函数项级数的一致收敛性.doc

第三节　函数项级数的一致收敛性

本节将讨论函数项级数有关性质。
定义 1 设 ，，……，，……，是集合E上的函数列，我们称形为
++……++……
为E上的函数项级数，简记为 。其中称为第n项.
++……++……也记为. 记号中n可以用其它字母代之.
同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。
定义 2 设是集合E上的函数项级数，记
=++……+，
它称为级数的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. 称为的部分和函数列。
如果在点收敛，我们也说在点收敛或称为该级数的收敛点。
如果在点收敛，我们称在点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一定收敛。
的收敛域也称为该级数的收敛域。如果在点不收敛，我们说在点发散。
如果在D上点态收敛于，我们称在D上点态收敛于. 称为该级数的的和函数。称为该级数关于前n 项部分和的余项. 称为该级数的余项函数列.
如果在D上一致收敛于，我们称在D上一致收敛于，或在D上一致收敛. 如果在D上内闭一致收敛于，我们称在D上内闭一致收敛.
用的进行叙述将是：
设是D上函数项级数，是D上函数。 若对任意>0，总存在一个正数正数N（只能依赖于，绝对不依赖于x），当时，对一切的，总有
，
则称该函数项级数在D上一致收敛于.
同样一致收敛一定点态收敛.

例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数）

的部分和函数是 .显然当|x|<1时
.

时，几何级数是发散的。其收敛域是（—1，1）. 显然几何级数在（—1，1）上不是一致收敛的.
函数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数.
定理11. 8 （函数项级数一致收敛Cauchy准则）函数项级数在集合D上一致收敛的充分必要条件是： 对任意ε>0,总存在正数N，使得当正整数m，n，有 m>n>N时，对一切的x∈D,都有
。 .

推论 在D上一致收敛的必要条件是在D上一致收敛于0。 反之未必（请读者举例）.
定理11. 9 在D上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列一致收敛于0.
定理11. 10 （Weierstrass判别法）设是收敛的正项级数，是D上的函数项级数。如果，则在D上一致收敛。
证明 因正项级数收敛，所以，任意>0，存在正数N, 当 (m>n) 时,
.
那么对任意 ，
由Cauchy准则，得证。
例 在（—∞，+∞）上一致收敛。
定理11. 11 （Abel判别法）设函数项级数在D上一致收敛，函数列在D上一致有界，即存在常数M, 使得，，，如果关于n是单调的，那么 在D上一致收敛。
证明 因一致收敛，所以任意>0，存在正数N 当 (m>n) 时,
对所有 。
又 .
由一致收敛Cauchy准则即证。
定理11. 12 （Dirichlet判别法）设D上函数项级数的部分和函数列在D上一致有界，函数列在D上一致收敛于0，如果关于n是单调的，那么 在D上一致收敛。
证明 因的部分和函数列在D上一致有界, 所以存在M>0,使得满足, 所以 . 又在D上一致收敛于0，所以任意>0，存在正数N, 当 时, 对所有。当 (m>n) 时, 对所有
.
又由Cauchy一致收敛准则即证。
例 如果常数列单调收敛于0，那么在（0，2π）上内闭一致收敛。
证明 数列收敛于0意味着关于x一致收敛于0，对任意（0，2π）的子集[a, b],
当记 M=min{ }>0, 则任意[a, b]中的x，有 .
所以 .
由Dirichlet判别法知道，原级数在（0，2π）上内闭一致收敛.
下面将给出与函数列相应的一些性质，不于证明：
定理11. 13 （连续性）若函数函数项级数的每一项在区域D上都连续。如果在D上一致收敛于，则其和函数在D上也连续。即
.
定理11. 14 （逐项可积性）设函数列在上一致收敛，每一项在上都连续, 则
.
即积分与无限求和运算可交换。
定理11.15 （逐项可微性）设函数列在上满足：
（1） 有连续导函数；
（2）点态收敛于；
（3）一致收敛于，

则在上可导，并且
，
即
.
也就是说在一定条件下，求导运算与无限求和运算交换顺序。
定理11. 16 设函数项级数 在区域D上点态收敛于，如果
（1） 在 D上连续；
（2）在D上连续；
（3）对D上每个固定的x， 不变号，则 在D上一致收敛于.
习题 11-3
1. 判别下列级数的一致收敛性
1） ； 2）
3） 4）；

2. 设在(0, 1 )里单调增加, ≥0, (n=1,2,……). 如果在 (0, 1 )里点态收敛,且有上界, 那么在(0, 1 )里一致收敛. 且

3. 证明 当x ≠整数时收敛, 其和函数是为1的周期函数, 并且当x ≠整数时, 和函数连续.
4. 设在[a, b]上连续(n=1,2,……), 在 (a, b1 )里一致收敛, 证明在[a, b] 上一致收敛.
5. 设是(0, 1)中的两两不同的数列, 讨论在(0, 1)中的连续性.
其中 .

6. 证明在(0,+∞)上， 在[0，1]上非一致收敛.
7. 证明在(0,+∞)内收敛, 但非一致收敛, 而和函数在(0,+∞)内有无穷次导数.
8. 证明在x>1内连续。

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