2017学年第一学期浙江名校协作体试题.doc

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2017 学年第一学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知：
1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）

1.
3-i =
1+ i ( ▲ )

2. 双曲线

y 2 x2 = 1 的渐近线方程是（ ▲ ）

9 4
ìy £ x
ï
3．若变量 x ， y 满足约束条件 íx + y £ 1，则 2x + y 的最大值是（▲）

A.3


B.2
îï y ³ -1
C .4


D .5

4 已知数列{an}的前 n 项和 Sn ，且满足 Sn = 2an - 3(n Î N * )，则 S6 = （ ▲ ）
A . 192 B . 189 C . 96 D . 93

5. ç

æ 1 + 2 ö (1- x)4 展开式中 x2 的系数为（ ▲ ）
÷

èx

6．已知
ø
a = (cosa,sina )，b = (cos (-a ),sin (-a ))，那么 "a ×b = 0" 是"a = kp + p (k Î Z )"
4

的（ ▲ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件
C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
7．已知函数 f (x) = (2x -1)ex + ax2 - 3a (x > 0)为增函数，则 a 的取值范围是（ ▲ ）

8. 设

A, B 是椭圆 C : x + y = 1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 P 满足 ÐAPB = 120 ，则 k 的

取值范围是（ ▲ ）
2
4
2
k

9. 函数 y = x + x2 - 2x + 3 的值域为( ▲ )
10. 设数列 {xn}的各项都为正数且 x1 = 1 . DABC 内的点 Pn (n Î N* )均满足 DPn AB 与 DPn AC
1 x P B + (2x +1)P C = 0

的面积比为 2 :1，若 Pn A +
2 n+1 n
n
n
，则 x4 的值为( ▲ )

二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分，把答案填在题中横
线上）
11. 一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体
的表面积为 ▲ ，体积为 ▲ ．
12．已知在 DABC 中, AB = 3 , BC = 7 , AC = 2 ，且 O 是 DABC 的外心，则 AO × AC = ▲，
AO × BC = ▲.

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13. 已知 sin ç -
æ p - a öcos æ - 7p + a ö = 12 ，且 0 < a < p ，则 sin a =
÷

cosa =
è2
▲．
ø
èç2
ø÷ 25
4
▲，

14. 安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每
个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 ▲ 种，学生甲被单独安排去金华的概率是 ▲ ．
15. 已知 F 是抛物线 C : y2 = 4x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若

FM = 1 MN ，则 FN = ▲．
2

ì x2 + 2 , x > 0

16. 已知函数 f (x) = í ï
x
, 则关于 x 的方程 f (x2 - 4x)= 6 的不同实根的个数为

ïln (1- x)+ 4, x £ 0
î
▲．
17. 如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面a 内，三条棱 AB , AC , AD 都在平面a 的同侧. 若
顶点 B , C 到平面a 的距离分别为 2 , 3 ， 则平面 ABC 与平面 a 所成锐二面角的余弦值为 ▲ .
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) = sin wx cos wx + cos2 wx (w > 0) 的最小正周期为p .
（Ⅰ）求w 的值；

（Ⅱ） 函数 将
y = f (x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1（纵坐标不变），得到函数 y = g(x)
2

的图象，求函数 y = g(x) 在区间[- p ,0] 上的最值．
4
19. （本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， AB ^ AP ， AB ∥ CD ，且 PB =BC =
BD = 6 , CD = 2AB = 2 2 ， ÐPAD = 120 .
（Ⅰ）求证：平面 PAD ⊥平面 PCD ；
（Ⅱ）求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值．
m

20．（本小题满分 15 分）设函数 f (x) = ln x + , m Î R ．
x
（Ⅰ）当 m = e ( e 为自然对数的底数)时，求 f (x) 的极小值；

（Ⅱ）若对任意正实数 a 、 b （ a ¹ b ），不等式
f (a) - f (b) £ 2
a -b


恒成立，求 m 的取值范围．

21． （本小题满分 15 分）如图，已知抛物线 C1 : x2 = 2 py 的焦点在抛物线 C2 : y = x2 +1上，点 P
是抛物线 C1 上的动点．
（Ⅰ）求抛物线 C1 的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点 P 作抛物线 C2 的两条切线， A 、 B 分别为两个切点，求 DPAB 面积的最小值．
1

22．（本小题满分 15 分）已知无穷数列{an}的首项 a1 = ，
1 = 1 æ a + 1 ö,nÎ N*

2
an+1 2 ç n an ÷
.

（Ⅰ）证明： 0 < an < 1 ；
è
ø

（Ⅱ） 记 bn
=
(an - an+1 )2
anan+1

，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，证明：对任意正整数 n ，Tn <

3.
10

命题：金华一中 衢州二中审校） 审核：诸暨中学

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2017 学年第一学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
首命题：金华一中 次命题兼审校：衢州二中 审核：诸暨中学
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C B A A D A
二、填空题

11.
18 + 2 3 ， 20
3


12. 2 ，
-5
2


13.
34
5，5


14.
150 , 7
75

15. 5


16. 4 个


17.
2
3

三、解答题

18 :( )f (x) = 解Ⅰ

2 sin(2wx + p ) + 1

2
4 2 -----------------4 分

T = 2p = p , w = 1-----------------------6
所以 分
2w

()

Ⅱ
g(x) = f (2x) = 2 sin(4x + p ) + 1 ------------------8 分

p
2
p
42

当 x Î[- ,0] 时， 4x + Î[- 3p , p ]

4
4
4 4 --------------------10 分

3p ) = 1- 2 g(x) = g(0) = 1

所以 g(x)min = g(-
16
2；
max
-------14 分

19 ( ) 解： Ⅰ 证明：取 CD 中点为 E ，连接 BE ，因为 BC = BD ，所以 BE ^ CD ，又 CD = 2AB ，

AB / / CD ，所以 AB /=/ DE ，所以四边形 ABED 为矩形，所以 AB ^ AD ，

又 AB ^ AP ，所以 AB ^ 平面 PAD .------------------------------- 分
又 AB / /CD ，所以 CD ^ 平面 PAD ，

又 CD Ì 平面 PCD ，所以平面 PAD ^ 平面 PCD .------------------------- 分

Ⅱ() 在 DABP 中， AB =
2 ， PB = 6 ， AB ^ AP ，所以 AP = 2 ；

在 DABD 中， AB = 2 ， BD = 6 ， AB ^ AD ，所以 AD = 2 .

取

PD 和 PC 的中点分别为 F 和 G ，则 FG /=/ 1 CD ， 2
1

又 AB /=/ CD ，所以 AB /=/ FG ，所以四边形 AFGB 为平行四边形， 2
又 PA = AD = 2 ， F 为 PD 的中点，所以 AF ^ PD ，
所以 AF ^ 平面 PCD ，所以 BG ^ 平面 PCD ，所以平面 PBC ^ 平面 PCD ，----------10 分
所以 PC 为 PD 在平面 PBC 上的射影，所以 ÐDPC 为 PD 与平面 PBC 所成的角。----- 12 分
在 Rt DPDC 中， CD = 2 2 ， PD = 2 3 ，所以 PC = 2 5 ，

所以 sin ÐDPC =

CD = 2 2 = 10


。

PC 2 5
5


10

即直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 --------------------------- 分
（用其它方法（如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！）

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