1、2．1．1椭圆及其标准方程
（一） 教学目标
1． 知识目标
（1） 理解椭圆、焦点、焦距的定义。
（2） 掌握椭圆标准方程的推导过程。
（3） 会求一些简单的椭圆的标准方程。
2． 能力目标
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，使学生体会数形结合思想，对称的思想，转化的思想，以及在确定标准方程中通常用的待定系数法。
3． 情感目标
通过椭圆定义及标准方程的推导，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，体会运动变化、对立统一的思想。
（二） 重点难点
重点：椭圆的
2、定义及椭圆的标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导。
（三） 教学方法
1． 用教具演示椭圆的形成过程，然后采用观察、分析、合作的教学方法总结椭圆的定义。
2． 对椭圆标准方程的推导，采用学生自主探究，教师指导的教学方法。
（四） 教学过程
教学内容
设计意图
一. 椭圆的定义
1. 情景引入
2003年12月30日凌晨,”探测一号”赤道卫星从我国某卫星发射基地升空,准确进入预定轨道环绕地球运行,揭开了我国实施”地球空间双星计划”的序幕.(同学们知道”探测一号”的运行轨道是什么形状吗?)
用圆柱形玻璃杯盛半杯水,当杯体直立时,水面的边界是一个圆,当杯体倾斜一个角度时(水面与
3、杯壁四周都相交),水面的边界会变成另一种曲线,这一曲线的形状是什么?
2. 操作得到椭圆
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在画板上慢满移动,就可以画出一个椭圆.
3. 归纳定义
通过上面的演示让大家想一下怎样归纳一下椭圆的定义.
定义:平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
卫星是大部分同学都比较感兴趣的事物,卫星的引入可以大大调动学生求知的渴望.而杯中水的形状,让学生对椭圆有一个更加直观的认识.
通
4、过实际操作得出椭圆,加深对椭圆的理解,提高学生的学习兴趣.
思考与讨论:若到两焦点的距离之和(设为2a)等于或小于| F1F2|时,会得到怎样的轨迹呢?(学生回答)
归纳:当2a=2c时,轨迹是线段F1F2;
当2a<2c时,轨迹不存在.
二．椭圆的标准方程
已知椭圆的焦点为F1和F2, =2c椭圆上任意一点到焦点的距离之和等于常数2a,其中a>c.
1. 建立直角坐标系
以过焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
O
y
x
F1
F2
5、
· M(x,y)
2. 推导
设M (x,y)是椭圆上的任意一点,则由椭圆定义得:
+=2a
又= =
∴+=2a
指导学生自己解决含有两个根式的等式.请一名学生上黑板扮演,其余的下面完成.
学生加深对距离之和大于定长的理解。不满足此条件那就不是椭圆.
在直角坐标平面上,直线和圆都有相应的方程,从而可以用代数方法研究它们的几何性质,椭圆的方程也是需要借助直角坐标系得出.
提示:先将一个根式放左边,其余的放右边,平方.整理后再将根式放左边,其余的放右边,平方.
整理后得: (a2-c2)x2+a2y2= a
6、2 (a2-c2)
为使方程对称和谐,引入b(b的几何意义下节课讲).
a2-c2=b2 a>b>0
原等式则化为+=1 (a>b>0),这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
3. 例题
例1 判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是F1 （－4，0）， F2 （4，0）椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。
三. 归纳小结
1. 定义: 平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆
2. 标准方程: +=1 (a>b>0)
体现了对称与转化的思想.
在这里一定注意:
b2+c2=a2及a>b>0
学生口答
师生共同完成
学生完成
主要是让学生自己回顾,对所学知识进行归纳总结,老师进行必要的补充.让学生学会学习学会反思.
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