济南大学试卷和答案B.doc

一. 判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√” ，错误打“×” .）
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1．．（ ）
2．若在不解析，则不存在．（ ）
3．为函数的孤立奇点．（ ）
4．级数收敛．（ ）
5．在点 处不连续．（ ）

二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.）
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1.复参数方程（t为参数）的直角坐标方程为

.

2．方程在复数范围内的全部解 ．

3．　 　．
4．幂级数　　的收敛半径是 ．
5． ．

三.选择题(每小题2分,共10分.
将正确答案的代号添在括号内.）
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1．下列等式中，对任意复数z不成立的等式是（ ）
（A）；（B）；（C）；（D）.

2．下列函数中不解析的函数是（ ）
（A） ； （B） ； （C） ；（D）.
3.下列结论错误的是（ ）
（A）是函数的二阶极点． （B）是函数的可去奇点．
（C）． (D) 是函数的本性奇点．
4.下列结论错误的是（ ）
（A）C为不通过原点的简单闭曲线，则．
(B) 若为解析函数，则也为解析函数．
(C) 在点解析的函数一定可以在点的邻域内展开成泰勒级数．
(D) 对于任意的复数．
5.已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C）1 （D）－1
四.求解下列各题
（每小题6分,共18分.写出解答过程.）
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1．设，求方程 的全部解.

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2．函数　　在复平面内何处可导，何处解析，并求

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3．已知，求解析函数使．

五.计算下列积分（每小题7分,
共28分.写出解答过程.）
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1． ，其中C为自原点沿实轴到1，再由1
沿铅直方向向下到．

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2． ．

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3．计算积分　．　　

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4．．

六.解答下列各题（每小题7分,
共14分.写出解答过程.）
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1．将函数在点展开成泰勒级数，并求收敛半径．

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将函数　　在区域　　内展
开成洛朗级数．

七.证明题（每小题5分,共10分.写出证明过程.）
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1．设函数，试证函数 在 处极限不
存在．

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2.设函数在区域内解析，且函数恒取实值.证明：是常数.

B卷 第9页共 9 页

一.判断题（2分×5＝10分，正确打√，错误打．）
1．．（ √ ）
2．若在不解析，则不存在．（ ）
3．为函数的孤立奇点．（ ）
4．级数收敛．（ √ ）
5．在点处不连续．（ ）
二．填空题（2分×5＝10分）
1．复参数方程（t为参数）的直角坐标方程为．
2．方程在复数范围内的全部解．
3．　　0　　．
4．幂级数　　的收敛半径是．
5．．
三.选择题（2分×5＝10分，将正确答案代号填在括号内.）
1．下列等式中，对任意复数z不成立的等式是（ C ）
（A） ；（B）；（C）；（D）.
2．下列函数中，不解析的函数是（ B ）
（A） ； （B） ； （C） ； （ D）.
3.下列结论错误的是（ C ）
（A）是函数的二阶极点． （B）是函数的可去奇点．
（C）． (D) 是函数的本性奇点．
4.下列结论错误的是（ D ）
（A）C为不通过原点的简单闭曲线，则．
(B) 若为解析函数，则也为解析函数．
(C) 在点解析的函数一定可以在点的邻域内展开成泰勒级数．
(D) 对于任意的复数．
5.已知，则的值为（ B ）
（A） （B） （C）1 （D）－1
四．解答下列各题（6分×3＝18分，写出解答过程）：
1．设，求方程 的全部解.
解：由 得 ．
解：
∴ ----------------------------- 4分
∴方程的解为
---------------------------- 6分
2．函数　　在复平面内何处可导，何处解析，并求
解：设，则
．四个偏导数在复平面上都连续，
由C—R方程得：．
故仅在直线上可导，在复平面上处处不解析．
--------------------------- 4分
且因为点在曲线上，所以 ．
------------------ 6分
3．已知，求解析函数使．
解：
从而
-------------------- 4分
再由得
或． -------------------- 6分
五．计算下列积分（7分×4＝28分）：
1． ，其中C为自原点沿实轴到1，再由1沿铅直方向向下到．
解：由于 在平面上处处解析，所以积分
与路径无关，又的一个原函数为，
---------------------------- 5分
故
＝．
------------------------ 7分
2． ．
解： 在内有两个不解析点， 分别为简单极
点、二级极点

，
------------------------ 5分
故由留数定理得：
=
------------------------ 7分
3．计算积分　．　　
解：在内有6个一阶极点
--------------------- 2分
由留数定理，有

------------------------ 7分
4．．
解：令，则在上半平面有一个二级极点，且． ------------------------ 5分　　
于是　．　　　------------------------- 7分
六．（ 7分＋7分＝14分）：
1．将函数在点展开成泰勒级数，并求收敛半径．
解：由于
而 　　 --------------------- 4分
所以．　
且收敛半径为．　　　---------------------　 7分
2．将函数　　在区域　　内展开成洛朗级数．
　 解：，当时，

，-------------------- 4分
因此．　
-----------------------　 7分
七．证明题（52分＝10分）：
1．设函数，试证函数 在 处极限不存在．
证明：∵ -------------------------- 3分
极限值随k的变化而变化，故 不存在．
-------------------------- 5分
2.设函数在区域内解析，且函数恒为实数.
证明：是常数.
证明：因为 函数为实数，
所以 . ----------------------- 2分
又因为函数在区域内解析，
由C—R方程得，
所以 为常数，故 是常数. ----------------------- 5分

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