应用数学基础下册教学课件全书电子讲义.ppt

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阶行列式,利用行列式性质,(,特别是性质,8),将行列式中某一行,(,列,),化为,仅含有一个非零元素，然后再利用定理按此行,(,列,),展开，变为,低一阶的行列式，如此继续下去，直至降为一个三阶或二阶行,列式。,例,2,计算行列式的值,解,三、利用元素排布具有某种特征的行列式的特定解法,如果行列式的元素排布具有某种明显规律特征，就要考虑,用一些特殊的计算方法，这样可以简化行列式的计算，提高准,确性。,解,元素排列特征：各行元素之和相同，主对角线上的元素,相同。,特定计算方法：除第一列外，其余各列均加到第一列，然,后提取第一列公因子，再按三角形法化为上三角形行列式。,由于行列式中大部分元素均为,3,，若将行列式的第三行,的,(-1),倍分别加到其余各行，将使这些行中的,3,全部化为零，,运算因此得到简化。,解,通过以下两例可以看出，对于不同特征的行列式灵活采用不,同的计算方法会使运算简便快捷，望读者在学习过程中注意方,法的积累。,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、行列式的本质是什么？,2,、克莱姆法则的内容是什么？,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第九章数 理 统 计 基 础,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、本章主要内容,1,、几个基本概念：总体、样本、样本容量、样本观测值、,简单随机抽样、简单随机样本。,2,、统计量的定义及其分布，几个常用的统计量。,3,、参数估计的定义以及估计量的评选标准：,(1),无偏性；,(2),有效性。,4,、区间估计的定义；置信区间的计算。,5,、假设检验的原理、步骤及方法。,二、本章重点、难点内容,1,、怎样进行区间估计。,2,、怎样进行假设检验。,3,、怎样构造合适的统计量。,三、对学习的几点建议,1,、概率论是数理统计的基础，请读者一定要把基础打好，,在学习数理统计的过程中，及时复习相关的概率知识。,2,、数理统计的基本任务是应用概率论的知识从局部推断,整体，从而揭示随机现象的统计规律性；基本思想是,从样本出发，对样本进行,“,加工,”,结合具体问题构造,“,合,适,”,的统计量，并讨论它们的分布，再通过参数估计和假设,检验等统计推断方法对总体作出判断。,四、本章关键词,简单随机样本,统计量,参数估计,假设检验,(,二,),常见问题分类及解法,一、区间估计中置信区间的求法,解,解,解,二、假设检验的方法,假设检验的一般步骤如下：,假设检验的关键是统计量的选取，现将正态总体的有关检验,问题及统计量的选取方法见表,21-1,。,表,21-1,正态总体假设检验,在显著水平,下的拒绝域,统计量服从的分布,选用统计量,选取条件,假设,:,=,0,原假设,H,0,解,提出原假设：,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、理解统计量的概念,.,2,、数理统计区别于一般的统计的是什么？,3,、假设检验的推断原理是什么？,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第十三章函 数、极 限 与 连 接,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、本章的主要内容,函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数,与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运,算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷,小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间,上连续函数的性质。,二、几个常用的基本极限,三、几个充要条件,表,13-1,有倒数关系,续表,六、本章关键词,函数 极限 连续,条 件,结 论,(,二,),常见问题分类及解法,一、求函数的定义域,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于,1,；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,例,1,求下列函数的定义域：,解,所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不,等式组。,(1),若使函数有意义，必须,(2),若使函数有意义，必须,解,二、判断两个函数是否相同,一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因,此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要,判断函数表达式是否统一即可。,例,3,判断下列各对函数是否相同？,利用定义域和对应法则来判断。,解,三、判断函数奇偶性,判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利,用奇偶的性质，即奇,(,偶,),函数之和仍是奇,(,偶,),函数；两个奇函,数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积,是奇函数。,例,4,判断下列函数的奇偶性：,解,(1),用定义判断,(2),用性质判断,四、数列极限的求法,利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。,例,5,求下列数列极限：,解,2,、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求,极限的方法。,对通项式有理化得,解,3,、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的,前,n,项和公式求和，再求极限。,解,4,、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项,放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。,解,例,9,求下列极限：,解,五、函数极限的求法,函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变,量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首,先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法,.,一般地，函数极限有以下几种求法：,解,例,11,已知,解,解,解,利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极,限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无,穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为,无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。,例,14,求下列函数的极限：,解,(2),利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。,六、判断函数连续性,利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连,续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义,域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。,解,解,(,三,),思考题,1,、讨论分段函数连续性的关键是什么？,2,、奇、偶函数有何性质？,3,、函数的极限比数列的极限复杂，为什么？,4,、无穷小与无穷大是什么关系？,答 案,答 案,答 案,答 案,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1,、是着重讨论分段函数的分界点的连续性,.,返 回,2,、奇,(,偶,),函数之和仍是奇,(,偶,),函数；两个奇函数之积是偶,函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇,函数,.,返 回,3,、首先是因为自变量的变化过程多；其次是因为函数式,复杂,.,返 回,4,、互为倒数,.,返 回,返 回,返 回,返 回,第二章 导 数 与 微 分,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、内容提要,1,、导数定义，单侧导数，可导充要条件。,2,、导数的几何意义，导数和切线的关系，光滑曲线和导数,的关系。,3,、可导和连续的关系。,4,、基本初等函数求导公式。,5,、导数的四则运算。,6,、复合函数求导法则，反函数求导法则，参数方程确定的函,数求导法则。,8,、高阶导数；二阶导数的一个物理模型。,9,、微分的定义，函数的微分和增量关系，导数和微分关,系，微分公式和微分运算，一阶微分形式不变性，近,似计算。,二、重点和难点,前面的,1,、,4,、,5,、,6,、,9,为重点，,7,、,9,为难点。,三、基本要求,1,、正确理解导数的概念,(,导数是变化率问题抽象出来的数学,概念,),；会用导数定义求一些最简函数在某点的导数值。,2,、牢固掌握导数几何意义，快速确定切线方程和法线方程。,3,、熟练应用本节内容提要中的,4,、,5,、,6,，,7,；解决一切初等,函数求导问题。,4,、熟练应用微分公式和法则，解决一切初等函数微分问题。,四、对学习的建议,本章绝大部分内容都是微分学中的基本内容，其中导数和,微分是最基本的概念，务必理解透彻，牢固掌握。求导和求微,分的运算也是高等数学的基本功，力求运算正确，快速娴熟。,基本初等函数的导数公式是求导运算的基础，应熟记于,心。复合函数的分解是复合函数求导的基础，也应运用无误。,函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数求导法则、,反函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程所确定的函数,求导法则以及取对数求导法都是求导的基本法则，都要运用,熟练，其途径在于多练、多总结。,五、本章关键词,导数,微分,(,二,),常见问题分类及解法,一、求显函数的导数,利用基本初等函数的求导公式，运用函数的和、差、,积、商的求导法则和复合函数的求导法则，可以求出一般,显函数的导数。,例,1,求下列函数的导数：,利用求导公式和求导法则求解：,解,二、求隐函数的导数,解,三、用,“,取对数求导法,”,求函数导数,例,3,求下列函数的导数：,解,四、求由参数方程所表示的函数的导数,解,五、求函数微分,利用微分的定义、一阶微分形式不变性和微分运算法则可,以求出函数的微分。,利用微分形式不变性和微分运算法则,解,六、求曲线上一点的切线方程,根据导数的几何意义，可以求出函数曲线上某一点处的切,线方程和法线方程。,解,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第三章 导 数 的 应 用,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、内容提要,1,、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。,2,、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。,3,、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值4,、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。,5,、利用二阶导数研究曲线凸凹性和拐点，拐点存在必要条件,及判定。,6,、利用导数作图。,7,、利用洛必达法则，求未定式极限。,*8,、曲率公式，弧长的微分公式。,二、重点和难点,中值定理的应用：曲线的单调性与极值，曲线的凸凹性与,拐点及未定式极限为重点，函数的作图是本章难点。,三、基本要求,1,、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础，,必须熟记定理的条件和结论及几何意义。,2,、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值,存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清,楚极值与最值的联系与区别。,3,、清楚二阶导数的几何意义，利用二阶导数判定曲线凸凹,性及求拐点。,5,、能正确掌握利用一阶导数和二阶导数研究曲线的性态并能,正确做出常见的初等函数图像。,四、对学习的建议,拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理,论，因而十分重要，必须弄清它的条件与结论以及几何意义。,定理的证明只要求理解。,洛必达法则是求极限的一个有力工具，在应用中须注意,以下几点。,2,、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代,换，以便简化计算。,3,、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离,求出极限，以利继续使用法则。,4,、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限,的方法，以便极限较快求出。另外法则有时会失效，但不,能因此确定函数无极限，可另换他法。,结合实际求最值问题，关键在目标函数的建立，这需要,一定的其他领域的知识。目标函数建立的恰当与否，取决于,自变量的选取。这一切都需要多做多看一些不同类型的题目，,以便培养这方面的能力。,导数在经济问题中的应用，关键在熟悉和掌握各种概念的,含义以及它的数学表达式。,五、本章关键词,中值定理,极值,最大值与最小值,洛必达法则,作函数的图形是本章内容的大综合，也是本章一个难点。,正因为如此，认真的按照规范的步骤做几道作图题，对融会贯,通本章知识，了解函数性态，提高作图能力等都是有益的。,(,二,),常见问题分类及解法,一、利用洛必达法则求未定式,例,1,求下列极限：,解,二、利用导数判断函数的单调性并求其极值,函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负,来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。,需注意的是：,有些导数不存在的点也可能是极值点；,在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。,例,2,求函数的单调区间并求其极值：,解,见表,15-1,.,表,15-1,极值表,见表,15-2,.,不存在,极小值,0,极小值,0,表,15-2,极值表,三、求函数的最大值和最小值,对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值,问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值,的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函,数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最,值。,解,例,4,欲用围墙围成面积为,216 m,2,的一块矩形土地，并在,正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大,的尺寸，才能使所用建筑材料最省？,解,图,3-1,例,4,示意,四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点,根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲,线的凸凹，进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。,解,凹,拐点,(0,1),凸,拐点,(1,0),凹,表,15-3,曲线凸凹表,五、利用函数的单调性证明不等式,对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函,数的单调性证明不等式证,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？,2,、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1,、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数的符号,为负号，曲线单调减少,.,返 回,2,、利用一阶导数可研究曲线的单调性进而来判定极值,.,利用二阶导数可研究曲线的凸凹性和拐点,.,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第四章一 元 函 数 积 分 学,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、主要内容,1,、原函数和不定积分的概念；基本积分公式，基本积分法则，,换元法，分部积分法,.,2,、定积分的定义；微积分基本定理；牛顿,-,莱布尼兹公式及其,应用,.,二、重点和难点,本章重点是不定积分的计算和利用牛顿,-,莱布尼兹公式计算,定积分,.,难点是不定积分的计算和定积分的定义,.,四、对学习的建议,1,、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计,算和应用，而且将影响到今后学习多元函数积分的计算以及微,分方程的求解等，因此务必给予重视,.,不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点，它的基本思,路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式，使积分表达式在,形式上符合基本积分公式，从而解决积分问题,.,要熟练掌握凑,微分法，一是要熟记基本积分公式，二是熟悉常用的微分公式,，,三是多做多看，积累经验，熟悉技巧,.,分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分，其方,法是将所给积分化为形如,然后利用公式,总之，不定积分的解法很灵活，求解途径不止一种，以下,所说都是一些基本情况和常规思路，而实际上面对的情况是千,变万化的，有时解法需要技巧性很强，例如，即使被积函数中,无根式，也可考虑使用第二换元法等,.,这就要求多看多练，多,总结归纳,.,2,、对于定积分的定义应通过引入例题深刻理解，它的精要,之处是,“,分割求近似，求和取极限,”,，这种数学思想在利用定,积分解决实际问题中尤为重要,.,五、本章关键词,不定积分,积分法,定积分,公式,定理,(,二,),常见问题分类及解法,一、直接积分法求不定积分,解,许多不定积分先要对被积函数适当变形，根据不定积分,的性质，结合代数和三角公式的恒等变形，直接利用基本积,分公式求不定积分,.,二、利用第一换元积分法,(,凑微分法,),求不定积分,在不定积分的计算中，凑微分法就是根据被积函数，利用,微分形式不变性，,“,凑,”,成一个在基本积分公式中的函数，求,出不定积分,.,凑微分法比较灵活，应该通过较多的训练，将凑,微分法掌握好,.,可以看到，许多不定积分的计算用凑微分法显,得比较简单,.,该方法的一般计算步骤如下：,应用凑微分法时，需注意运用以下几个凑微分思路：,解,解,三、利用第二换元积分法求不定积分,先换元后积分的具体计算步骤如下：,由以上三步组成的方法称为第二换元积分法,.,解,解,解,据题意作图如图,16-1,所示,.,图,16-,1,例,6,示意,解,据题意作图如图,16-2,所示,.,图,16-,2,例,7,示意,四、利用分部积分法求不定积分,如果被积函数是幂函数与指数函数的乘积、幂函数与正,(,余,),弦函数的乘积、幂函数与对数函数或三角函数的乘积以及指数,函数与正,(,余,),弦函数的乘积，就可以考虑用分部积分法,.,表,16-1,分部积分表,解,解法一,据题意作图见图,16-3).,图,16-,3,例,9,示意,解法二,解法三,由此可见，不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运,用积分方法,.,在具体的问题中，常常是各种方法综合使用，,针对不同的问题就采用不同的积分方法,.,五、可变上限的定积分对上限的求导,解,解,解,六、利用换元积分法计算定积分,应用定积分的换元法时，要考虑被积函数的特点，与不,定积分换元法类似，定积分的换元法也包括凑微分、简单根,式代换、三角代换等,.,必须指出换元法中定积分与不定积分不同的是：,解,解,七、利用分步积分法计算定积分,定积分的被积函数的特点与不定积分的分部积分法类似，,但不必先由不定积分的分部积分法求出原函数再用牛顿,-,莱布,尼兹公式求出原函数在积分上限和下限值的差，而直接应用,定积分的分部积分法，可能会使积分简化,.,解,解,八、利用函数的奇偶性计算定积分,解,证,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、凑微分法求不定积分的步骤是什么？,2,、试写出不定积分与定积分在应用换元法时的区别是什么？,4,、熟记微积分基本公式即牛顿,-,莱布尼兹公式,.,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1,、先凑微分，再进行变量代换后积分，最后回代,.,返 回,2,、第一：定积分在换元时，一定要将积分上、下限也作相应,变换,.,第二：不定积分在换元时，要将变量回代；而定积分不需,回代，它是一个数,.,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第五章 定 积 分 的 应 用,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、主要内容,利用,“,微元法,”,推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线弧,长的公式以及利用,“,微元法,”,解决了变力做功、引力、质量和液,体压力等物理方面的问题。,二、重点和难点,“,微元法,”,的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。,三、对学习的建议,在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于,“,微元,法,”,这种数学思想，对于非均匀变化问题，这是求整体量的普,遍方法。,四、本章关键词,微元法,(,二,),常见问题分类及解法,一、求平面图形面积的方法,到目前为止，已经利用定积分的几何意义和定积分的微元,法求得如下面积公式。,1,、在直角坐标系下,2,、在极坐标系下,在具体面积的求解中，可直接利用以上公式，而没有必,要再重复,“,微元法,”,的过程，这样可以简化求解过程。,解,图,17-1,例,1,示意,解,图,17-2,例,2,示意,二、求旋转体的体积的方法,在第十七章，已经利用微元法建立了求旋转体体积的公式,如下：,解,图,17-3,例,3,示意,解,圆的方程为,图,17-4,例,4,示意,在求一般旋转体的体积时，应注意掌握以下规律和求解方法：,三、求平面曲线弧长的方法,解,解,图,17-5,例,6,示意,由曲线方程的形式，确定积分变量、积分区间及相应的,求弧长公式。,注意利用对称性以简化求解过程。,四、求变力做功的方法,例,7,一条长,50m,，质量为,30kg,的均匀链条悬挂于一建筑物,顶部，问把这链条全部拉上建筑物顶端，需做多少功？,解,用定积分的微元法来计算,.,图,17-6,例,7,示意,五、求液体的侧压力的方法,解,图,17-7,例,8,示意,六、引力的求法,解,图,17-8,例,9,示意,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、定积分的几何应用有哪些？,3,、求旋转体体积时，应注意及掌握哪些规律及方法？,4,、请简要说明利用定积分微元法解决物理问题的步骤,.,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1,、求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线弧长等,.,返 回,返 回,返 回,4,、第一步是选变量，定出积分区间,.,第二步是取近似，写出积分微元,.,第三步是求积分，算出要求的整量,.,返 回,返 回,返 回,返 回,第六章 多 元 函 数 微 分 学,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、主要内容,1,、空间解析几何简介,2,、矢量的概念，线性运算及坐标表示，两向量的数量积与,向量积。,3,、平面的点法式与一般式方程，直线的标准式与一般式方,程，曲面与空间曲线，常见的二次曲面。,4,、多元函数的概念，二元函数的极限与连续。,5,、偏导数与全微分。,6,、多元复合函数与隐函数的求导法。,7,、多元函数的极值、最大值和最小值。,二、对学习的建议,本章的第二节和第三节是空间解析几何较深入的内容，学,时较少的专业可以不学或选学，而对有些专业，如计算机专业，,建筑工程专业，应该是必修的内容，为了配合本章内容的学习，,特提出如下建议，供读者参考。,1,、直线、平面方程是用坐标法与向量相结合的方法建立起,来的。学习空间解析几何不仅要熟悉以上图形，更应深入理解,采用数、形结合及运用向量研究空间图形的基本思想和方法。,2,、学习空间解析几何部分，应注意对空间图形想像力的培,养，这也是学习多元函数微分的需要。球面、柱面、锥面及旋,转曲面都比较重要，读者能够根据它们的方程辨认，并画出它,们的图形。,3,、多元函数微分学与一元函数微分学是相对应的，学习,这一部分内容，应注意用对比的方法，先回顾一下一元函数的,有关内容对理解和掌握多元函数相应的内容是有帮助的。,4,、偏导数与复合函数的求导法则是本章的重点，读者务,必理解偏导数的概念及几何意义，并通过较多的练习，熟练、,灵活的掌握连锁法则，确保求导的正确性。,5,、求解最值问题是多元函数微分学的重要应用，应给予,足够的重视。在实际问题求解中，关键是建立函数关系式和约,束条件关系式。建立函数关系式的能力，可通过一些习题来加,强。若求出驻点是惟一的，而最值又存在，则该驻点的函数值,三、本章关键词,就是最值。因此求最值的应用问题，实际上就是求函数的驻,点。,空间解析几何,矢量,曲面与曲线,偏导数,全微分,多元复合函数求导,多元函数极值,(,二,),常见问题分类及解法,一、求二元函数定义域的方法,解,图,18-1,例,1,函数定义域,二、求二元函数偏导数的方法,1,、利用一元函数求导法，只要记住对一个变量求导时，把,另一个变量暂时看作常量就行。,解,2,、二元复合函数求偏导数可引入中间变量，一般抽象的函,数求偏导数也要引入中间变量。,解,注：因函数解析式明显给出，也可直接求偏导。,解,3,、求隐函数的导数或偏导数。,一般有如下三种方法：,解,解,求出函数的二阶偏导数,.,就每一个驻点考察,B,2,-,AC,的正负，判定极值点,.,若有极,值，再根据,A,(,或,C,),的正负判断其为极大还是极小值，进,而讨论极值与最值,.,若是应用问题，需根据题目条件首先写出取极值的目标函,数，求出驻点，若驻点惟一，最值又存在，则此点即为所求，,不需验证，依题意，指出驻点处为最大或最小值即可,.,三、求二元函数的极值与最值的方法,1,、基本步骤,求出函数的一阶偏导数，解出驻点,.,解,解,于是，生产第一种商品,5,单位，第二种商品,3,单位时利润最,大。,(,此题在求出驻点后，也可根据步骤，直接得出结果,!),2,、若是条件极值问题，利用拉格朗日乘数法,其关键在于根据问题写出要求极值的目标函数与条件函,数。构造出拉格朗日函数，求出驻点。之后，根据问题的实,际性，定出极大值或极小值。,解,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,2,、是根据问题写出要求极值的目标函数和条件函数,然后,构造函数求驻点,根据问题的实际性,求出极值,.,返 回,3,、正确,.,返 回,4,、偏导数存在且连续是函数可微的充分条件，而偏导数存在,是函数可微的必要条件,.,返 回,返 回,返 回,返 回,第八章 概 率 论 初 步,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、本章主要内容,1,、概率的统计定义、古典定义及性质，概率的加法及乘法,公式，全概率公式，贝努里概型及其计算公式,.,2,、事件的相互关系,.,3,、随机变量的定义及其分类：离散型随机变量和连续型随,机变量,.,4,、离散型随机变量及其概率分布，几种常用的离散型随机,变量的概率分布：两点分布、二项分布和泊松分布,.,5,、连续型随机变量及其概率密度函数，几种常见的连续型随,机变量的概率密度函数：均匀分布、指数分布和正态分布,.,二、本章重点、难点内容,1,、求解古典概型的应用题,.,2,、求分布函数,.,6,、分布函数的定义、性质以及几种常见的分布函数,.,7,、数学期望的定义、性质以及常见分布的数学期望,.,8,、方差的定义、性质以及常见分布的方差,.,3,、求数学期望与方差,.,三、对学习的建议,1,、注意复习有关初等数学中的排列组合方面的知识，这样将,十分有利于本章内容的学习。,2,、随机变量是一个重要的概念，请注意它的性质与分类，,重点是连续型随机变量。分布函数是把离散型和连续型,两种随机变量统一起来的一种形式，它有助于研究随机,变量的统计规律性。,3,、在几种常见的随机变量分布中，最重要也最常见的是正,态分布，请注意一般正态分布与标准正态分布的密度函,数的性质、关系，如何进行概率的计算，包括互换关系,计算。,四、本章关键词,概率的古典定义,概率性质,随机变量,分布函数,数学期望,方差,(,二,),常见问题分类及解法,一、古典概型的计算,常遇到的古典概型问题大致可分三类，下面分别举例说明,.,1,、随机抽物问题,例,1,设有,8,件产品，,6,件正品，,2,件次品,.,随机抽取,2,次，,每次取出一件产品，分有放回抽取和无放回抽取两种情况，,求：,2,件全是正品的概率；,2,件产品中，一件是正品，,另一件是次品的概率；,2,件产品中至少有一件是次品的概,率,.,解,(1),有放回抽取,.,(2),无放回抽取,.,2,、随机取数问题,例,2,从,0,1,2,3,9,这,10,个数字中随机取出一个数字，,取后再放回，连续取,3,次，求下列事件的概率,:,(1)A,1,=3,个数字全不同,；,(2)A,2,=,不,含,0,和,2,；,(3)A,3,=1,恰好出现,2,次,；,(4)A,4,=1,最多出现,2,次,.,解,有放回地从,10,个数字中随机取,1,个数字，连续取,3,次所,包含的基本事件总数,n,=,10,3,.,2,、质点入格问题,解,二、利用事件独立性分析问题,1,、线路的可靠性分析设线路是由,n,个元件按一定的方式连接而成，各元件是,否工作正常相互独立，整个线路的可靠性依赖于各个元件的可,靠性及各元件间的连接方式,.,(1),串联线路,(,见图,20-1),图,20,-,1,串联线路,(2),并联线路,(,见图,20-2),图,20,-,2,并联线路,(3),混联线路,由于混联线路是由元件经过串联和并联而成，故其可靠,性可通过具体分析而得,.,图,20,-,3,混联线路,解,2,、贝努里概型,(,独立试验序列概型,),解,三、离散型随机变量分布函数的求法及应用,解,四、连续型随机变量分布函数的求法及应用,解,五、一般正态分布的概率计算,一般正态分布的概率计算，可通过变量替换，将其化为,标准正态分布的概率计算，其换算式为,解,六、数学期望的计算,在计算数学期望时，会经常用到下列性质,(,设,EX,，,EY,均存在，且,a,为常数,),，以简化某些运算：,解,解,七、方差的计算,解,解,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、试写出概率加法公式、乘法公式，特别地两事件互斥、,2,、什么叫做随机变量？,3,、随机变量的什么要素是我们主要研究的？,4,、所有概率分布中最重要的分布是什么？它有何重要的,相互独立时的加法、乘法公式又如何？,理论地位？,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,第九章数 理 统 计 基 础,(,一,),本 章 内 容 小 结,(,二,),常见问题分类及解法,(,三,),思 考 题,(,四,),课 堂 练 习,(,一,),本章内容小结,一、本章主要内容,1,、几个基本概念：总体、样本、样本容量、样本观测值、,简单随机抽样、简单随机样本。,2,、统计量的定义及其分布，几个常用的统计量。,3,、参数估计的定义以及估计量的评选标准：,(1),无偏性；,(2),有效性。,4,、区间估计的定义；置信区间的计算。,5,、假设检验的原理、步骤及方法。,二、本章重点、难点内容,1,、怎样进行区间估计。,2,、怎样进行假设检验。,3,、怎样构造合适的统计量。,三、对学习的几点建议,1,、概率论是数理统计的基础，请读者一定要把基础打好，,在学习数理统计的过程中，及时复习相关的概率知识。,2,、数理统计的基本任务是应用概率论的知识从局部推断,整体，从而揭示随机现象的统计规律性；基本思想是,从样本出发，对样本进行,“,加工,”,结合具体问题构造,“,合,适,”,的统计量，并讨论它们的分布，再通过参数估计和假设,检验等统计推断方法对总体作出判断。,四、本章关键词,简单随机样本,统计量,参数估计,假设检验,(,二,),常见问题分类及解法,一、区间估计中置信区间的求法,解,解,解,二、假设检验的方法,假设检验的一般步骤如下：,假设检验的关键是统计量的选取，现将正态总体的有关检验,问题及统计量的选取方法见表,21-1,。,表,21-1,正态总体假设检验,在显著水平,下的拒绝域,统计量服从的分布,选用统计量,选取条件,假设,:,=,0,原假设,H,0,解,提出原假设：,(,三,),思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1,、理解统计量的概念,.,2,、数理统计区别于一般的统计的是什么？,3,、假设检验的推断原理是什么？,(,四,),课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,