高二考试理数试卷.doc

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岳阳县一中 2015 级高二期末考试试卷
理科数学

时量：120 分钟 总分：150 分
命题：岳阳县一中 命题人：周军才
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. i 为虚数单位，则 i2013 = （）
A. -i B.-1 C. i D.1
2. 若 f (x) = xex ，则 f ¢(1) ＝( )

A．0 B． e C． 2e D． e 2

3. 已知双曲线 x - y = 1 的一个焦点坐标是(5,0),则双曲线的渐近线方程是
2 2
（ ）
9m

A. y = ± 3 x B. y = ± 4 x C. y = ± 2 2 x D. y = ± 3 2 x
4 3 3 4
4．下列叙述：
①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；
②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行.
其中正确的个数是 （ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
5．学校体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3 个大门，西侧有 2 个大门，某学生到该体育场训练，
但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有 ( )
A.7 个 B.12 个 C.24 个 D.35 个
6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( )

A.设数列 {an}的前 n 项和为 Sn .由 an = 2n -1 ， S1 = 12, S2 = 22, S3 = 32, ， 推断：Sn = n2
求出 ¼，
B.由 f (x) = x cos x 满足 f (-x) = - f (x) 对" x ÎR 都成立，推断： f (x) = x cos x 为奇函数

C.由圆 x2 + y2 r2 的面积 S = p r2 ，推断：椭圆 x2 + y2 = 1(a > b > 0) 的面积 S = pab
a2 b2

D.由 (1+1)2 > 21,(2 +1)2 > 22,(3 +1)2 > 23, ¼，推断：对一切 n ÎN*， (n +1)2 > 2n

7. 已知函数 f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 3，若函数 g(x) = f (x) - m 在 x Î[-2,5]上有 3 个零点，则 m 的

取值范围为 ( )
A．(－24,8) B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)

8. 抛 物 线 y2 = 2 px( p > 0) 的 焦 点 为 F ， 已 知 点 A, B 为 抛 物 线 上 的 两 个 动 点 ， 且 满 足

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MN
ÐAFB = 90 .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 的最大值
AB

为 ( )
2 3
A. B. C. 1 D. 3
2 2
二、 填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．

9.

òp 4sin xdx = 2
0

10.已知 0 < a < 1 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1,则复数 z 对应的点 Z 到原点距离的取值范围是

11. 曲线 C： y = ln x 在点(1，0)处的切线方程是 .
x

12. 棱长均为 3 的三棱锥 S - ABC ，若空间一点 P 满足 SP = xSA + ySB + zSC (x + y + z = 1) ，则

SP 的最小值为 .

13. 我国第一艘航母"辽宁舰"在某次舰载机起降飞行训练中， 5 架"歼－15"飞机准备着舰， 有
如果甲、乙两机必须相邻着舰， 而丙、 丁两机不能相邻着舰， 那么不同的着舰方法数是 .

14. 椭圆 C : x + y = 1的左、右顶点分别为 A1、A2 ，点 P 在椭圆 C 上，记直线 PA2 的斜率为 k2 ，
2 2
4 3

直线 PA1 的斜率为 k1 ，则 k1 · k2 = .

15.函数 f (x) = x2 + a ln(1 + x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ，且 x1 < x2 ，则实数 a 的范围是
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 12 分）

设 p :实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2 < 0 , q :实数 x 满足 x - 3 < 1 .

(1)若 a = 1, 且 p Ù q 为真，求实数 x 的取值范围；

(2)若其中 a > 0 且 Øp 是 Ø q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

17. （本小题满分 12 分）

如图,在三棱柱 ABC－A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ÐACB = 90° ， AC = BC = CC1 = 2 .
（1）求证: AB1 ^ BC1 ；
（2）求二面角 C1－AB1－A1 的大小.
18. （本小题满分 12 分）
时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学
生们课外学习的一种趋势， 设某网校的套题每日的销售量 y（单 假
位：千套）与销售价格 x （单位：元/套）满足的关系式

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y = m + 4(x - 6)2 ，其中 2 < x < 6 ， m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时，每日可售出套题
x-2
21 千套.
（1）求 m 的值；
（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数） ，试
确定销售价格 x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留 1 位小数）.
19. （本小题满分 13 分）

设数列 {an}的前 n 项和为 Sn (即 Sn = a1 + a2 + a3 + + an )，且方程 x2 - anx - an = 0 有一根为

Sn －1， n ＝1,2,3¼¼.

(1)求 a1, a2 ；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．
20. （本小题满分 13 分）

已知椭圆 C ：

x2 + y2 = 1
a 2 b2


(a > b > 0) 离心率为
2
2 ，且椭圆的长轴比焦距长 2 2 - 2 .

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）过点 M ( 0 ，- 1 )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一
3
个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 A B 为直径的圆恒过定点 T ？若存在，求出点 T 的坐标；
若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分 13 分）

已知 f (x) = ln( x + 1), g(x) =
1 ax2 + bx
2

（1）若 a = 0 ， b = 1时，求证： f (x) - g(x) £ 0 对于 x Î (-1,+¥) 恒成立；
（2）若 b = 2，且 h(x) = f (x - 1) - g(x) 存在单调递减区间，求 a 的取值范围；
x+ y

（3）利用（1）的结论证明：若 0 < x < y ，则 x ln x + y ln y > (x + y) ln
岳阳县一中 2015 级高二期末考试试卷
理科数学

时量：120 分钟 总分：150 分
命题：岳阳县一中 命题人：周军才
2．

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. i 为虚数单位，则 i2013 = （ ）
A. -i B. -1 C. i D.1
答案：C

解析： i2013 = i4´503+1 = i
2. 若 f (x) = xex ，则 f ¢(1) ＝( )

A．0 B． e C． 2e D． e 2

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