利用轴对称变换求最小值应用举例.doc

利用轴对称变换求最小（大）值应用举例 姓名
纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。因此，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。
一、课本原型：
如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？
解：如图（2）①，只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。
证明：如图（2）②，在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，
因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。

②
①

二、应用和延伸：
例1、（七年级作业本题）如图（3），
∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。
解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2 ，
连结P1、P2交OB、OA于M、N，
此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）

例2图

例2、如图，A到直线L的距离AC＝3千米，B到直线L的距离BD＝1千米，并且CD＝4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。
解：如图所示，只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，
在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为4千米。

三、迁移和拓展：
例3、(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）
（A） 6a , (B) 5a,
(C)4a (D)2a 。
解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以选（D）。
例4、如图（7）， 在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=_ ___.（你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X= ？)

图（8）

图（7）

解：如图（8），只要画出点Q关于X轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交X于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。
（四）、思考与练习：
1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（9），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，
在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则①△PQR的周长最小值是____________。
（提示：同例1方法，答案：P1P2=10）。
②当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=_________。（答案：900）
2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是_______________。（同例4方法）
3、（2006宁波市阳光杯）已知点A（1，3）、B（5，－2），在x轴上找一点P，使 最大，则满足条件的点P的坐标是 。（提示：结合例4，用引例的思想方法）
4、（北京市中考题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。
提示：要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。

5、（希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD中，∠DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是______。
（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是）。
6、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）
（提示：同例2方法）
（A） 4+英里 （B） 16英里
（C） 17英里 （D） 18英里

7、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值= ,这时PB= （与例3类似，这个值为）。
8、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是______________.
（先画图，再用字母表示）。（提示：，用例1方法）

9、（温州2001年中考题）如图（16），⊙O的直径AB=2，⊙O的半径OC⊥AB，点D在AC(⌒)上,AD(⌒)=2CD(⌒)，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是__________。（用例3的方法）
10、（湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最小时，比值为______________。
（因为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。画点A关于X轴的对称点A1，点B关于Y轴的对称点B1，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。）
11．如图3，在等腰三角形中，，点是底边上一个动点， 分别是的中点，若的最小值为2，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
A
B
C
P
M
N

图3

12.如图，在锐角三角形中，AB=4，∠BAC=450，∠BAC的平分线交BC于D，M、N是AD上的动点，则BM+MN的最小值是
18．（08鄞州）五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为（ ）
A 2 B 2 C 4 D 5

这时∠AMN﹢∠ANM的度数=
13. （2012余姚末26）ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆。
（1）P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，PB，求证：AD=BP。
（2）在（1）的条件下。若∠CPB= 135°时，则BD= ；
（3）在（1）的条件下，当∠PBC= °时，BD有最大值，且最大值为 ；
当∠PBC= °时，BD有最小值，且最小值为 .

寒假作业P.6，第25题

19．已知△ABC中，∠A=20o，AB=AC=20cm，M、N分别为AB、AC上两点，求BN+NM+MC的最小值。

5*．如图所示，已知中，，， ，分别是三边上的点，则的最小值为…………………………………（ ）
（A） （B） （C）5 （D）6
作AB、BC的轴对称图形，转化为求菱形的高

6*如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，
C在OM上的任意一点，B是ON上的任意一点，则折线ABCD的
最短长度为 。

18．如图，在矩形ABCD中，AB=20厘米，AD=10厘米，若在AC，AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小．

14．（05奉化）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（4，2），B（5，7）。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若抛物线与x轴交于点C(x1，0)和D(x2，0)，顶点为M，
且x1＜x2，求ΔMCD的面积。
（3） 问在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ΔPAB的周长最小？
若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

15.（2012余姚末18）已知抛物线经过A（4,0）。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD –CD |最小。
16．如图，A、B是直线a同側的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

17．已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为 ．

13．（2006年贵港市中考题）如图，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，千米，直线与的夹角，开发区到的距离千米．
（1）求新开发区到公路的距离= 千米；

（2）现要在上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值．

11．如图，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外A点爬到桶内B点去寻找食物，已知A点到桶口的距离AC为12㎝，B点到桶口的距离BD为8㎝，弧CD的长为15㎝，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路程是多少？

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