1、二次函数的图象和性质（一）
一. 教学内容：
二次函数的图象和性质（一）
二. 重点、难点：
1. 的图象特征 2. 与的关系
【典型例题】
[例1] 若直线与抛物线交于A、B两点，且A点的纵坐标是横坐标的8倍，求B点的坐标。
[例2] 如图，抛物线与直线交于点A、B，点A坐标为，求：（1）点B坐标；（2）的面积。
解：
（1）将代入，得
将代入，得
由消y得：
∴
∴点B坐标为
（2）依题意，直线与y轴交点D的坐标为（0，1），则OD=1
过点A作轴于H点，则；作轴于T点，则
∴
∴
[例3] 抛物线（a为常数）上有点A、B，使
2、得是一个等腰直角三角形，且O为直角顶点，若的面积是1，求点A、B的坐标及a值。
解：
（1）当时，如图所示，由抛物线的对称性可知，A、B两点关于y轴对称。
∴，即
∴点A、B的纵坐标都是1
又∵AB//x轴
∴OA、OB分别为第二象限和第一象限的角平分线
∴代入到中，有
（2）当时，同理可知，有
[例4] 如图，直线与抛物线相交于M、N两点，与x轴正半轴交于A点，若的面积为，求k值。
解：设点，点，则作轴于H点，轴于K点，有：
设MN交y轴于D，则D坐标为（0，1），OD=1
由，消y得，由根与系数关系
得：
∴
即
解得（舍正）
∴ k值
3、为
[例5] 设，且，则二次函数的图象的顶点一定位于第
象限。
解：由可知，由可知，当时；
当时，，画图判断可知，抛物线顶点在第三象限。
[例6] 抛物线的对称轴为直线，且顶点在直线上，求抛物线与直线的交点坐标。
解：设，则，顶点应在直线上，代入得，故，即 ∴ ，
∴ 由解得
∴ 交点为和
[例7] 抛物线顶点在第四象限，则的取值范围为 。
解：配方得，故
∴
[例8] 抛物线的顶点坐标为 。
解：， ∴ 顶点为
[例9] 已知图象如图所示，则抛物线解析式应为 。
解：易知
4、过点、和代入解得，，。
∴ 解析式为
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题：
1. 抛物线不具有的性质是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是y轴
C. 与y轴相交 D. 最低点是原点
2. 在同一坐标系中，与抛物线关于x轴对称的图象解析式是（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的图象与直线有一个公共点为（2，1），则函数图象与直线的交点个数为（ ）
A. 0
5、 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知函数的图象与直线在第一象限内的交点和它与直线在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
5. 若抛物线与四条直线围成的正方形有公共点，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空题：
1. 若点在抛物线上，则点A关于
6、x轴的对称点坐标为 。
2. 二次函数的最小值是0，则m值为 。
3. 函数的图象在对称轴右边的部分，y随x增大而 。
4. 边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm的小正方形铁片，剩下的四方框面积为，则y与x之间的函数关系式为 。
5. 正方形边长是3，若边长增加x，面积会增加y，则y与x之间函数关系为 。
6. 已知函数与直线交点为，则k= ，b= 。
7. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，过点，则抛物线解析式为 。
7、 8. 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，厂门的高度为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m） 。
（提示：可建立如图的坐标系，设点B坐标为（4，t），则D点坐标为，用待定系数法解题）
三. 解答题：
1. 已知直线AB过点，与抛物线相交于B、C两点，若B点坐标为，
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）求C点坐标。
2. 已知抛物线与直线，
（1）当m为何值时，抛物线与直线有两个交点？
（2）设O为坐标原点，抛物线与直线交点从左到右分别为A和B，当两交点的横坐标之差为3时，求的OB边上的高。
3. 已知抛物线和直线，
（1）求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同交点；
（2）设为它们的两交点，点P为线段AB的中点，横坐标为，试用a表示点P的坐标。
（3）若AB长度，试用a表示d。
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