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第十三章 拉普拉斯变换

13．1 基本概念
13．1．1 拉普拉斯变换的定义
一个定义在 [0, ¥)区间的函数 f (t )，它的拉普拉斯变换式 F (S )定义为

F(s)= ò¥ f (t)e-st dt

0-
式中 s = s + jw 为复数， F (S )称为 f (t )的象函数， f (t )称为 F (S )的原函数。式中积分下限取

t = 0- ，把上述定义式作如下变形：

F


(s)= ¥ò f (t)e-stdt = 0ò f (t)e-stdt + ¥ò f (t)e-stdt +

0- 0- 0+

可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及 t = 0- 时 f (t )可能包含的冲激。
13．1．2 拉普拉斯变换的基本性质

设 L[f1 (t )]= F1 (s) L[f2 (t )]= F2 (s)，则有下表中性质。
表 13-1 拉普拉斯变换的基本性质

序号 性质名称 时域 复频域
1 线性 a1 f1(t)+ a2 f2 (t) a1F1(s)+ a2F2(s)

2

345
尺度变换

时移性
频移性
时域微分
f (at ),a > 0

f (t - t0 )e(t - t0 ),t0 > 0
f (t)e-at
df (t )
dt
1 Fæ s ö ç÷
a èaø
F(s)e-st0
F(s + a)
sF (s)- f (0- )

6
时域积分
ò f (t)dt t

F (s)+ f -1(0)

7

复频域微分
-¥
-tf (t)
s
s
dF (s)
ds

8
9
10
11
初值定理

终值定理

时域卷积
复频域卷积
f (0+ )
f (¥)

f1(t)* f2(t)
f1(t)• f2(t)
lim sF (s)
s ®¥
lim sF (s)
s ®0
F1(s)• F2(s)
1 [F (s)* F (s)]

13．1．3 拉普拉斯反变换
2pj 1
2

对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即

1

f (t)= L-1[F (s)]= 1 òc+ j¥F (s)est ds ，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电
2pj c- j¥

路响应的象函数通常可表示为两个实系数的 s 的多项式之比，即 s 的一个有理分式

F

(s)= N(s) = a0sm + a1sm-1 +L

+ am

式中 m 和 n 为正整数，且 n ³ m 。
Ds ()
b0sn + b1sn-1 + L + bn

若 n = m 时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式
之和，然后分别查表即可求得原函数。

1． D(s)= 0 具有 n 个单实根时

F (s)= å n

i=1


Ki
s - pi

式中： K i = (s - pi )F (s)|s= p

则

2． D(s)= 0 具有重根时


i


f (t )= L-1[F (s)]= å Kie pit n

i=1

设 D(s)= 0 除了 m 个重根外，其它均为单根，共有 n 个根。

F(s)=


K11


+ ( K12) + L + ( K1m ) + å Ki n

(s - p1)m
s - p1 m-1
s - p1
i =n-m
s - pi

1 [ ]
d q-1 (s - p )m × F (s) |

式中： K1q =
(q -1)! dsq-1
1
s = pi


n

则
f (t)= L-1[F(s)]= é( K11 ) t m-1 + ( K12 ) t m-1 + L + K1m ùe p1t + å Kie pit

ëê m -1 !

3． D(s)= 0 具有共轭根时
m-2!
ú
û
i =n-m

若 D(s)= 0 有复数根， 一定是一对共轭根。 设有 n 个单根， 其中两个为一对共轭根，p1 = a + jw ，

p 2 = a - jw 。

F (s)=


K1 + K 2 + å K i n

s - p1 s - p2 i=3 s - pi

K1, K2 为一对共轭复数，设 K1 = K1 | e jq1 ， K2 = K1 | e- jq1 ，

2

则

f (t)= 2 | K1 | eat cos(wt + q1 )+ å Kie pit n

i =3
13．1．4 线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1． 元件的伏安关系及运算电路如表 13-2 所示附表 13-2。

表 13-2 元件的伏安关系及运算电路

元
件

R


i(t)


时域形式
R

u(t)


频域形式 1

U (s) = RI (s)


I (s)


R

U ( s)


频域形式 2

u(t) = Ri(t)

L


sL


Li(0- )

1
sL

L
i(t)


u(t)
I (s)
-

U (s)
+
I (s)
i (0 - ) / s

u(t) = L di
dt

U (s) = sLI (s) - Li(0- )
U (s)
I ( s ) = 1 U ( s ) + i (0 - )

i(t)


C


1 u C (0 - )
I (s) sC + s -


I (s)
sL


sC
s

C
u(t)

u(t) = 1 òt i(t)dt + u(0- )
C 0-


U (s)

U ( s ) = 1 I ( s ) + u C (0 - )
CuC (0- )

U (s)

sC
s
I (s) = sCU (s) - Cu(0- )

+

i1


M

i2


+


+


I1(s)


sM


I 2 ( s)


+

M
u1 L1
-
L2 u


2


-
U1(s) = sL1I1(s) + sMI2 (s)
- L1i1(0- ) - Mi2 (0- )
U2 (s) = sL2I2 (s) + sMI1(s)


U1 ( s)


L1i1(0- )

sL1
-
•
•

sL2
-
L i (0 )


U 2 ( s)

u1(t) = L1 di1(t) + M di2 (t)
- L2i2 (0- ) - Mi1(0- )
+
-
+ 11 -

dt
dt
Mi2 (0- )
+
-
-Mi (0 )
+ 1 --

u2 (t) = L2 di2 (t) + M di1(t)
dt dt

在分析时，注意以下几点：
（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；
（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；
（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。
2．基尔霍夫定律的运算形式如表 13-3 所示见附表 13-3。

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