数，它满足 j=-j,j=-N2,¼ ，N2，记 U*（x,t)

是方程组（1）的解，我们给出解曲面 S 及其e域的定义。

定义 称集合 S={ x,t,U*(x,t))ÎR3:(x,t)ÎG}为方程 1）
（ （

的解曲面， 称集合 S（e)={(x,t,u)ÎR×J×R:|u-U*(x,t)|£e}为

方程(1)解曲面 S 的e域。

引理 1 设 uÎHsp(Ω)，对于 s³j³0，存在与 u、N 无关的

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