2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）
1．（3 分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．负数大于正数
C．任意画一个三角形，其内角和是 180° D．通常加热到 100℃时，水沸腾
3．（3 分）如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．﹣2

4．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝32°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB′C′，则∠B′

AC 的度数为（ ）

A．28° B．30° C．32° D．38°
5．（3 分）解方程“＝x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（ ）

A．x＝1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝﹣1

第 9页（共 25页）

6．（3 分）某商店将进货价格为 20 元的商品按单价 36 元售出时，能卖出 200 个．已知该商品单价每上涨

1 元，其销售量就减少 5 个．设这种商品的售价上涨 x 元时，获得的利润为 1200 元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+16）（200﹣5x）＝1200 B．（x+16）（200+5x）＝1200

C．（x﹣16）（200+5x）＝1200 D．（x﹣16）（200﹣5x）＝1200

7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的一段圆弧，则的长为
（ ）

A. π B．2π C．3π D．4π
8．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P＝60°，PA＝，则
AB 的长为（ ）

A.1 B．2 C． D．
9．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A'的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1）

C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）

10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+c 经过等腰直角三角形的两个顶点 A，B，点 A 在 y 轴上，则 ac 的值为
（ ）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1

二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 上，则 OP 的长为 ．

12．（3 分）已知△ABC∽△DEF，其相似比为 2：3，则它们的周长之比为 ．

13．（3 分）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 100 个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 30%左右，则可估计红球的数量约为 个．
14．（3 分）若关于 x 的方程 x2﹣2x+m＝0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 ．
15．（3 分）已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，且 0＜x1＜x2，则 y1 y2．（填 “＜”或“＞”或“＝”）
16．（3 分）如图，平面直角坐标系中有一点 A（4，2），在以 M（0，3）为圆心，2 为半径的圆上有一点 P，将点 P 绕点 A 旋转 180°后恰好落在 x 轴上，则点 P 的坐标是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程：x2+2x﹣3＝0．

18．（4 分）如图，AD、BC 相交于点 P，连接 AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，求 BD 的长．

19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△OBC 的三个顶点均在格点上．

（1） 画出△OBC 关于原点 O 成中心对称的图形△OB'C'；

（2） 写出点 B'、C'的坐标．

20．（6 分）如图，有 3 张分别印有第 19 届杭州亚运会的吉祥物的卡片：A 宸宸、B 琮琮、C 莲莲．现将这

3 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记

录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率．
（1） 第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为 ；

（2） 用画树状图或列表的方法，求两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率．

21．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，l 是过点 B 的一条直线．

（1） 尺规作图：作∠BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D，交直线 l 于点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若 BD＝BE，求证：l 是⊙O 的切线．

22．（10 分）如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝﹣5t2+30t．
（1） 当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面 A 处？

（2） 求小球在运动过程中的最大高度．

23．（10 分）如图，一次函数 y＝ax+b 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 A（3，1），点 B 的坐标为（m，﹣2）．
（1） 分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2） 在 y 轴上是否存在一点 P（不与点 O 重合），使得△PDC∽△CDO，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．

24．（12 分）已知抛物线 y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m（m 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），顶点为 C．
（1） 若 m＝1，求抛物线的顶点坐标；

（2） 若点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，判断以点 A、C、B、E 为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；
（3） 在（1）的条件下，将二次函数向左平移 k（k＞0）个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1，求 k 的值．

25．（12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝a（a＞1），BC＝2，点 O 是 BC 边的中点，点 E 是矩形内一个动点，且 OE＝1．
（1） 当 OE⊥BC 时，连接 BE、CE，直接写出∠BEC 的度数；
（2） 当 时，连接 DE，若 DE⊥OE，求 BE 的长；
（3） 当 a＝2 时，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°后，得到线段 DF，点 P 是线段 DF 的中点，当点

E 在矩形 ABCD 内部运动时，求点 P 运动路径的长度．

第 25页（共 25页）

2023-2024 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）
1．（3 分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、B、C 是中心对称图形，D 不是中心对称图形， 故选：D．
2．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．负数大于正数
C．任意画一个三角形，其内角和是 180° D．通常加热到 100℃时，水沸腾
【解答】解：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，则 A 符合题意； 负数大于正数是不可能事件，则 B 不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是 180°是必然事件，则 C 不符合题意； 通常加热到 100℃时，水沸腾是必然事件，则 D 不符合题意；
故选：A．
3．（3 分）如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．﹣2
【解答】解：∵反比例函数 y＝的图象分布在第一、三象限，
∴a＞0，

∴只有 2 符合， 故选：B．
4．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝32°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB′C′，则∠B′

AC 的度数为（ ）

A．28° B．30° C．32° D．38°

【解答】解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB′C′，

∴∠BAB'＝60°，

∴∠B'AC＝∠BAB'﹣∠BAC＝28°， 故选：A．
5．（3 分）解方程“＝x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（ ）

A．x＝1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝﹣1
【解答】解：从图象中可知：两函数图象的交点坐标是（1，1），（﹣1，﹣1），
所以方程 ＝x 的解是 x1＝﹣1，x2＝1． 故选：C．
6．（3 分）某商店将进货价格为 20 元的商品按单价 36 元售出时，能卖出 200 个．已知该商品单价每上涨

1 元，其销售量就减少 5 个．设这种商品的售价上涨 x 元时，获得的利润为 1200 元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+16）（200﹣5x）＝1200 B．（x+16）（200+5x）＝1200 C．（x﹣16）（200+5x）＝1200 D．（x﹣16）（200﹣5x）＝1200
【解答】解：根据题意可得：（36+x﹣20）（200﹣5x）＝1200，即：（x+16）（200﹣5x）＝1200．

故选：A．

7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的一段圆弧，则的长为
（ ）
A. π B．2π C．3π D．4π
【解答】解：由题意可知， 所在圆的半径为 2，圆心角为 90°， 所以 的长为 ＝π．
故选：A．
8．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P＝60°，PA＝，则
AB 的长为（ ）

A.1 B．2 C． D．
【解答】解：∵PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，

∴PA＝PC，

∵∠P＝60°，

∴△PAC 是等边三角形，
∴AC＝PA＝ ，∠PAC＝60°，
∵PA 切圆于 A，

∴直径 AB⊥PA，

∴∠PAB＝90°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AB 是圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵cos∠BAC＝cos30°＝ ＝ ，
∴AB＝2． 故选：B．

9．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A'的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1）

C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【解答】解：∵以原点 O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小， 而点 A 坐标为（﹣4，2），
∴点 A 的对应点 A'的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+c 经过等腰直角三角形的两个顶点 A，B，点 A 在 y 轴上，则 ac 的值为
（ ）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1

【解答】解：过 B 作 BH⊥y 轴于 H，

∵△AOB 是等腰直角三角形，

∴BH＝AH＝OH，

设 B（m，﹣m），则 A（0，﹣2m），

∴ ，

解得 am＝1，m＝﹣，
∴ac 的值为﹣2， 故选：C．

二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 上，则 OP 的长为 5 ．

【解答】解：∵⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 上，

∴OP＝r＝5． 故答案为：5．
12．（3 分）已知△ABC∽△DEF，其相似比为 2：3，则它们的周长之比为 2：3 ．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为 2：3，

∴它们的周长比为 2：3， 故答案为 2：3．
13．（3 分）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 100 个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 30%左右，则可估计红球的数量约为 30 个．
【解答】解：由题意可知红球的个数约为 100×30%＝30（个），故答案为：30．
14．（3 分）若关于 x 的方程 x2﹣2x+m＝0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0， 解得 m＝1．
故答案为 1．
15．（3 分）已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，且 0＜x1＜x2，则 y1 ＞ y2．（填 “＜”或“＞”或“＝”）
【解答】解：∵反比例函数 中，k＝3＞0，
∴反比例函数 的图象在第一、三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减小，

∵0＜x1＜x2，
∴点 M（x1，y1），N（x2，y2）在第一象限．
∴y1＞y2．
故答案为：＞．

16．（3 分）如图，平面直角坐标系中有一点 A（4，2），在以 M（0，3）为圆心，2 为半径的圆上有一点 P，将点 P 绕点 A 旋转 180°后恰好落在 x 轴上，则点 P 的坐标是 （ ，4）或（﹣ ，4） ．
【解答】解：如图，

∵将点 P 绕点 A 旋转 180°后恰好落在 x 轴上，

∴点 P 的纵坐标为 4，

当点 P 在第一象限时，过点 P 作 PT⊥y 轴于 T，连接 PM．

∵T（0，4），M（0，3），

∴OM＝3．OT＝4，

∴MT＝1，

∴PT＝ ＝ ＝ ，
∴P（，4），
根据对称性可知，点 P 关于 y 轴的对称点 P′（﹣，4）也满足条件． 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（，4）或（﹣，4）．
故答案为：（，4）或（﹣4）．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0
∴（x+3）（x﹣1）＝0

∴x1＝1，x2＝﹣3．
18．（4 分）如图，AD、BC 相交于点 P，连接 AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，求 BD 的长．

【解答】解：∵∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，

∴△APC∽△BPD，
∴ ＝ ，
∵AC＝6，CP＝4，DP＝2，
∴ ＝ ，
∴BD＝3．

19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△OBC 的三个顶点均在格点上．

（1） 画出△OBC 关于原点 O 成中心对称的图形△OB'C'；

（2） 写出点 B'、C'的坐标．

【解答】解：（1）如图，△OB'C'即为所求．
（2）由图可得，B'（3，﹣4），C'（3，0）．

20．（6 分）如图，有 3 张分别印有第 19 届杭州亚运会的吉祥物的卡片：A 宸宸、B 琮琮、C 莲莲．现将这

3 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记

录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率．
（1） 第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为 ；

（2） 用画树状图或列表的方法，求两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率．
【解答】解：（1）由题意得，第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为．故答案为： ．
（2）列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）

C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
共有 9 种等可能的结果，其中取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的结果有：（A，A），（A，

B），（A，C），（B，A），（C，A共 5 种，
∴取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率为．
21．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，l 是过点 B 的一条直线．

（1） 尺规作图：作∠BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D，交直线 l 于点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若 BD＝BE，求证：l 是⊙O 的切线．

【解答】（1）解：如图：AD 即为所求；

（2）证明：设 AE 交⊙O 于点 F，

∵AB 是直径，

∴∠C＝∠AFB＝90°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠CBA＝30°，

∵AF 平分∠CAB，
∴∠FBC＝∠CAF＝ ∠CAB＝30°，
∵BD＝BE，∠AFB＝90°，

∴∠EBF＝∠FBD＝30°，

∴∠ABE＝90°，

∵AB 是直径，

∴l 是⊙O 的切线．

22．（10 分）如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝﹣5t2+30t．
（1） 当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面 A 处？

（2） 求小球在运动过程中的最大高度．

【解答】解：（1）当 h＝0 时，﹣5t2+30t＝0，解得 t＝0 或 t＝6，
答：当小球运动的时间是 6s 时，小球回落到地面 A 处；

（2）h＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴当 t＝3 时，h 最大＝45．

答：小球在运动过程中的最大高度为 45m．
23．（10 分）如图，一次函数 y＝ax+b 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 A（3，1），点 B 的坐标为（m，﹣2）．
（1） 分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2） 在 y 轴上是否存在一点 P（不与点 O 重合），使得△PDC∽△CDO，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）把 A（1，3）代入反比例解析式得：3＝ ，即 k＝3，

则反比例解析式为 y＝；
∵B（m，﹣2）在反比例函数 y＝上，
∴﹣2＝，即 m＝﹣，即 B（﹣，﹣2），把 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得：

，

解得： ，

则一次函数解析式为 y＝x﹣1；
（2）若 P 与 O 重合，显然成立；

若 P 与 O 不重合，在 y 轴上存在一点 P，使得△PDC 与△CDO 相似，理由为： 过点 C 作 CP⊥AB，交 y 轴于点 P，如图所示，

∵C、D 两点在直线 y＝x﹣1 上，
∴C、D 的坐标分别为 C（ ，0），D（0，﹣1），

∴OC＝ ，OD＝1，DC＝ ，
∵△PDC∽△CDO，
∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：PD＝ ，
∴OP＝DP﹣OD＝ ﹣1＝ ，
∴点 P 的坐标为（0，）．
24．（12 分）已知抛物线 y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m（m 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），顶点为 C．
（1） 若 m＝1，求抛物线的顶点坐标；

（2） 若点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，判断以点 A、C、B、E 为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；
（3） 在（1）的条件下，将二次函数向左平移 k（k＞0）个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1，求 k 的值．
【解答】解：（1）m＝1 时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；

（2）四边形 AEBC 是正方形，证明如下：

在 y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m 中，令 y＝0 得 0＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m， 解得 x＝m 或 x＝m+2，
∴A（m，0），B（m+2，0）；

∵y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点 C（m+1，﹣1），

∵点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，

∴E（m+1，1

∴AE＝ ＝ ，EB＝ ＝ ，BC＝ ＝ ，
CA＝ ＝ ，
∴AE＝EB＝BC＝CA，

∴四边形 AEBC 是菱形；

∵A（m，0），B（m+2，0）；C（m+1，﹣1），E（m+1，1）；

∴AB＝m+2﹣m＝2，EC＝1﹣（﹣1）＝2，

∴AB＝EC，即菱形 AEBC 对角线相等，

∴四边形 AEBC 是正方形；

（3）将抛物线 y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 向左平移 k（k＞0）个单位，可得抛物线 y＝（x+k﹣2）2﹣
1，

在 y＝（x+k﹣2）2﹣1 中，令 y＝0 得 0＝（x+k﹣2）2﹣1， 解得 x＝3﹣k 或 x＝1﹣k，
∴新抛物线与 x 轴两个交点之间的距离为（3﹣k）﹣（1﹣k）＝2， 在 y＝（x+k﹣2）2﹣1 中，令 x＝0 得 y＝k2﹣4k+3，
∴新抛物线与 y 轴交点为（0，k2﹣4k+3），
∵新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1，
∴ ×2×|k2﹣4k+3|＝1，
∴k2﹣4k+3＝1 或 k2﹣4k+3＝﹣1， 解得 k＝2+或 k＝2﹣或 k＝2；
∴k 的值为 2+或 2﹣或 2．
25．（12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝a（a＞1），BC＝2，点 O 是 BC 边的中点，点 E 是矩形内一个动点，且 OE＝1．
（1 当 OE⊥BC 时，连接 BE、CE，直接写出∠BEC 的度数；
（2） 当 时，连接 DE，若 DE⊥OE，求 BE 的长；
（3） 当 a＝2 时，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°后，得到线段 DF，点 P 是线段 DF 的中点，当点

E 在矩形 ABCD 内部运动时，求点 P 运动路径的长度．

【解答】解：（1）如图 1，

∵O 是 BC 的中点，

∴OB＝OC＝1，

∵OE＝1，

∴OB＝OC＝OE，

∴∠BEO＝∠EBO，∠CEO＝∠ECO，

∵OE⊥BC，

∴∠BOE＝∠COE＝90°，

∴∠BEO＝∠EBO＝∠CEO＝∠ECO＝45°，

∴∠BEC＝90°；

（2） 如图 2， 连接 OD，
∵∠DEO＝∠C＝90°，OE＝C＝1，OD＝OD，

∴Rt△DEO≌Rt△DCO（HL），

∴∠DOE＝∠DOC，
∵∠C＝90°，OC＝1，CD＝ ，
∴tan∠COD＝ ，
∴∠COD＝60°，

∴∠DOE＝60°，

∴∠BOE＝180°﹣∠COD﹣∠DOE＝60°，

∵OB＝OE＝1，

∴△BOE 是等边三角形，

∴BE＝OE＝1；

（3） 如图 3，

连接 OD，将△DOE 绕点 D 逆时针旋转 90°至△DO′F，取 O′D 的中点 I，连接 IP，

∴O′F＝OE＝1，

∵点 P 是 DF 的中点，
∴IF＝O′F＝ ，
∴点 P 的运动轨迹是在以 I 为圆心，为半径的半圆，
∴点 P 运动路径的长度＝ ．