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第一章 集合与命题
一、集合
1．1 集合及其表示法
一、 综合导学
（一） 集合及其表示法的重点和难点：
重点：（1）元素与集合之间的关系。
（2）元素的三个性质。
（3）几个特殊的集合。
（4）集合的分类。
（5）集合的表示方法。
难点：（1）集合的概念。
（2）用描述法表示集合。
（二）难点分析：
1、集合的概念没有确切的定义。
2、元素和集合只有两种关系：属于和不属于。
3、元素的确定性是指集合中元素必须是确定的。如：{比较大的数}不能构成集合，因为元素不确定。
4、空集和是不同的。
5、描述法中：表示以为元素的集合；表示以为元素的集合；表示以有序数对为元素的集合。
二、 典型例题解析
例1、 设都是非零实数，试用列举法将可能取得值组成的集合表示出来。
分析：讨论的正负。
解：当都是正数时，原式等于3；当仅有一个正数时，原式等于；当都是负数时，原式等于。故所求集合为
说明：由集合元素的无序性可知：
例2、集合，，又，则有（ ）
（A） （B）
（C） （D）不属于A、B、C中任意一个
分析：A中元素的性质是：被2整除的数；B中元素的性质是：被2除余1的数；C中元素的性质是：被4除余1的数。
解：因为，所以存在使得，又，所以存在使得，则，而 所以。
说明：怎样判断集合中以何为元素？只要看分隔符前的字母即可。
例3、 已知集合
（1） 若A是空集，求的取值范围；
（2） 若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
（3） 若A中最多只有一个元素，求的取值范围。
分析：注意方程未必是一元二次方程，应分类讨论。
解：集合A是方程在实数范围内的解集。
（1） A是空集，即方程无解，得所以。
（2） 当时，方程只有一个解为；当时，即时，方程有2个相等的实根，这时A中只有一个元素为。所以当或时，A中只有一个元素，分别为或。
A中最多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情形。由(1)、（2）可得或。
例4、设是整数，集合，点E，但点，求的值。
分析：集合E是有序数对构成的点集，考虑到是整数可以求得解。
解：因为E，所以 （1）
因为所以 （2）
因为，所以 （3）
由（1），（2）得，展开并整理得。
由（1），（3）得。所以。
又是整数，所以。代入（1），（2）得，所以。
综上所述，。
说明：不等式具有传递性：即若且，则。

三、 理解与巩固
（一） 填空题
1、 方程的解集可表示为＿＿＿＿＿＿。
2、 设，且，，则＿＿＿， ＿＿＿＿＿＿。
3、 已知若，则＿＿，＿＿。（填或）
4、 已知，则用列举法表示＿＿＿＿＿＿。
5、 若，则＿＿＿＿。（填或）
（二） 选择题
6、集合是指（ ）
（A）第二象限内的点； （B）第四象限内的点；
（C）第二象限或第四象限内的点； （D）不在第一象限、第三象限内的所有点。

7、下列集合中，无限集的个数是（ ）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

8、如果，那么下列说法正确的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
（A）只有（1） （B）（1）和（3） （C）只有（2） （D）（2）和（4）

（三） 解答题
9、用列举法表示下列各集合：
（1）
（2）
(3)

10、用符号或者填空：
（1） 1＿＿N， 0＿＿N， ＿＿N， ＿＿N， ＿＿N；
（2） 1＿＿Z， 0＿＿Z， ＿＿Z， ＿＿Z， ＿＿Z；
（3） 1＿＿Q， 0＿＿Q， ＿＿Q， ＿＿Q， ＿＿Q；
（4） 1＿＿R， 0＿＿R， ＿＿R， ＿＿R， ＿＿R。
11、设都是非零实数，试用列举法将可能取得值组成的集合表示出来。

12、已知集合，，并且，求的值。

1．2 集合之间的关系
一、综合导学
（一） 集合之间的关系的重点和难点：
重点：子集、真子集、集合相等的概念。
难点：判断集合之间的关系。
（二） 难点分析：
（1） 子集、真子集的证明。
（2） 集合相等的证明。
（3） 子集、真子集的个数问题。
二、典型例题解析
例1、 选用适当的记号表示与0，0与，与之间的关系。
分析：由概念出发，区分元素与集合、集合与集合之间的关系所用的不同数学符号。
解：为空集，不含任何元素，因此0不是中的元素，即；
是一个单元素集合，0是它的元素，因此有；
和都是集合，空集是任何非空集合的真子集，所以
说明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若，不要忘了考虑A为空集的情况。

例2、 若集合,,则( )
(A)A=B (B) (C) (D)A与B无相同的元素
分析：考察集合A、B中的元素，可判断集合A、B的关系。
解：因为集合A中的任意一个元素
，（）即，所以。
又但，所以。
说明：若集合A是集合B的子集，在判断集合A是集合B的真子集时，只要在集合B中找出一个元素不属于集合A即可。

例3、 设集合，。若，求实数a的取值范围。
分析：将集合A、B化简，利用数轴可将问题简单化。
解：，
由得，即，所以
故，因为，所以解得
所以实数a的取值范围是。
说明：若，则解即可。（显然）

例4、 设集合不是空集，，
，且，求实数a的取值范围。
分析：集合B、C均表示函数值的取值范围。
解：由题设知：
当时，
当时，
当时，
由于所以或或
得 或 即
所以的取值范围是
说明：由于是一次函数，故根据集合A可直接写出的范围集合B。但（）写出集合C时必须对进行分类讨论。

四、 理解与巩固
（一）填空题
1. 若，则的值为______________。
2. 集合M=满足，则所取的一切值为集合中有________个元素。
3. 满足的集合M共有________个。
4. 集合，，其中且，则q=_____________。
5. 集合A=，且B=且AB。则实数a 的取值范围是_____________。
（二）选择题
6、下列写法正确的是 （ ）
（A） （B） （C）0 （D）0
7、集合,集合,则A与B的关系是( )
(A) (B) (C) (D)
8、已知集合，，且，那么的取值范围是（ ）
（A） （B）或
（C） （D）或
（三）解答题
9、（1）已知集合，分别写出集合A的所有子集，所有真子集，所有非空真子集。
（2）集合有多少个不同的子集？
10、设，，求的值。
11、已知集合，若，求实数p的所有元素的集合。
12、已知，，求证：A=B

1. 3集合的运算
一、综合导学
(一) 集合运算的重点和难点：
重点：交集的概念、集合的交运算；并集的概念、集合的交运算；补集的概念和运算。
难点：交集、并集、补集的理解。
（二） 难点分析：
（1） 交集的本质特征是“且”
（2） 并集的本质特征是“或”
（3） A的补集包含全集U中所有不属于集合A的元素。集合A的补集是相对全集U而言，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。
性质：
（1）
（2）若，则
（3）
（4）若则
（5），，

二、典型例题解析
例1、 若集合，。问：何值时，？
分析：
解：，A的子集有
将或代入均可得
但若，则，所以
故本题的解为或。

例2、 集合，
（1） 若，求的取值范围；
（2） 若，求的取值范围。
分析：一般来说，这样的题目均应画数轴观察。
解：（1） ，即
要使B包含A，必须落在“3”的右方，即。

（2） 使， 必须落在“1”的左方，
若 ，则，此时
所以 的取值范围是。

说明：数形结合在集合运算中是一个重要的思想方法。

例3、 满足条件的集合A有多少个?
分析：集合A必须含集合中的所有元素。
解： 且
由于满足条件的集合B有8个，所以满足条件的集合A有8个。
说明：集合的子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空真子集有个。
例4、 已知集合，，，且，，求实数和的取值范围。
分析：由于，对C为空集要分类讨论。
解：由可知，由方程得或，
所以
方程的两个根为1或，
所以B中元素可能为1或2；
当，即时，；
当，即时，
所以的值为2或3。
又由可知
那么C中元素有3种可能性：
若方程有两个不同的根1或2，则；
若方程有两个相同的根，则，，此时方程的根为，则，故；
若方程无实根，即，时，，满足。
所以 或。
说明：欲求或，只有从，中去确定B与A或C与A的关系，从而再判断B，C中元素的可能性，求得或；另外不能记为，因为可能为1。
例5、已知，，当为何实数时。
解：因为，所以方程组 无解。
若，可得，化简得： （1）
若，方程（1）左边为0，右边不为0，所以方程（1）无解，从而方程组无解；
令（1）中得。解得或
因为方程组中，所以或时方程组无解。
综上所述：，或时，

例6、设全集U={x|0根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．
分析：使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合为B，有且只有一个命题成立是求A∩与的并集．
解：使命题甲成立的条件是：

∴ 集合A={m|m>2}．
使命题乙成立的条件是：
=16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3．
∴ 集合B={m|12}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；
　　若为（2），则有：={m|1可知所求m的取值范围是{m|1
5、 已知集合M=,N=则=________________。
（二） 选择题
6、如果，，那么（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、已知M＝{（x,y）| x＋y ＝ 2}，N＝{（x,y）| x－y ＝ 4}，则M∩N＝（ ）
（A）x＝3，y＝－1 （B）（3，－1） （C） {3，－1} （D） {（3，－1）}
8、已知集合，集合，下列正确的关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（三） 解答题
9、已知,且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
10、集合,，求A∪B和A∩B.

11、设A={x|－21}，，已知A∪B={x|x>－2}, A∩B={x|1则CU A＝ 。 CUB＝ 。
（3）非空集合且A满足条件：若a∈A，则7－a∈A，符合要求的集合的个数为_____________。
  （4）已知集合,，且A∪B=A，则a的值为________________．
（5）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________．
（二）选择题
（6）已知全集为U，集合M与N间有关系，那么下列必定成立的式子是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知全集U＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则（ ）
（A） U＝A∪B （B） U＝ （C） （D）.
（8）设全集为R，，是常数），且11∈B，则（ ）
（A） （B）A （C） （D）
（三）解答题
（9）已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{ （x,y） | xM，yN}，B＝{（x,y） | xN，yM }，求A∩B和A∪B。
（10） 已知U＝{－1，2，3，6}为全集，集合,，若,求m的值。
（11）已知集合，B=；全集为R，求， ，，
（12）已知集合，集合
（1）若，求实数的范围；
（2）若，求实数的范围。

二、四种命题的形式
1．4命题的形式及等价关系
一、综合导学
(一) 重点和难点：
重点：命题的证明，推出关系，命题的四种形式、等价命题。
难点：真假命题的判断与证明，写出一个命题的另外三种命题形式。
（二）难点分析：
（1）要证明一个命题是假命题，通常只要举一个反例（满足命题条件，而不满足命题的结论）即可。
（2）用直接法证明命题正确，即从已知条件出发，依据所学过的公理、定理、公式进行逐步推理，从而得出结论。
（3）用推出关系表述用直接法证明命题正确：先设法找出一连串与所要证明命题有关的正确的命题，，••••••，；再由推出关系的传递性就可得。
（4） 如果从命题甲可以推出命题乙，从命题乙也可以推出命题甲，则称这样的两个命题为等价命题。
（5） 原命题和它的逆否命题同真同假；如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是等价命题。
二、典型例题解析
例1、 判断下列命题的真假，并说明理由。
（1） 如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根；
（2） 如果一元二次方程有实数根，那么；
（3） 一个有理数与一个无理数的和是无理数；
（4） 设，如果是c的倍数，那么中至少有一个c的倍数。
解：（1）对于方程，因为，所以。又因为，所以。所以方程有实数根，因此（1）是真命题。
（2）是假命题。举反例：方程中，，所以方程有实根，而。
（3）是真命题。用反证法证明：设，，，，假设，由有理数定义知，， （，且），因为，所以
由于，所以，这与已知矛盾，所以假设是错误的，所以。
（4）是假命题。举反例：取，是的倍数，但都不是c的倍数。
例2、写出命题：“若两个实数的积不是无理数，则这两个实数都不是无理数”的逆命题，否命题，逆否命题。
解：逆命题：若两个实数都不是无理数则两个实数的积不是无理数；
否命题：若两个实数的积是无理数，则这两个实数至少有一个是无理数；
逆否命题：若这两个实数至少有一个是无理数，则两个实数的积是无理数。
说明：写原命题的其它形式时，应注意关键语句“若”、“都是”、“不都是”等用法。
例3、判断命题“如果，那么”的真假，并说明理由。
解：所给命题的逆否命题为：“如果，那么。”
因为，所以，故逆否命题是真命题。由原命题和逆否命题是等价命题，得原命题是真命题。
说明：本例可直接证明原命题正确：因为，即，所以且，故有。
例4、设命题p: 若m>0，则关于x的方程x2+x-m=0有实数根。试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假。
　　 解：否命题：若m≤0,则关于x的方程x2+x-m=0无实数根。
　　 逆命题：若关于x的方程x2+x-m=0有实数根，则m>0。
　　 逆否命题：若关于x的方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0。
　　 ∵ Δ=1+4m, ∴ 时方程有实数根。
　　 ∵ m>0时，，∴ 方程有实数根，∴原命题为真，逆否命题也为真。
但方程有实数根，，却推不出m>0，∴逆命题为假，否命题也为假
例5、 写出(1)命题：“若x+y≤0，则x≤0或y≤0”的否命题。
　　 (2)命题：“在整数范围内，a,b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题。
　　 解：(1)否命题是：若x+y>0，则x>0且y>0。
　　 (2)逆否命题是：在整数范围内，若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数。
　　 说明：(1)“x≤0或y≤0”的否定是“x>0且y>0”，注意与集合性质的比较：　　
(2)“a,b是偶数指“a,b都是偶数”，其否定为“a,b不都是偶数”。
三、理解与巩固
（一） 填空题
1、 设原命题是为“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________________________________________________________;
它的逆命题为______________________________________________________;
否命题为________________________________________________________;
逆否命题为_________________________________
2、判断下列命题的真假
    ①3≥3；  _________
    ②100或50是10的倍数； _________ 
    ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；  _________
    ④等腰三角形至少有两个内角相等．  _________
    3、把下列命题改写成“若p则q”的形式
    ①对顶角相等 ___________________________
    ②平行四边形的对角线相交于一点且互相平分
______________________________________________________
    ③偶数能被2整除
______________________________________________________
④二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若判别式△>0，则方程有两个不等实根．
_____________________________________
    4、x2>4______x3<-8；|x-2|<3________x2-4x-5<0 （用连接）
5、判断下列各题的真假，真填T，假填F 
    ①矩形的对角线互相平分（ ）；
    ②0是最小的自然数（ ）；
    ③0既不是奇数，也不是偶数（ ）；
④三角形内角和等于180°（ ）；
（二）选择题
6、命题“若∠A=60°，则ΔABC是等边三角形”的否命题是（ ）。
　 （A）假命题 　 （B）与原命题同真或同假
　 （C）与原命题的逆否命题同真或同假 　 （D）与原命题的逆命题同真
　　7、命题“若a>b，则a-5>b-5”的逆否命题是（ ）。
　 （A）若ab-5，则a>b
　 （C）若a≤b，则a-5≤b-5 （D）若a-5≤b-5，则a≤b
　　8、下列各组中的两个命题互为等价命题的是（ ）。
　 （A）A∩B=A与A∪B=B 　 （B）a∈A与a∈A∪B
　 （C）a∈A与a∈A∩B 　 （D）a∈A∩B与a∈A∪B

（三）解答题
9、设原命题是“若x=2或x=3，则x2-5x+6=0”，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题。
10、把下列命题写成“若p则q”的形式
 ①到圆心距离等于半径的点在圆上     ②两个有理数的商仍为有理数
11、证明：若a2+2ab+b2+a+b-2≠0，则a+b≠1。
12、求证：在同一平面内，和平行线中一条相交的直线，与另外一条也相交．
    已知：直a∥b，直线c与a相交    求证：b与c相交
三、 充分条件与必要条件
1．5 充分条件，必要条件
一、综合导学
(一) 重点和难点：
重点：充分条件，必要条件和充分必要条件。

难点：充分条件，必要条件和充分必要条件的判断。
（二） 难点分析：
（1）对于“若p则q”形式的命题，如果已知pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）　如果既有p q，又有q p，则记作p q，就说p是q的充要条件，也可以说q是p的充要条件，或者说p和q互为充要条件。
（3）若pq，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
（4）从命题的角度看，原命题和逆命题都成立，命题中的条件是充要条件。
（5）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断。
（6）要证明命题的条件是结论的充要条件既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
二、典型例题解析
例1．指出下列各题中，p是q的什么条件？
　　(1) p: 03)∵且，∴p是q的充要条件。
　　(4)∵ pq且q p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。
　　例2．设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么（　 ）。
　　A、丙是甲的充分非必要条件　　B、丙是甲的必要非充分条件
　　C、丙是甲的充要条件　　　　　D、丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
　　解：这里应根据充要条件的概念作判断
　　由已知有甲 乙，丙 乙且乙 丙。于是有丙乙 甲，且甲 丙（否则若甲 丙，而乙甲丙，与乙 丙矛盾）。故丙甲且甲 丙，所以丙是甲的充分非必要条件。本题应选A。
　　例3．已知h>0，设命题p为：两个实数a, b满足|a-b|<2h，命题q为：两个实数满足|a-1|的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件。
　　证明：（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,
　　 ∵ ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根。
　　（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，则x1·x2=<0，∴ ac<0。
　　 由（1），（2）知ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件。
例5．设a∈R，求关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根的充要条件。
解：方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根x1与x2,

　　　　解得 14, b<5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的_____条件。
3）指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)：
　　1) p:(x-1)(y-2)=0　　q:(x-1)2+(y-2)2=0。________________________________
　　2) P:a2+b2>2ab　　q:|a+b|<|a|+|b|。 ________________________________
（4）x＞3是x＞5的________________条件。
（5）若p是Q的充分条件，Q既是R的必要条件，又是S的充分条件，R是S的必要条件，　　则S是P的___________条件；P是R的_____________条件；S是Q的_____________条件。
（三） 选择题
（6）“a>b”是“a2>b2”的（ ） “a=b”是“ac=bc”的（ ）
    “a>b”是“ac2>bc2”的（ ） “a>b”是“a+c>b+c”的（ ）
“|x|>1”是“x>1”的（ ） “x=1”是“x2-2x+1=0”的（ ）
（A）充分条件   （B）必要条件  （C）充要条件   （D）非充分非必要条件
（7）a2-2ab+b2=0是a=b的（  ）
（A）充分条件 （B必要条件  （C）充要条件 （D）非充分非必要条件 C
（8）“在△ABC中，a2+b2=c2”是“△ABC为以C为斜边的直角三角形”的（   ）
（A）充分条件 （B）必要条件  （C）充要条件 （D）非充分非必要条件　　
（四） 解答题
（9）(1)写出|x|<2的一个充分不必要条件　　(2) 写出x>-1的一个必要不充分条件　(3) 写出的一个充要条件
（10）已知p: x2-8x-20>0, q: x2-2x+1-a2>0, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围。
（11）证明：实系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实根的充要条件是
　　 b2－4ac＞0
（12）若，。试证明“”是“”的一个充分非必要条件，并说明理由。

集合与命题单元练习
一、选择题
1、 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
（A） 好看的书 （B） 高尔基写的书
（C） 学校图书馆的藏书 （D） 语文书、数学书、英语书
2、 下列命题中正确的是（ ）
（A） 集合{x | x2＝1,xR}中有两个元素 （B） 集合{0}中没有元素
（C） （D） {1，2}与{2，1}是不同的集合
3、 已知U为全集，集合，若M∩N＝N，则（ ）
（A） （B） C） （D）
4、 下列表述正确的是（ ）
（A） {0}＝φ （B） 0∈φ （C） φ∈{φ} （D）
5、 已知集合M＝｛0，1｝，N＝｛1，2｝，则M∪N＝（ ）
（A） {0，1，2} （B） {1，0，1，2} （C） {1} （D）不能确定
6、 设集合，集合，集合M∩N＝（ ）
（A） {x|0≤x<1} （B） {x|0≤x<2} （C） {x|0≤x≤1} （D） {x|0≤x≤2}
7、 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

（A） （M∩P）∩S （B） （M∩P∪S
（C） （M∩P）∩ （D） （M∩P）∪
8、 若集合M＝{y|y＞0}，P＝{y|}，则M∩P＝（ ）
（A） {y|y＞1} （B） {y|y≥1} （C）{y|y＞0} （D）{y|y≥0}

9、设S、T是两个不相等的非空集合，则下式一定成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、下列各组表示的集合A=B的是（ ）
（A）， （B），
（C），
（D），
二、填空题
11、 用描述法表示集合{1，2，3，4}_______________。

12、 集合A＝{0，1，3}的子集为_________________。
13、 设集合，集合，集合M∩N＝__________
14、 已知A＝，B＝，若，则a的取值范围是__________。
15、从自然数1~20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M的元素，则M的非空真子集的个数是_________________。
16、 M＝{x | x≤}，N＝{1,2,3,4}，则（M∩N）＝_________________。
17、 非空集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}且A满足条件：若a∈A，则有 10－a∈A，符合要求的集合的个数为_____________。
  18、A：|x|＝4，B：x＝4，则 A是B的_____________条件。
19、“实数的平方为正实数”的逆否命题为__________________________。逆否命题的真假性为_____________。
20、设集合M={x|x>2}, P={x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________________________条件。
三、解答题
21、 设,,已知,求的值.
22、 已知U＝{－1，2，3，6}为全集，集合，,，若 ＝{2，3}，求m的值。
23、 已知A＝{x| x<－1或x>2}B＝{x| 4x＋p<0}，且AB，求实数p的取值范围。

拓展内容
容斥原理
研究集合中元素的个数问题时，把有限集A的元素个数记作card(A).
观察下列情况:A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，A∪B=｛3,4,5,6,7,8｝．card(A)=4，card(B)=4，card(A∪B)=6．
显然，card(A∪B) ≠card(A)+card(B)．
这是因为集合中的元素是没有重复出现的，在两个集合的并集中，两个元素的公共元素只能出现一次，即card(A∩B)．card(A∩B)=2．
一般地，对于两个有限集A，B，有:card(A∪B)= cardA)+card(B)- card(A∩B)．
例: 据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
    提示： 利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。
   解答： 设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}，则A∩B={文艺、体育都爱好的学生}，A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}。我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75，card(B)=56，card(A∩B)=y , card(A∪B)=x。于是由集合图（图7）
     得 x=75＋56－y (75≤x≤100)
     即 y=131－x (75≤x≤100)
     ∴31≤y≤56。
    答：文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。
    说明：
    关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。一般地，对于任意两个有限集合A , B有card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).
    其道理可由图8看出来。

对于任意的三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)＋card(B)+card(C)－ card(A∩B)－ card(B∩C)－ card(C∩A)＋ card(A∩B∩C)其道理可由图9看出来。

解答
1.1理解与巩固解答:
1、 2、， 3、 4、
5、 6、D 7、B 8、D 9、(1) (2) (3) 10、（1），，，，（2），，，，（3），，，，（4），，，， 11、{4，0，-4} 12、值为。
1.2理解与巩固解答:
1、0或4 2、3 3、7 4、 5、 6、C 7、A 8、A
9、（1）子集：，，，，，，，
真子集：，，，，，，
非空真子集：，，，，，
（2）个
10、， 1