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简论不动点在一般经济均衡证明中的应用
罗猛 原创 | 2005-05-27 12:58 | 投票 投票人
标签： 编著 瓦尔拉斯 不动点定理 布劳威尔 证明 
摘要：本文给出了一般均衡及不动点定理的历史性阐述，在这基础上，作者刻画了不动点定理在一般均衡存在性的应用证明。从而，从中可以窥见主流经济学主线的历史变迁轨迹。

关键词：一般均衡；不动点；流形

一、 一般均衡由来及其模型

一般均衡相对于局部均衡而言。局部均衡是指单个市场的商品和生产要素的供求同时在一个价格状态空间下供求相等的情形；而一般均衡是指一个经济体系中所有商品市场和生产要素市场在一组状态空间下供求相等的情形；两种均衡的基础条件都是建立在生产函数和消费函数严格的凹凸性保持技术条件上。但同时，应指出的是：一般均衡并不等于单个静态商品市场和要素市场的总和，因为在同一状态空间下，同一经济体系的不同商品市场和要素市场是互相影响的。故而，对一般均衡的分析较之局部均衡而言，更为复杂和不确定性因素更多。一般均衡理论的最初形式是由“洛桑学派”的创始人瓦尔拉斯（法国人）在1874——1877年提出的。但均衡的存在性问题，直到20世纪50年代才由著名经济学家阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明得出。期间经历了1911年布劳威尔不定点定理的提出，瓦尔德在20世纪30年代的证明努力，40年代中冯*诺伊曼和角谷(Kakutani)对它的证明。因为，众所周知，瓦尔拉斯提出的方程个数等于未知变量个数并不能确保方程解的存在。而在这之后，20世纪70年代、80年代中，由于拓扑理论和微分流形在经济理论中的广泛应用，Duffie 和Shafer利用grassman流形对一般均衡的borsuk-ulam定理做了进一步深化和推广。
蒋殿春在《高级微观经济学》一书中将瓦尔拉斯定理 表述如下：
瓦尔拉斯均衡：如果存在价格 满足    （1）（或简写成 ）则称经济达到了一个瓦尔拉斯均衡。利用瓦尔拉斯法则， ，所以（1）式还可写成：若 ，则  （2）；若 ,则  （3）。（2）式表明如果某商品的均衡价格为正其市场应予以出清；而（3）式表明针对免费商品，此时供给可以大于需求。
而张金清在《序方法与均衡分析》一书中将瓦尔拉斯均衡 表述如下：
定义1 设 是一个经济，如果存在 和非零价格 ，满足：
（1）  意味着 ；
（2）  ；
（3） 对每个 ， 。
则称 为一个瓦尔拉斯拟均衡经济，分别称 和 为瓦尔拉斯拟均衡配置和拟均衡价格。
    定义 2 设 是一个经济，如果存在 和非零价格 ，满足：
（1） 对每个 ， 是 中的一个极大元。
（2）  
则称 为一个瓦尔拉斯均衡经济，分别称 和 为瓦尔拉斯均衡配置和均衡价格。
比较前后两个定义重要的区别在于条件（1）之不同，第一个为弱偏好，而第二个为严格偏好，所以得出的均衡状态也不相同。而蒋殿春与张金清关于瓦尔拉斯偏好的描述本质上是一致的，只是表述方式有些不同，并且张金清将经济体系的内在运行法则用数学语言表示为一种偏好关系。在此基础上，张金清刻画了与瓦尔拉斯均衡有关的三个定理。
定理1 对 ，用Riesz对偶空间 表示纯交换经济 的商品—价格空间， 为 的序共轭空间，则纯交换经济 有一个弱拟均衡，即存在一个有效配置 和一个非零价格 ，使得对每个 ，都有 。
定理2 设有效配置 是纯交换经济 关于价格 的一个弱拟均衡，且至少存在一个 ，使 ，则有效配置 是纯交换经济 关于价格 的一个拟均衡配置。
定理3 设有效配置 是纯交换经济 关于价格 的一个弱拟均衡，若对每个 ，都有 ，且 是序连续的，则有效配置 必是纯交换经济 关于价格 的一个瓦尔拉斯均衡配置。
以上三个定理表明，从弱拟均衡到拟均衡配置，再到瓦尔拉斯均衡配置，其偏好约束条件是越来越强的。而国内学者对瓦尔拉斯均衡的刻画无疑都受德布鲁证明的影响。
德布鲁关于瓦尔拉斯均衡 的刻画如下：
1、 设 为 线性空间的一紧子集，如果 是 到 的上半连续映射，即，对于 中任一 而言，集合  为（非空）凸集且满足 ；那么 中必存在一 使得  得以成立。
2、 如果以下条件成立，私营经济体系 存在一均衡配置：
对任意 而言：
（a） 为闭凸集且下确列界为 ，
（b.1） 不存在饱和需求，
（b.2）对于 的任一 ，集合 和 在 为闭集，
（b.3）如果 和 为 中的两点，则如果 为 的一实数，那么 意味着 ，
（c） 必存在使得 成立的 ；
          对于任意 而言：
           （d.1） ;
           （d.2） 为闭凸集。
           （d.3） ，
           （d.4） 
德布鲁在随后的章节里给出了以上定理的证明并导出了相关引理，分析了 和 的性质。比较德布鲁和蒋殿春以及张金清关于瓦尔拉斯均衡的刻画，可以发现德布鲁在1959年给出的均衡假设条件过于严格，其基本假定完全市场 （即一切经济活动都在同一时刻进行）与现实差异太大，而张金清和蒋殿春给出的假设条件相对较弱，尤其是通过引入比不完全市场的一般均衡理论（简称为GEI）更弱的拟均衡的概念 ，使得超额需求映射或称为拟超额需求的连续性得到保持，进而将拟均衡的存在性转化为Grassman流形上的非线性映射的广义不动点问题。

二、 不动点定理概述

关于一般均衡的存在性的证明可以从不动点、序方法、单纯形以及微分流形等角度来进行。其中，不动点定理是一个既比较古老的问题，因为它的历史比较长；又比较有生命力的领域，因为其阐述方式可以从微分流形以及分形等角度来阐述。要完整剖析Grassman流形中的不动点定理，回顾不动点定理的历史是必要的，有助于我们掌握其来龙去脉。
关于布劳威尔不动点定理的阐述，在张奠宙、顾鹤荣著的《不动点定理》、江泽涵著的《不动点类理论》、王则柯著的《单纯不动点算法基础》都有涉及，我们可以参见以下不同表达方式：
1、 布劳威尔不动点定理 ：设D是 中的有界闭凸集，映射 连续，则 在 上必有不动点，即 使得 。
2、 布劳威尔不动点定理 ：设 是 维实心球 到自身的连续映射，则存在 ，使得 。
3、 布劳威尔不动点定理 ：
3.1 定义 设 X是拓扑空间，A是X的子空间，如果存在连续映射  使得 ，那么我们就称 为X的收缩核，并称 为收缩映射。
3.2 定理  不是 的收缩核。即不存在这样的连续映射 它使得 。
3.3 （布劳威尔不动点定理）任何连续映射 都必定有不动点。即必定存在 ，使得 。
4、布劳威尔不动点定理 ：设 是 维标准单纯形 的连续映射，则必有 使得 。
以上关于布劳威尔定理 的证明可以参见原文，比较上述定理发现，尽管阐述方式不一，但是基本假定都一样，即空间为闭凸的，映射为连续，且映射空间和象空间同一。张筑生所给的之所以比较详细，是因为其首先给出了一压缩算子的定义和一个证伪方式。
但布劳威尔不动点定理是针对欧氏空间凸集的单值自映射 而言，而由欧氏空间凸集 的集值自映射 生成的不动点称为角谷不动点 ，也即紧凸集的上半连续的集值自映射必有不动点；并且角谷不动点可由单值自映射的布劳威尔不动点导出。王则柯先生在《单纯不动点算法》中给出了有关角谷不动点的两个定理以及两个推广定理。
5、角谷不动点定理 1：设 是 维紧凸集，集值映射 上半连续，那么，必有一点 使得 。
6、角谷不动点定理2：设 是一个 维紧凸集，集值映射 满足条件：只要 ， 中与 距离不超过 的集合，就有 ， 中与 距离不超过 的集合，又设 是 的一个单纯剖分，其网经 ，而 是 的基于剖分 的任一单纯逼近， 是 的一个不动点，那么， ，即 与 距离不超过 。
上一定理 刻画了单纯逼近的布劳威尔不动点与它在原集值映射下的象的位置关系。
     7、Eaves 定理 ：设 是 中 维紧凸集， 。若 上半连续，并且对每点 ， 。那么， 在 有不动点。
     8、Merrill 条件 ：设 上半连续，如果存在 使得只要 ，就有 ，那么， 在 有不动点。
同时，关于角谷不动点定理的文章还可参见Michael B. Smyth and Rueiher Tsaur 的 A Digital Version of the Kakutani Fixed Point Theorem for Convex-valued Multifunctions (发表于Theoretical Computer Science 40 (2001)）以及 Claude Berge 的 《拓扑空间》（Claude Berge 著，孙荣光 傅熙来 译，河南教育出版社，1990年8月第1版，页码：239—250）等文献。可见，角谷不动点定理比布劳威尔不动点定理应用范围要相对广一些，因为其映射空间条件约束相对弱一些。但是，对线性条件和凸性条件的需求仍使得这两个定理在一定范围内不能适用。而微分拓扑理论和微分流形理论的引入使得我们可以突破这种界限，参见以下不动点定理：
9、 Schauder 不动点定理  设D是中Banach空间 的有界闭凸集，  是全连续映射。设下列条件之一满足：
9.1 D含有内点，且 （这里 表示 的边界）
9.2  
则F在D上有不动点。
    这里的映射 不必是线性的 。
10、 Lefschetz不动点定理 
10.1 Lefschetz不动点定理 是关于可剖分空间自映射的不动点定理存在性的判别定理，布劳威尔不动点定理可看作它的一种特殊情形。
10.2 Lefschetz不动点定理 设X是可剖分空间， 是连续映射。如果  ，则 有不动点 。
在这基础上，Duffie 和 Shafer 在1985年利用模2拓扑度和模截理论将微分拓扑原理运用到资产GEI分析当中来；而Geanakoplos 和 Shafer 于1990年利用光滑流形上的类Ck-Walras 映射和Ck-允许映射概念证明了通常光滑条件下的不动产GEI的存在性 ；这些无疑都是对borsuk-ulam定理的深化和发展。
首先，刻画阐述borsuk-ulam定理。其定理 如下：如果 是连续奇映射 ，那么  。
而Grassman 流形刻画如下：
11、 维向量空间 中全体 维线性子空间的集合记作 ，它是 维光滑流形 ，称为Grassman 流形。
12、定理    Grassman 流形 是一个 维的紧实解析流形 。
    接下来，我们引用张筑生在《微分拓扑新讲》中给出的布劳威尔不动点定理的模2测度证明法，从而可以窥见Grassman 流形中的模2测度与borsuk-ulam定理的关系。
    13、布劳威尔不动点定理 连续映射 必有不动点。此定理可以归结为如此证明 ：任何连续映射 都不能使 。用反证法：假设存在满足上述条件的连续映射 ，则由（如果 是恒同映射，那么 ）可知 （1）。另一方面，因为 将 同伦于常值映射 ，所以 （2）。我们得到互相矛盾的结果（1）和（2），从而可以得证。

三、不动点定理在不同市场均衡存在性的证明中的应用
关于市场均衡存在性的证明方法可以有不动点定理、序方法、线性方程组解、博弈组合以及算子算法等，其中不动点定理是证明市场均衡存在的一个最重要的方法。并且，不动点定理除了上述之外，还有其他众多的阐述 。而不动点定理既可运用到一般均衡的证明当中来，还可用来证明不完全市场均衡存在性的证明，并且可运用到不同具体市场均衡存在性的证明当中来，比如附息国债到期市场均衡，市场占有率算法等。
我们引入张定胜在《高级微观经济学》中给出的竞争均衡存在性 的证明来剖析不动点定理是如何在一般均衡中得以应用的。
命题1 假设 是定义在 上的函数，满足连续、零次齐次、瓦尔拉斯律等五项条件 ，那么方程组 一定有解。因此，对于任意的纯交换经济，如果 ，每个消费者 的偏好 是连续的、严格凸的和强单调的，那么一定存在一个瓦尔拉斯均衡。
证明：首先将价格向量规范化。记 为一单纯形。依据条件，函数 仅在 的内集上有定义。 的内集记为 。
1、 对于任意的 ，构造一个映射不动点
对于任意的 ，定义 
也即是，给定现行价格 ，所有使得超需求向量的值最大的 组成它的一个映射。或者， 。因此，如果 ，那么 ， 表示 的边界点的集合。如果 ，那么 。
2、 对于任意的 ，构造一个不动点映射。对于任意的 ，定义 。注意到如此构造的映射使得 上的点不可能是不动点。因为如果 ，那么 ，所以 。
3、  的一个不动点是一个均衡。假设 ，由上述第2步可知 。如果 ，由第1步可知， ，不可能存在 。因此如果 ，一定有 。
4、 不动点映射 是凸值的和上半连续的。首先证明 是凸集，分两种状况即分别 和 下，对于任意的 ， 都成立 。接下来，证明 的上半连续性，考虑两个序列 ，这里 ，在两种情况下即 和 下都可证明 成立 。
5、 不动点存在。角谷不动点定理推出任意一个从非空凸紧集到自身的凸值，上半连续映射存在一个不动点。由于 是非空凸紧集， 是一个凸值上半连续映射，所以存在一个 ，满足 。由第3步可推出 就是均衡价格向量。
张定胜在随后章节里给出了放宽条件的均衡的证明 。而关于不动点用以证明均衡存在性的阐述还可在王则柯、凌志英编著的《拓扑理论及其应用》以及蒋殿春编著的《高级微观经济学》中可见。前者给出了布劳威尔不动点定理在均衡存在性中的应用证明 ，证明步骤和张定胜所采用的基本一样；后者也给出了布劳威尔不动点定理在均衡存在性中的应用证明 ，但证明稍稍简单一些，基本步骤仍基本一样。值得注意的是，王则柯与凌志英在本书中还给出了不动点定理在博弈论和非线性互补问题的应用证明 。由于基本步骤基本一样，这里不再一一赘述。另外，关于不动点定理在GEI模型中的应用可参见何穗、王恩周的《一般经济均衡理论与现代数学》 ，而不动点定理在附息国债到期市场均衡中的应用可参见邓国华的《不动点理论与附息国债到期收益率的计算》 ，不动点定理在市场占有率的应用可参见白先春和李杏的《均衡市场占有率预测的不动点算法》 。总之，不动点定理在不同市场均衡中得以广泛应用 ，从而巩固了主流经济学的阵营；更为重要的是，不动点定理提供了一种革命性的思想方法与工具，极大地改变了经济学者在处理经济问题时的视角。

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