高等数学教学大纲.doc

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《高等数学》教学大纲

Advanced Mathematics
课程编号： 070A1012 适用专业：理工管各专业 学时： 186 学分： 12
一、内容简介
本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系） 。内容包括函数、极限、连续，
一元函数微积分学，向量代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无
穷级数（含 Fourier 级数）与常微分方程等。
二、本课程的目的和任务
通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能， 为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培 养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学
生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
三、本课程与其它课程的关系
本课程是理、工、管等相关专业的第一基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程 的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。本课程学习结束后，以此为出发点，
学生才能进入相关课程的学习阶段。
本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。
课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统
考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。
四、本课程的基本要求
基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积 分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练
地应用微积分学的思想方法解决应用问题。
五、课程内容与学时分配
l 理论教学内容
第一章 函数与极限（14 学时）
理解函数、复合函数及分段函数的概念；理解极限、左极限与右极限的概念；理解无
穷小、无穷大的概念；理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） 掌握基本初等函数 ；
的性质及其图形；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则；掌握利用 两个重要极限求极限的方法；掌握无穷小的比较方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期 性和有界性；了解反函数及隐函数的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；了解 连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最
小值定理和介值定理） ；会建立简单应用问题中的函数关系式；会利用极限存在的两个准 则求极限；会用等价无穷小求极限；会判别函数间断点的类型；会应用闭区间上连续函数
的性质。
第二章 导数与微分（12 学时）
理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系；理解导数的几何意义；理解函数的
可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则掌握基本

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初等函数的导数公式；了解导数的物理意义；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的 不变性；了解微分在近似计算中的应用；了解高阶导数的概念；会求平面曲线的切线方程
和法线方程；会用导数描述一些物理量；会求函数的微分；会求简单函数的 n 阶导数；会
求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，
会求反函数的导数。
第三章 中值定理与导数的应用（12 学时）
理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；了解柯西 中值定理；了解曲率和曲率半径的概念；会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理； 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘
函数的图形；会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。
第四章 不定积分（8 学时）
理解原函数、不定积分的概念；掌握不定积分性质；掌握不定积分的基本公式；掌握
换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
第五章 定积分（8 学时）
理解定积分的概念；理解变上限定积分定义的函数及其求导公式；掌握定积分的性质
及定积分中值定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；
了解广义积分的概念并会计算广义积分。
第六章 定积分的应用（6 学时）
掌握定积分的元素法；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面
积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作
功、引力、压力及函数的平均值等） 。
第七章 空间解析几何与向量代数（12 学时）
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示；理解曲面方程的概念；掌握向量的运
算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的
坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及其求法；
了解两个向量垂直、平行的条件；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解平面曲线的参 数方程和一般方程；了解；会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有 关问题；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲
线在坐标面上的投影曲线的方程。
第八章 多元函数微分法及其应用（18 学时）
理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；理解多元函数偏导数和全微分的概
念；理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；理解多元函数极值和条件极值的概念；
掌握多元复合函数偏导数的求法；掌握方向导数与梯度的计算方法；掌握多元函数极值存 在的必要条件；了解二元函数的偏导数和全微分的概念，以及有界闭区域上连续函数的性 质；了解全微分存在的必要条件和充分条件；了解全微分形式的不变性，了解全微分在近 似计算中的应用；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念；了解二元函数
极值存在的充分条件；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；会求二元函数的极值，会用拉格

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朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用
问题。
第九章 重积分（10 学时）
理解二重积分、三重积分的概念；掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；
了解重积分的性质，了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分
的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。
第十章 曲线积分与曲面积分（14 学时）
理解两类曲线积分的概念；掌握计算两类曲线积分的方法；掌握格林公式并会运用平
面曲线积分与路径无关的条件；掌握计算两类曲面积分的方法；了解两类曲线积分的性质 及两类曲线积分的关系；了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系；了解高
斯公式、斯托克斯公； ；会用高斯公式计算曲面积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分 求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯
量、引力、功及流量等） ；会计算散度与旋度。
第十一章 无穷级数（14 学时）
理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要 条件；掌握几何级数与 p - 级数的收敛与发散的条件；掌握正项级数的比较审敛法和比值 审敛法；掌握交错级数的莱布尼茨定理；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法；掌握 e x ，sin x ，cos x ， ln(1 + x) 和 (1 + x)a 的麦克劳林展开式；了解任意项级数绝 对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及 和函数的概念；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的 充分必要条件；了解幂级数在近似计算上的简单应用；了解傅里叶级数的概念和函数展开
为傅里叶级数的狄利克雷定理；会用根值审敛法；会求一些幂级数在收敛区间内的和函数； 会将一些简单函数间接展开成幂级数；会将定义在[- l , l] 上的函数展开为傅里叶级数，会 将定义在 [0 , l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达
式。
第十二章 常微分方程（12 学时）
理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；掌握变量可分离的方程及一阶线性方程
的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解微分方程及其解、阶、通解、初 始条件和特解等概念；了解微分方程的幂级数解法；会解齐次方程、伯努利方程和全微分 方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降价法解下列方程： y (n) = f (x) ，
y¢¢ = f (x, y¢) 和 y¢¢ = f ( y, y¢) 了；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会求 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二级常系数非齐 次线性微分方程的特解和通解；会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性
微分方程组；会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题。
l 实践教学内容
1、习题课
第一章安排三次习题课，第六、七章安排一次习题课，其余各章每章安排两次习题课，
共 23 次，计 46 学时。
六、教材与参考书
《高等数学》 上、下册）同济大学数学教研室主编，高等教育出版社。 （

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