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高中数学：活学活用正余弦定理
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主 要作用是将已知条件中的边、角关系转化为单一角的关系或边的关系．在高
考中主要有以下几个命题热点：
一、 求斜三角形中的有关元素
例1、 07 年全国文）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 （
a、b、c ，且 a = 2bsinA
⑴求角 B 的大小 ⑵若 a = 3 3, c = 5 求边 b
解：由正弦定理得 a = 2R sin A, b = 2R sin B(R 为 DABC 外接圆半径)，
2、
代入 a = 2b sin A 得 sin A = 2 sin B sin A
1
∵ sin A ¹ 0 ∴ sin B =
2
由 DABC 为锐角三角形得 B = 300
（2）根据余弦定理得： b2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B
所以 b = 7
二、 判断三角形的形状
例 2 ： 05 年北京）在 DABC 中，已知 2 sin Acos B = sin C ，则 DABC 一 （
定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
解：在 DABC 中，由
3、 C = p - ( A + B) 得 sin C = sin( A + B)
由条件得 2 sin A cos B = sin( A + B)
即 2 sin Acos B = sin Acos B + cos Asin B
∴ sin Acos B - cos Asin B = 0
∴ sin( A - B) = 0
∵-p < A- B < p
∴ A- B = 0
∴A=B 则 DABC 为等腰三角形， 故选（ B ）
三、 解决与面积有关的问题
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例 3
4、 99 年上海）在 DABC 中，若 B = 300 , AB = 2 （
DABC 的面积是
3
3 , AC = 2 则
解：由正弦定理得:
Q AB > AC
2 =2 3
sin 30 0 sin C
∴ C = 600 或1200
即 sin C =
2
⑴当 C = 60 0时，A = 90 0，则
⑵当 C = 120 0时，A = 30 0，则
故 SDABC = 2 3或 3
四、
三角形中恒等式证明
(00 年
5、全国) 在 DABC 中，求证 ： a -2 b = sin( A - B)
例 4、
2
c
2
sin C
证明:由余弦定理得: a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A ， b2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B
∴ a 2 - b 2 = b 2 - a 2 - 2bc cos A + 2ac cos B
则 2(a 2 - b 2 ) = 2ac cos B - 2bc cos A
整理得
a 2 - b2 = a cos B - b cos A
6、
①
c2 c
由正弦定理得 a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C （ R为 DABC 外
接圆半径）
代入①右边得：
a 2 - b2 = sinAcosB - sinBcosA = sin（A - B）
c2 sinC sinC
故原题得证．
五、 解决实际应用问题
例 5 ： 07 年年山东)如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航 （
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行，
7、乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的
北偏西105 方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达
A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2 处，此时两船相距10 2
海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结 A1B2 ，由题知 A2B2 = 10 2 ，
北
A1A2 = 30 2 ´ 20 = 10 2 ，∴ A1 A2 = A2 B2 ，
60
又∠A1 A2B2 = 180 -120 = 60 ，
\△A1A2B2 是
8、等边三角形， \ A1B2 = A1A2 = 10 2 ，
由已知: A1B1 = 20 ，∠B1 A1B2 = 105 - 60 = 45 ，
在 △A1B2B1 中，由余弦定理：
= 202 + (10 2)2 - 2 ´ 20´10 2 ´ 2 = 200 ．
2
\B1B2 = 10 2 ．
乙
甲
因此，乙船的速度的大小为
10 2 ´ 60 = 30 2
20
（海里/小时） ．
答：乙船每小时航行 30 2 海里．
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