广东省广州市广大附中教育集团2022-2023学年九年级上学期自主招生数学试题.docx

广东省广州市广大附中教育集团初三自主招生考试
考试时间：120 分钟 满分：100 分
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知m 、n 是方程 x2 + 2020x + 7 = 0 的两个根，则(m2 + 2019m + 6)(n2 + 2021n + 8) （ ）
A. 2021 B. 2020 C. 2012 D. 2011
2. 如图，已知直线l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ，相邻两条平行线间的距离都等于 h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）

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A. 4h2
B. 5h2
C. 4 2h2
D. 5 2h2

3. 函数 y =|x|， y = 1 x + 4 ．当 y ＞y


时，x 的范围是( )

1 2 3 3 1 2

x2 + 2x + 2
A. x < -1
B. -1 < x < 2
C. x < -1或x > 2
D. x > 2

x2 - 4x + 13
5
5
4. 已知 x 为实数，则
+ 的最小值为（ ）

10
A. 5 B.
+ C. 3 + D. 6

ï
ì 2x +1 - 5x - 3 < 1L①

5. 不等式组í 3 6 的解集是关于 x 的一元一次不等式 ax > -1解集的一部分，则 a 的取
ïî -5 £ 2x -1 £ 5 L②

值范围是（ ）

A. 0 < a £ 1

B. - 1 < a < 0
3

C. - 1 < a £ 1 3

D. - 1 < a £ 1 且 a ¹ 0 ．
3

1
4
6. 求 1 x -1 + 1 x - 2 +

x - 3 的最小值（ ）

2 3

7
A. 12 B. 6 C.
2

D. 3

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7. 如图，长方体的长、宽、高分别是8cm ， 2cm ， 4cm ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B， 则妈蚁爬行的最短路径长为（ ）

29
37
5
A 2 B. 2 C. 10 D. 4 + 2

8. 如图， V ABC 中， AB = AC ， ÐBAC = 54°，ÐBAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点O ，将
ÐC 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则ÐOEC 为( )

A. 126° B. 120° C. 110° D. 108°
9. 已知在 x2 + mx -16 = (x + a)(x + b) 中， a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有

（ ）个

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
10. 如图，在VABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC = 4 ，点 D 是 BC 边的中点，点 P 是 AC 边上一个动点，连接 PD ，以 PD 为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）

A. 3 2
3
2
B. 1 C. D.
2

二、不定项选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分；漏选得 2 分，错选或多选

不得分）
1
11. 如果实数 a，b 分别满足 a2 + 2a = 2 ， b2 + 2b = 2 ，则 1 + 的值是（ ）
a b

3
3
3
A. 1 B. +1 C. - +1 D.

1
12. 如图， VABC 的内角ÐABC 和外角ÐACD 的平分线相交于点 E， BE 交 AC 于点 F，过点 E 作
EG ∥ BD 交 AB 于点 G，交 AC 于点 H，连接 AE ，以下几个结论：① ÐBEC = ÐBAC ；②
2
VHEF ≌VCBF ；③ BG = CH + GH ；④ ÐAEB + ÐACE = 90°；其中正确的结论有（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④
13. 下列说法：①如果3.7852 = m ，则378.52 = 100m ；② 0.27& = 5 ；
18
③若|a |= -b ， | b |= b ，则 a - b = 0 ；

④若关于 x 的方程 x +1 - x =

ax + 2
无解，则a = -2 ， -5 或- 1 ．

x + 2 x -1 (x -1)(x + 2) 2

其中正确的命题是(
)

A ①
B. ②
C. ③
D. ④

14. 如图： ÐAOB = 30° ．按下列步骤作图：①在射线OA 上取一点 C，以点 O 为圆心， OC 长为半径作圆弧 DE ，交射线OB 于点 F．连结CF ；②以点 F 为圆心， CF 长为半径作圆弧，交弧 DE 于点 G；③连结 FG 、CG ．作射线OG ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A ÐAOG = 60° B. OF 垂直平分CG

C. OG = CG D. OC = 2FG

15. 如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 8 ，点 E，F 分别在 AD，BC 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；
② EC 平分ÐDCH ；
③线段 BF 的取值范围为3 £ BF £ 4 ；
④当点 H 与点 A 重合时， EF =2 5．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 + 4 + 2 3
三、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）

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3
16. 若 a，b 为有理数且满足 a + b
= 6 ×
，则 a + b = ．

17. 关于 x 的一元二次方程(1- 2k )x2 - 2
k +1x -1 = 0
有两个不相等的实数根，则常数 k 的取值范围是

．
18. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC ， CD 上的点， AE 与 BF 相交于点 G，连接 AC 交
BF 于点 H．若CE = DF ， BG = GH ， AB = 2 ，则△ CFH 的面积为 ．
19. 直线 y = - 4 x + 4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，M 是 y 轴上一点，若将△ABM 沿 AM 折叠，点 B
3
恰好落在 x 轴上，则点 M 的坐标为 ．
20. 已知VABC 的高 AD，BE 所在的直线交于点 F ，若 BF = AC ，则ÐABC 的度数为 ．

é x + é a ù ù
ê êë x úû ú

21. a 是一个正实数，记 f(x)= ê ú ，其中[x]是不超过实数 x的最大整数，如[2.1]=2，[﹣2.1]=﹣3，
ê 2 ú
êë úû

若 f（5）=5，则 a 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 3 小题，满分 26 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22. 已知关于 x 的方程(4 - k )(8 - k )x2 - (80 - 12k )x + 32 = 0 的解都是整数，求整数 k 的值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， VABC 的边 BC 在 x 轴上，A、B、C 三点的坐标分别为
A(0, m) ， B(-12, 0) ， C(n, 0) ，且(n - 10)2 + | 3m - 15 |= 0 ，一动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．

（1） 求 A、C 两点的坐标；
（2） 若点 P 恰好在ÐBAO 的角平分线上，求此时 t 的值；
（3） 当点 P 在线段 BO 上运动时，在 y 轴上是否存在点 Q，使△POQ 与VAOC 全等？若存在，请求出 t
的值并求出此时点 Q 的坐标：若不存在，请说明理由．
（4） 连结 PA ，若VPAB 为等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标．
24. 正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AD 所在的直线上，连接 CE，以 CE 为边，作正方形 CEFG（点D，点 F 在直线 CE 的同侧），连接 BF．

（1） 如图 1，当点 E 与点 A 重合时， BF = ；
（2） 如图 2，当点 E 在线段 AD 上时， AE = 1 ．

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①求点 F 到 AD 的距离； ②求 BF 的长；

（3） 若 BF = 3 10 ，请直接写出此时 AE 的长．
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