北京海淀区初三第一学期期末学业水平调研.doc

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北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研

数
学


2018．1

本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
．．

1．抛物线 y = (x -1)2 + 2 的对称轴是
A． x = -1 B． x = 1 C． x = -2 D． x = 2
2．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则 sin A 的值为

A．


1
3


B． 2 2


C．

22
3


D． 3


B

3．如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5，
E
则 BC 的长为 A

A．1 C ．3
B．2 D．4


C


D

4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE．若点 D 在线段
BC 的延长线上，则 ÐB 的大小为

A


E

A．30° B．40°
C．50° D．60°
B C D

5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC = 3:2，∠A = a，∠C = b，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S1 和 S2 ，△

OAB 与△OCD 的周长分别是 C1 和 C2 ，则下列等式一定成立的是
C

A． OB
CD

=3
2


B．

a=3
b2


A


O


B

D

S 3 C 3
C． 1 = D． 1 =
S2 2 C2 2
6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不经过
．

A．点 M
B．点 N C．点 P D．点 Q


k


M
y
5
43
2
1


A


Q

7．如图，反比例函数 y = 的图象经过
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1O
-1
123456
x

y

点 A（4，1） ，当 y < 1 时，x 的取值
范围是
A． x < 0 或 x > 4
B． 0 < x < 4


N


1页
-2
-3
-4 -5
P


1
O


A

4


x

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C． x < 4 D． x > 4

8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B，小兰
从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C，两人的运动 路线如图 1 所示，其中 AC = DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时 游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x（单位：秒）的对应关系如
图 2 所示．则下列说法正确的是


C

D


A

O

B

图1
A．小红的运动路程比小兰的长
B．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇
C．当小红运动到点 D 的时候，小兰已经经过了点 D
D．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
图2

9．方程 x2 - 2 x = 0 的根为 ．

10．已知∠A 为锐角，且 tan A = 3 ，那么∠A 的大小是 y°． x=1

11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表

达式可以是
． 写出一个即可） （


O


P


x

12．如图，抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴为 x = 1 ，点 P，点 Q 是抛物线与 x

轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0） ，则点 Q 的坐标为 ．
13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6p，则这个扇形的半径为 ．

14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P = 60°，PA = 3 ，则 AB 的长

为 ．
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，
一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴 车行驶．设小张距大巴车尾 x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m，红灯下沿高于小张的水平
视线 3.2m，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．
16．下面是"作一个 30角"的尺规作图过程． °

已知：平面内一点 A ．


D

求作：∠A 使得∠A 30．

，

作法：如图，
=°


A


O


C


B

（1 作射线 AB
） ；

（2 射线 AB 取一点 O
）在 上 ，以 O为圆心，OA 为半径作 圆， 射线 与

AB 交于点 C
相 ；

（3 ）以 C为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O交于点 D 作射线 AD
， ．

∠DAB为所求的角． 即

请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每

2页

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小题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算： 2sin 30 ° -2cos 45 ° + 8 ．

18．已知 x = 1 是关于 x 的方程 x2 - mx - 2m2 = 0 的一个根，求 m(2m + 1) 的值．
3

19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3 2 ，AC = 5， sin C = ，求 BC 的长．
5
20．码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸

货，记平均卸货速度为 v（单位：吨/天） ，卸货天数为 t．

（1）直接写出 v 关于 t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）

（2）如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？
21．如图，在△ABC 中，∠B 90 AB4 BC2 = °， = ， = ，以 AC 为边作△ACE ACE °，AC=CE BC
，∠ = 90 ，延长
至点 D 使 CD5 连接 DE

，
=，
．求证：△ABC CED ∽△ ．

22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中 ÐBAC 为锐角，图 2
中 ÐBAC 为直角，图 3 中 ÐBAC 为钝角） ．

A
A
A

B C' B' C B B'(C') C B B' C' C
图1 图2 图3
在△ABC 的边 BC 上取 B¢ ，C¢ 两点，使 ÐAB¢B = ÐAC¢C = ÐBAC ，则△ABC ∽ △B¢BA ∽△C¢AC ，

AB =
B¢B
(


AB
)


， AC
C¢C


=
(


AC
)


，进而可得 AB 2 + AC 2 =


；（用 BB¢，CC ¢，BC 表示）

若 AB=4，AC=3，BC=6，则 B¢C¢ = ．

23．如图，函数 y =

k x<0
x（


）与 y = ax + b 的图象交于点 A（-1，n）和点 B（-2，1） ．

（1）求 k，a，b 的值；
k

（2）直线 x = m 与 y = （ x < 0 ）的图象交于点 P，与 y = - x + 1 的图象交于点 Q，当 ÐPAQ > 90° 时，
x

直接写出 m 的取值范围．
y

24．如图，A，B，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的
延长线上取一点 F，使得 EF = DE．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．
25．如图，在△ABC 中， ÐABC = 90° ， ÐC = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针
旋转 50°至 AD¢ ，连接 BD¢ ．已知 AB = 2cm，设 BD 为 x cm，B D¢ 为 y cm． AA
小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，
B

请补充完整． （说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
3页


D'


B


D


O


x

C